IX

[mod 0, x*4- 2x4- 2],

De la il résulte que

(x4-i)" = i[mod 5, x= 4- 2x4-2].

Revenons au système

et supposons que de sorte

F(x)=:9(x)4;(x)4-px(^),

[P, F(x)]oo[p, (p(x).4.(x)].

Supposons de plus que ç(a7)et4'(^) n'aient pas de facteur commun (mod p).

Nous pouvons écrire alors

[p,F(x)](^[p, <p(x)][p,iKx)],

car le produit que nous venons d'écrire est équivalent à

Mais puisque ?(^) et ^{pc) sont premiers entre eux, leur plus grand commun diviseur est s^ et peut s'écrire

f^z=:tj;(x)4-9(a?).

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KROXECKER. 7I

Des lors nous avons les équivalences

[pSp'|(j7),P9(a7), 9(a?)4;(a;)]c/o[p%pi]>(a-),pcp(d:),pvJ;(d:)-^pç(^), 9(.r)4/(j7)J ^[P\ P^(^), V9i^)y P»?(^)i^('^)]*^[P>?(^)^(^)]-

Nous pouvons donc considérer maintenant un système de la forme

où 9(0?) est une fonction irréductible (mod p).

Ce système correspond à ce que nous avons appelé un système modulaire premier (p. 55).

Supposons que 9(^) ait la forme

^ù Y,, Ya» • ••» Tx sont pris parmi les quantités p,, p^, . . ., p^.

Il y a, par conséquent, m = P' — i résidus du système [p, o(x)\, que nous désignerons par r<, Tj, . . ., r,„.

Nous aurons donc» comme plus haut,

rf ■"* = I [mod p, 9(^)] (/= i, 2, . . ., m).

Lemme. — Si r désigne un quelconque des résidus dont nous venons de parler et si

G(/-) = Ao/'"' + Al/"" ■*-{-. . .-h A,„ = a [mod p, ©(^)],

oà Ao, A,, . . ., Xn sont des fonctions entières en x dont les coefficients appartiennent au domaine \y^ et A^^o [mod p, 9(ix:)]» la congruencr précédente ne peut avoir plus de m racines.

Nous démontrerons d'abord ce lemme pour le cas particulier de /w = i. Considérons la congruence

Ao/*H- A, = [mod p, oijoy],

où Ao^o [modp,ç(a?)], et supposonsque r^ etr^ soient deux racines de cette congruence, de sorte que Ton ait, par suite,

Ao/*i4-Ai = [mod p, <p(^)],

Ao^j-hAi^o [mod p, 9(0:)].

72 IIAURIS HANXOCK.

Par soustraction nous avons

Ao(/*i—''î) = o [mod p, 9(^)],

et puisque Ae n'est pas divisible par le système modulaire premier [p, o(x)], il s'ensuit que

r, = /•, [mod p, 9(.r)].

Donc une congruence du premier degré peut avoir au plus une racine incongrue [mod p, 9(^)].

Revenons au cas général et supposons que r, est une des racines

de la congruence

r.(/) = o [mod p, 9(J^)],

de sorte que, par suite,

G (r) - G(/v) = (r - n)G,{r) ^ o [mod p, o(x)],

où G, (r) est une fonction de même nature que G(r) et est au plus de degré m — i.

Dès lors, par induction, en supposant le lemme démontré pour le degré /w — i, de sorte que G|(r)zzio[mod p, 9(^)] ne peut avoir plus de /n— I racines, comme, d'après ce qui précède, r — T/et^o [mod p, 9(0?)] ne peut pas avoir plus d'une racine, le théorème est démontré dans le cas général.

Supposons maintenant que la congruence

G(r) = o [mod p, o{^r)]

ait exactement m racines incongrues [mod p, ç(a?)J, et soient r,, r.j, . .., r,n ces racines; posons encore

G(/') = Ao/""-4- A, /•'"-» + . . . -h A,„ et formons la congruence

Ao'-"'4-A,r'"-M-. . .-+-A,„ — Ao(r— r^) {r - /•,) ~(r — r„,) = o

[mod p, ©(x)].

Cette congruence est au plus du {m — i)"™* degré, puisque les deux termes A©/^ se détruisent. Elle a pourtant plus de /w — i racines

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 78

congrucntes [mod p, ç(ir)], puisqu'elle est satisfaite par les m racines r^, Tj, . . ., r,„. Dès lors tous les coefficients de cette congruence doivent être divisibles par le système modulaire [p, 9(37)]- II s'ensuit que la congruence

Ao /"'* -h Al r'«-* H- . . . -H A„t — Ao ( r — Ti) (r — r,) . . . (r — r;„) = o

[modp, 9(^)]

doit être satisfaite identiquement^ et nous devons avoir

— Al = rt -+-/•, +...+ /',„ [modp, cp(^)],

-+■ A,= Tir, -h r\r^ -+- . . . -+- r,„i r,„ [modp, 9(0:)],

(—i)"'k^ = r\/\rz...r^ [modp, 9(j?)].

Si donc la congruence de degré m

G(r) = [modp, 9(^)]

a exactement m racines r^, r^, ..., r,„, nous avons identiquement la congruence

G(r) = Ao JJ(/- — O) [modp, 9(0?)].

Revenant maintenant à la congruence

r*^-' — I = o [mod p, 9(^)],

on a vu que cette congruence a /w = A^ — i racines r^, r^, ..., r^, ces racines étant les résidus du système [p, <p('^)]> dans lequel Télément 9(^7) a la forme

Les résidus sont, par conséquent, de la forme

S^x^-^ -h djo;^-» 4-. . .-h dx,

OÙ S|, Sa, ..., Sx peuvent prendre des valeurs quelconques parmi les valeurs p,, pa» •••» P* de la page 63.

Dès lors on voit que

^ki-i , s JJ [r — (di^?^-» 4- ô,x^-» -h. . .H- dx)] [modp, 9(^)], H. 10

OÙ le produit s'étend à la totalité des fonctions que nous avions obtenues en prenant successivement pour chacun des S les k valeurs p^, p2, ..., p^, excepté le seul cas particulier où chacun des S est remplacé par la quantité p, qui est ^ o [mod p, ?(^)].

Egalant les coefficients des mêmes puissances de r dans les deux membres de la congruence ci-dessus, on a \^ forme très générale du théorème de Wilson

OÙ le produit s'étend à la totalité des fonctions dans lesquelles les S ont les valeurs que nous venons d'indiquer.

Nous avons posé m = X:^— i, où A = ((;, p) = N (p) =/?-^, où/? est le plus petit entier divisible par p et où l'entier positif/ est le^degré (Dedekind, p. 565) de l'idéal premier p.

Dès lors m=.p^f — j , et la congruence ci-dessus peut s'écrire

Considérons la série de fonctions

où 4^(^) est une fonction entière et arbitraire de x dont les coefficients sont des entiers de û.

Dans cette série, nous devons finalement avoir la fonction [4'(^)F' qui est congrue à [^(ir)]'''[modp, <p(^)]; car, si cela n'arrive pas avant, cela est certainement vrai pour s = Xf,

Nous appellerons hauteur (Dedekind, p. 571) de la fonction ^(x) le plus petit entier rationnel A, différent de zéro, qui satisfait a la congruence

[^{x)y ^^(x) [modp, 9(j?)].

En élevant les deux membres de la congruence précédente à la puissance/?^, nous avons

[^{x)y'p'^[^{x)p' = ^{x) [modp, (p(^)], et, par conséquent, aussi

[^Ka?)p**-^* = [iK^)]^' [modp, cp(^)].

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER, 7 5

Si donc ^^^(modA), on a

et, réciproquement, si l'on a on a aussi

^ = 5 (modA).

Nous avons aussi démontré les théorèmes suivants d'une manière indirecte :

I. Si s est incongru à /(mod A), [4'(^)J''* esl aussi incongru à [^(^)]^'[modp, ç(ar)].

II. Si \^^{^)Y' ^st incongru à [^(^)]''', s est incongru à /(môd h). Considérons maintenant la série de fonctions en nombre illimité

relatives au système modulaire [p, ^(a?)].

Les h premières de ces fonctions, h étant la hauteur de la fonction 4'(^), sont incongrues (mod p, ç(^)]. Les h suivantes sont les h premières répétées dans le même ordre; par conséquent, nous pouvons (Cf. Dedekind, p. 871) appeler les h fonctions

{^période de la fonction 'i^{x) relative au système modulaire [p, ^(a?)]. I^ est clair que la période d'une quelconque des fonctions [^(^)p*, où t est un entier rationnel, contient les mêmes fonctions relativement au système modulaire [p, 9(^)], comme la période de la fonction 4'(^)- Supposons maintenant que dans la congruence

[^{x)Y''^-' -1 = [mod p, <p(a:)], on ait /"= I, et considérons la congruence

Prenons d'abord dans le domaine des nombres rationnels le système modulaire

dans lequel/? est l'entier rationnel premier qui est divisible par p; <& (x) est de la forme

o\xg^9 g29 ' "f gi peuvent prendre tous les valeurs, o, i, 2, ...,/?— i. Il y a, par conséquent,/?^— i résidus du système modulaire [/>>^(^)]. Dès lors, si^j^(.r)estune fonction quelconque de x dont les coefficients soient des entiers rationnels, nous avons

[i\,{x)]P^=^{a:) (mod p, 0(:r)].

Posons de plus, comme plus haut,

(f{a:) = a?^ 4- yi ^^~* H-yio:^"* -H. . .-h yx-

Supposons que

gi^yt (modp),

^i = y« (modp),

g\=y\ (modp);

c'est-à-dire que les quantités g^ et y,, g^ et yj, . . ., ^x et y^ soient des entiers algébriques appartenant respectivement aux mêmes classes dans la distribution que nous avons faire à la page 63.

11 s'ensuit immédiatement que le système modulaire [/?, ^(x)] est divisible par le système modulaire [p, <p(^)]» et que, par conséquent,

[^{x)]p''=i\f{x) [modp, 9(^)].

De là il résulte que foute/onction entière en x à coefficients entiers a, relati{>ement au système modulaire [p, ç(^)], une hauteur égale au degré de la fonction ç(ip).

Nous allons montrer maintenant que toute fonction de hauteur X relativement au système modulaire [p, ?(^)] est congrue [modp, ç(^)] à une fonction entière de a?, de degré inférieur ou égala X — i et dont les coefficients sont des entiers rationnels .

Conformément au théorème précédent, la congruence

rP^^ r = o [môd p, <p(^)]

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 77

est satisfaite par les/>^ fonctions

OÙ les ^ prennent les valeurs o, 1,2, ...,/? — i et de plus ces/>^ fonctions sont toutes incongrues [mod p, ^(00)].

Dès lors, la congruence

rP^^ /' = [mod p, 9(^)]

a un nombre de racines incongrues [modp, ç(a:)] égal au degré d = p^ de la fonction, et, par conséquent, d'après le théorème donné page 73, si r^.r.^, . . ., rj^i^r^ = o sont les racines de cette congruence, nous avons la congruence identique

rP^— r= r(r — r,)(/— ri)...(r — rrf^,) = o [mod p, <p(^)].

Si maintenant x(^) ^^t une fonction de hauteur X relativement au système modulaire [p, ç(^)]. nous devons avoir

[X(^)y^—Xi^) = ^ [raodp, c?(^)]; et, par conséquent,

Il résulte de ceci que l'on a

X(^) = r [modp, 9(j?)],

OÙ rest une des fonctions entières r,, r^, ..., /-,/,, r^ = o, dont le degré en x est inférieur ou égal à X — 1 et dont les coefficients sont des entiers rationnels mod p.

Réciproquement, si x(^) ^^^ congru [modp, ©(^p)] à r, rétant une fonction entière en x dont les coefficients sont des entiers rationnels, de sorte que

X{x) = r [modp, (p(j?)],

on a aussi

[xi^)y^ = ^''' [modp, 9(0; >].

Mais puisque

rP^ s r [mod p, cp(^)].

il s'ensuit que et

[X(^)?^=X(^) [Tnodp,(p(^)].

Nous avons donc le théorème suivant :

Toute /onction entière en x dont les coefficients appartiennent à (2 qui est congrue [mod p, (p(a?)] à une fonction entière en x dont les coefficients sont des entiers rationnels, a pour hauteur X relativement au système modulaire [p, <p(^)]; ^^ toute fonction entière en x dont les coefficients appartiennent à dy qui a pour hauteur X relativement au système modulaire [p, <f{x)\, est congrue, relativement à ce système, à une fonction entière en x de degré inférieur ou égal à \ — i.^ et à coefficients entiers et rationnels réduits mod p.

Nous savons que, si R(a, p, y, . ..) = /a^-h- /<a''~' ^ -i- ... est une fonction entière par rapport aux quantités a, p, y» • . • et si /, /,, . . . sont des entiers rationnels, on a

[R(a, p, y, . . .)?= R(a^ P^ 7^ • • (mod/?),

oiip est un entier premier. Dès lors, si p est divisible par l'idéal premier p, nous avons

[R(«,(3,y, ...)]''=R(a^?^y^ ...) (modp).

Supposons maintenant que ^{x), fonction quelconque du domaine [(^, x)], soit de hauteur h et formons la fonction symétrique

de sorte que, par conséquent, a est une fonction entière en x dont les coefficients sont des entiers de Cl.

On voit que

<^''^ S([*(^)], m^)y. [^(^)r, . . ., [H^r'-'if ^|S([J^(^)]^ [+(^)n [^(^)r, ..., [H^)]j (modp),

(jP^fj (mod p),

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 79

puisque

(7P^=(jp=(j (modp),

il s'ensuit aussi que

o.f>>= ff [mod p, o (^)J.

Il résulte de là que, puisque la hauteur de la fonction a relativement au système modulaire [p, ç(a?)] est X, la fonction <7 est congrue [(modp, ç(a?)] à une fonction entière en a? de degré inférieur ou égal à X — I , dont les coefficients sont des entiers rationnels réduits modp.

De la même manière, on peut prouver que toute /onction entière symétrique des h fonctions

[^.(.r)], mx)y, [H^)]p\ ..., [H^)y

est congrue [mod p, <f (a?)] à une fonction entière de x de degré inférieur ou égal à\ — \ et dont les coefficients sont des entiers rationnels réduits (modp).

Formons maintenant le produit

que nous désignerons par P(r, a?).

En développant ce produit suivant les puissances de r, nous avons

OÙ c,, ^2, . . . , Cf^ sont des fonctions entières symétriques des fonctions

La fonction P(r, x) est donc congrue [(mod p, ?(ip)] à une fonction entière de degré h en r, dont les coefficients sont des fonctions entières en X de degré inférieur ou égal à X — i , et les coefficients de ces fonctions de X sont des entiers rationnels réduits (mod /?).

La fonction P(r, x) peut être appelée une fonction première (Dedekind, p. 571); car on peut prouver aisément qu'il n'est pas possible de déterminer deux fonctions /(r, a:), g-(r, x) entières en ret en a?, telles que

P(r, x) ^/{r, x)g{r, x) [mod p, <p(a?)].

8o HARRIS HANCOCK.

Revenons à la congruence

nous voyons que si h est la hauteur de la fonction 4'(j?) relativement au système modulaire [p, ç(^)], on a

[vK^)]p'^= ^{x) [mod p, 9(0;)].

Des lors il s'ensuit que

De cette congruence (t^oir p. 75), nous pouvons aussi déduire la

congruence

h = 'k/ (mod A),

et par conséquent X/ doit être divisible par h. Nous avons ainsi le théorème suivant : La hauteur d^une fonction quelconque relativement au système modulaire f p, ç (^)] est un diviseur de "k/où/est le degré de p, et X le degré de la fonction <fÇx) en x.

Nous allons montrer maintenant que, si h est un diviseur de X/, il existe des fonctions de hauteur h relativement au système modulaire

S'il existe de telles fonctions, par exemple 4'(^)» i' ^n existe évidemment A, savoir

Dès lors en supposant qu'il existe des fonctions de hauteur A relativement au système modulaire [p, ?(^)], on voit que l'on peut partager toutes ces fonctions en groupes, et qu'il y aura h fonctions dans chaque groupe.

Désignons le nombre de groupes par y^ et par conséquent le nombre des fonctions incongrues de hauteur A relativement du système modulaire [p, 9(0?)] parAy^;^.

Puisque X/est divisible par A, nous pouvons poser

où g est un entier rationnel.

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 8l

OVf puisque

de sorte que^-^— ^ est un entier positif, il s'ensuit que

où (î^(a;) est une fonction entière en x de degré p^^ — />* à coefficients entiers appartenant au domaine ù.

Dès lors

[v|;(^)]pV ^{x) = j[vK^)?*- q^(^)!«(^) = o [mod p, <p(^)].

Puisque

[^'C^)?^-^— +(^) = o [modp,(p(a?)]

a)9^-^ racines incongrues [mod p, 9(^)]» ^t puisque ®(a?) ne peut pas avoir plus de p^^ — pf^ racines incongrues» il s'ensuit que

[^(^)?*— 4^(^) = o [mod p, 9(a?)]

doit avoir au moins // de ces racines. Puisque cette congruence ne peut pas avoir un nombre plus grand de racines incongrues

[mod p, 9(^)],

il en résulte que la congruence

[+(^)F'— 4^('^) = o [mod p, <p(x)]

a/i^ racines incongrues [mod p, <p(^)].

Si maintenant nous avons une fonction xs{x) de hauteur h relativement au système modulaire [,p, 9(^)]t elle satisfait à la congruence

(i) [a)(j?)]P*=ûj(a7) [modp,<p(j7)],

et réciproquement, si la fonction xa{x) satisfait à la congruence (i) elle est de hauteur h ou de hauteur d^ d étant un diviseur de A. - Dès lors, nous voyons que chacune des racines incongrues

[mod p, 9(^7)], H. II

qui satisfait à la congruence (i), est ou de hauteur A ou de hauteur d^ d étant un diviseur de h.

Si d est un diviseur de A, le nombre des fonctions incongrues de hauteur d relativement au système modulaire [p, ©(^p)] est, en employant la notation précédente, égal à dy^-

Il en résulte donc que le nombre des fonctions incongrues de hauteur h ou de hauteur rf, d étant un diviseur de h relativement au système modulaire [p, ?(^)], est

où la sommation s'étend à tous les diviseurs de h, y compris h. Puisque ce nombre est aussi égal à^^, il s'ensuit que

Nous avons vu p. 78 que

(I) rP*-r = n(r-/v) [mod p,(p(^)],

OÙ le produit doit être étendu à un système de/>* fonctions incongrues de hauteur h ou de hauteur d, Jetant un diviseur de A, relativement au système modulaire [p, ç(^)].

Si une des racines, r^, par exemple, de la congruence précédente est de hauteur h relativement au système modulaire [p, ç(^)], le produit

( A- - r, ) ( /• - /-p, ) ( r - rj' ) . . . ( r - rf -' )

entre comme facteur dans (I).

Nous pouvons écrire, au lieu de ce produit, la fonction P(r, a?) qui est entière en r et x, de degré A en r et en j?, de degré inférieur ou égal à X — I et dont ces coefficients sont des entiers rationnels réduits (jnoàp).

De la même manière, si d est un diviseur de A, il entre comme facteur, dans (I), le produit

OÙ Tv est une fonction de hauteur d relativement au système modulaire. Nous pouvons donc remplacer le produit par une autre fonction première entière en ret a?, de degré rfen r et en a?, de degré inférieur ou égal à X — I, dont les coefficients sont des entiers rationnels réduits (mod/?).

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 83

Il est ainsi évident que Ton a

OÙ le produit doit être étendu à un certain nombre de fonctions premières.

De telles fonctions, dans lesquelles les coefficients des plus hautes puissances de r sont Tunité, sont dites fondions premières primaires.

Je ne calculerai pas le nombre de ces fonctions qui sont de degré h en r ou qui ont pour degré un diviseur de h.

Si nous désignons par co^ le nombre des fonctions premières primaires de hauteur h relativement au système modulaire [p, (p(ic)], on peut montrer que

Par conséquent, le produit précédent doit s'étendre à toutes les /onctions premières primaires P(r, a?) possibles dont le degré en r est h ou un diviseur de h et, en a?, est inférieur à X -— i et dont les coefficients sont des entiers rationnels réduits mod/?.

Ce théorème a été démon tré par Dedekind (p. ^71 et 372) pour le cas simple des entiers algébriques relatifs à un idéal premier. Dans ses Leçons, le professeur Frobenius a complété les résultats de Dedekind, et, en suivant ses méthodes, je suis arrivé aux résultats précédents pour les fonctions algébriques en [^, x\ relativement au système modulaire [p, ç(^)J-

Comme aucune des fonctions premières n'est répétée dans le produit ci-dessus, nous pouvons écrire l'équivalence suivante

[p, 9(d?), /•A'*— r]<.on[p, (p(x), P(r, x)],

OÙ le produit doit être étendu à tous les systèmes modulaires possibles de la forme [p, ?(a7), P(r, x)\ dans lesquels nous écrirons pour la fonction première P(r, x^ toutes les fonctions premières possibles dont le degré en r est h ou un diviseur de h et dont le degré en x est inférieur ou égal à X — 1. Car, si nous nous bornons aux coefficients rationnels et entiers dans ces fonctions premières, il est évident, puisque deux quelconques de ces fonctions P,„(/', a?) et P,i(r, a?) n'ont pas de diviseur commun en r, que nous pouvons trouver deux fonctions

V^{r,x) et P„(r, a?) entières en r et a; k coefficients entiers» de telle sorte que

où *(^) n'a pas de diviseur commun avec <p(^) (mod p).

On voit aussi que le plus grand commun diviseur de K{x) et ^(x ) (mod p) est un entier a de [(^], et que, finalement, le plus grand commun diviseur de a et p est ^.

Dès lors le produit

(II) [?, 9(^), P„(r, ^)] [p, <p(^), P„(r, ^)]

c/^[pS pcp(^), pP„(r,a:), 9(a:)S<p(a:)P„(r,a7),

pP;„(r, a;), 9(^7) P;„(r, a:), P^nC/*, ^). Pn('', •^)]-

Avec les éléments p*, p(f(x), pP;j(r, a?), pPm(^^). nous formons le système

[pSP9(^)> PP/»(''>'2^)»1ïPm('', ^)]

<^f[P, 9(^)> P»(''>^)JPm(/','2")]<^P[^]<^P,

et, comme nous pouvons maintenant adjoindre p au système (I), nous formons, avec les éléments p<p(j7) [qui peut aussi être adjoint au système (I)], [ç(^)]*f <f(x)Vn(^,x) et ç(a7)P^(r, x), le système

9(^)Lp> ?(-'«?)» P/i('',^). Pln('^^)]<^?(^)[^]<^?(^)• Dès lors, le second membre de Téquivalence (I) est équivalent à

[p, 9(^)> PmC^-, ^)P«('*,^)],

ce qui démontre le théorème.

Réduction des systèmes modulaires de seconde espèce lorsque la seconde puissance ou des puissances plus hautes de Tidéal premier p entrent comme éléments.

Dans le système modulaire de la p. 62,

nous supposions que m était le plus petit entier rationnel qui fût divisible par v[jl, et nous supposions qu'aucun des facteurs de m n'était contenu comme facteur dans le discriminant de ù.

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE RRONECKER. 85

Nous allons maintenant nous débarrasser de cette restriction et nous allons avoir, par conséquent, à discuter les systèmes dans lesquels les secondes ou plus hautes puissances de l'idéal premier p entrent comme éléments.

Si cet idéal entre à la seconde puissance, la forme du système modulaire que nous avons à considérer est (voir p. 6i)

OÙ tous les éléments qui entrent appartiennent au domaine [y^ œ\ Pour abréger, nous désignerons le système des éléments /^ (a?),

/2((r), . , . , fn{^) par jV [/,(^)] et nous pourrons, par conséquent,

Vs=l

écrire le système sous la forme

(I) »'Sp]\([5'^(^)].]\[/v(^)] •

' ti. = i v = l /

Grâce à la présence des éléments [V [TvC^)] dans ce système, nous

pouvons adjoindre les éléments p |V [/v(^), sans que le système cesse

d'être équivalent à lui-même; il devient alors

PS P ]\ [^^(^)]. P ]\ [/v(^)]. ]\ [/v(^)] •

ÎX = 1 V = l v = l '

Avec les éléments p^, p |V [/v(^)J. nous construisons le système

Il résulte de ce qui a été dit p. 65 'que

86 HÀRRIS HANCOCK.

De ce système (a), que nous appelons système modulaire auxiliaire^ nous tirons, d'une part,

OÙ t:(x), /i(x), /^{x), .. ,,/j(a?) sont des quantités déterminées de [^fx\ et, d'autre part,

(2) /v(^) = Pîrv(^)-HF(^)Fv(a7) (v =:i, 2, . . ., «),

OÙ Trv(ir), Fv(^) (v =r 1 , 2, . . . , /i) sont aussi des quantités de [^, x]. Si nous posons

il résulte de (i) que

Dès lors, puisque f(x) peut s'exprimer par une forme linéaire en fonction des éléments/, (a?), f^Çx), . . . , /n(^) dont les coefficients sont des quantités de [^, ^], on voit que nous pouvons ajouter ¥(x) au système (I) sans qu'il cesse d'être équivalent à lui-même.

De la seconde des relations ci-dessus il résuite que

J^{x) = pr.y{jc) -f F(^)Fv(^) -hp7r(a7)Fv(j?) (v = i, 2, . . ., /i),

et si, pour abréger, nous posons

7rv(^) 4-7r(x)Fv(^) — nv(^),

nous avons

/^{x) = pnv( J7) 4- F(^-) Fy(x) (v = I, 2, . . . , n).

Nous pouvons donc écrire le système (I) sous la forme

pSpJ^C^IiC^)]. ]\[pnv(^) + F(x)Fv(x)], F(^ l

système qui, à cause de la présence de F(a?), devient

f|JL = m V = n \

A •• ]\ [o>(^)]. V ]\ [HvCo:)], F(^) .

|Jl= 1 V=l '

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 87

Le système

est équivalent à

qui (voir p. 65) est équivalent à

Dès lors le système (F) peut s'écrire

(II) [pSpG(x), F(^)].

Nous pouvonsTadjoindre à ce système l'élément pF(a7) et considérer alors le système

[p',pri(^),pF(^),F(^)];

avec les éléments p*, pG(x), p¥(x) nous formons le système

[pS pG (^), pF {X)] c^ p [p, G (rr), F (^)].

Le système [p>G(a7), F (a?)] est, ou bien équivalent à

OÙ 0(0?) est le plusgrand commun diviseur (modp) de G (a?) et de F (a?) ou bien à

lorsque les deux éléments G (a?) et F(x) n'ont pas de diviseur commun (modp). Dans le dernier cas puisque

[pSpG(.r),pF(ar)]c^[p],

le système (II) prend la forme

et peut être étudié d'après les méthodes déjà employées dans les recherches précédentes.

En considérant le cas de

{a) [P,G(^),F(^)]oo[p,6(^)],

on voit que l*on a d'une part

(^) = p K (;r) -+- 6 (a?)G, (a:) -H F (^) Fi( j:).

OÙ K (j?), G< (a?) et F, (a?) sont des quantités déterminées de [v, a?], et par conséquent

de sorte que

p0(.T) = o [modp*, pG (a?), F (a:)],

et par conséquent cette quantité peut être ajoutée au système (II). Nous déduirons aussi du système (a)

OÙ l(x) et G (a?) sont des quantités déterminées de [t', x]. Dès lors

pG (a:) = p*/ (^) -h pÔ (^) G (^)

et par conséquent, lorsque pO (a?) a été adjoint au système (II), on peut y supprimer pG (a?).

La valeur suivante de F (a?) dérive immédiatement de (a) :

OÙ <p(a?) et ô'(a?) sont des quantités déterminées de [c^, a?].

Nous pouvons, par suite de ce qui a été dit plus haut, mettre le système modulaire (II) sous la forme

(IF) [p',P0(^),P?(^) + e(a?)0<»)(a:)].

A cause de la présence de p*, p6 (a:) dans le système (II') nous pouvons supposer que les éléments ont été réduits dételle sorte que le coefficient de la plus haute puissance de a? dans6^*^(a7) soit l'unité, et

que le degré de ç (a?) soit inférieur au degré (a?) par rapport à a?. Nous pouvons, de plus supposer dans le système (ir)> que i** En vertu de la congruence (a), 6 (a?) est de la forme

OÙ Y«, Ya, . . ., Y|i sont pris parmi les entiers déterminés p«, pa, . . ., pM*

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 89

2** 0^*^(a?) est de la forme

OÙ les S sont aussi pris parmi les p.

3® ç (x) est de la forme

où les £ sont aussi pris parmi les p, et où ir < (Ji.

Supposons que par une autre méthode le système modulaire initial (I) ait été réduit k une forme

OÙ les éléments correspondants remplissent les trois conditions que nous venons d'indiquer.

Nous avons alors

et nous pouvons montrer que

et En effet, il résulte de (b) que

= p9{x)f{x) -f- [P9 (x) -\-9{x) e^'^(x)]ff(x) [modp»),

OÙ/ (x) et g(x) sont des quantités du domaine [{^, x].

Pour éviter des répétitions, toutes les quantités qui sont introduites peuvent, une fois pour toutes, être considérées comme appartenant au domaine [^, a?], et pour abréger nous nous servirons|du signe fonctionnel pour la fonction de x.

D'après la congruence précédente nous avons

(i) Q,B^^^ = eB^')g (modp).

De même il résulte aussi de {b) que

p(p-h00(n=p9,/»-h(p9,-i-9,0V^)ô-i (modpM, H. 12

(2) eQ^')=B,B^}^g, (modp).

En multipliant (1) et (2) membre à membre nous avons

ee^'^e,Q['^~ ee^'^e.e^'^gg, (modp),

et par conséquent, puisque le produit 66^*^0,6^/^ n'est pas divisible par p,

il s'ensuit que

^^ggx (modp)

et par conséquent g et g^ sont des unités algébriques du domaine [^]. Dès lors en vertu de (i) ou (2) nous avons

Q6(')=6,d['^ (modp) ... (/).

De plus, nous tirons de (b)

p9i= p^.A-h(00f*>4-p(p)B (modp»),

et de cette expression il résulte que 66'B doit être divisible par p. Comme et ô^'^ont été réduits tous deux relativement au module p, le facteur B doit être divisible par p. Nous pouvons donc poser B = B, p. Par conséquent de la congruence précédente nous tirons

0,= 0Ah-(00(*>-+-P(î))Bi (modp), ou

(3) Ôi=0(A4-B,0<»O (modp).

De la même façon on peut montrer que

(4) e~e,(A('^-hB\'^e['') (modp),

et par conséquent

ô0,= 00i(A4-Bi0<^>)(Af*^-i-Bi»>9f,»') (modp).

Dès lors, en raisonnant comme plus haut, A -h B, 8^*^ et A^*^ -h B^^Ô^/^ doivent être des unités algébriques, et alors de (3) ou (4) nous déduisons

e = di (modp).

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONEGKER. Ql

Mais comme les coefficients de et 0| ont été réduits (modp), il s'ensuit que

= 0^.., (iV) et par conséquent de (i)

d('^=e['\.. (iiï)

En revenant à Téquivalence (b) on voit que

(P', pS, p(p H- 9d('))oo (p», p0„ P9i 4- S, e['\.p(p H- 69^') ),

ou, puisque = 6, et e('>=,OV',

(pS p^, p? 4- ed('^)or> [p«, p0, p(pj ^ ed\'\ p (9 - cpoi-

De cette équation nous tirons

p(<p — (p,) = p0C-h(pcp + 00<*>)D (modp«)

et par conséquent D06<*^ doit être divisible par p, de sorte que D = D, p. Nous pouvons donc écrire la congruence

nous devons avoir