V : v : : BD' : Biy sin a , de laquelle on tire V sin a = v

Ce qui signifie que , lorsque le plan mobile est perpendiculaire à la direction du mouvement , la plus grande vitesse que l’eau puisse lui communiquer est égale à la vitesse propre de ce liquide , multipliée par le sinus de l’angle ABC désigné par a.

3. Maintenant que l’on donne au plan mobile BD uue position différente , la position Bd , par exemple ; lorsque ce nouveau plan sera mis en mouvement par le filet AB animé toujours de la même vitesse V , il suffira , pour que l’eau ne soit pas dérangée de sa direction AB et n’exerce , par conséquent , sur le plan aucune action autre que celle de lui transmettre la plus grande vitesse possible ; dans ce cas , il suffira , dis-je , que le plan ait parcouru l’espace dl\’ , pendant qu’une molécule d’eau sera parvenue de B en D'.

On voit que le changement opéré a eu pour effet de diminuer de la quantité Dd la vitesse précédente v == V sin a.

Si l’angle AB d formé par le plan avec la direction de l’eau augmentait encore, le maximum de vitesse que ce plan pourrait acquérir deviendrait plus petit 5 enfin cette vitesse serait nulle si l’angle ABd devenait égal à deux droits, ou, ce qui est la même chose , si le plan BD était dans le prolongement de AB.

Au contraire, si le plan était incliné à gauche de BD et prenait la position B d* , faisant avec AB un angle plus petit que ABD , la surface mobile BD' tendrait à acquérir le maximum de vitesse d'D' , pendant le temps qu’une molé-

euled’eau mettra à parcourir la ligne Biy. Ce maximum serait donc plus grand que DD' de la quantité Drf'.

Il augmenterait encore si l’on disposait le plan de manière que l’angle AB d ' fût plus petit ; et , enfin , ce maximum deviendrait infini si , la direction AB restant la même , on donnait à la distance D d' de l’extrémité du plan mobile au point D , ainsi qu’au plan lui-même , une longueur infinie, pourvu , toutefois , que l’on fit toujours abstraction de toute résistance.

4. C’est ainsi qu’en changeant l’inclinaison du plan mobile par rapport à la direction de son mouvement, la théorie semble offrir la possibilité d’obtenir qu’un filet liquide animé d’une vitesse finie communique à ce plan une vitesse à volonté infiniment petite ou infiniment grande.

Telle est en eflet une des premières conditions que l’on a pensé pouvoir remplir par l’espèce de roue à laquelle on a donné le nom de turbine.

5. Mais nous avons vu que, pour obtenir d’une chute d’eau toute la force qu’elle possède , il faut la recevoir sans choc dans l’appareil et l’en faire sortir sans vitesse.

Or, dans les diverses hypothèses que nous avons faites jusqu’ici , aucune de ces deux conditions ne pourrait avoir lieu; car on sait qu’il faudrait, pour remplir la première, que le plan BD eût pour direction la résultante de la vitesse du fluide et de celle du plan mobile, et qu’on ne satisferait à la seconde qu’eu donnant à ce même plan une direction faisant avec celle du mouvement un angle nul ou égal à zéro.

Il faudrait que la même ligne tracée sur le plan eût à la fois deux directions différentes, ce qui est impossible.

Ainsi il résulterait toujours de l’adoption d’un plan BD,

ou que l’eau n’agirait pas sur lui sans le choquer, ou quelle le quitterait avec uue certaine vitesse absolue , ou même simultanément l’un et l’autre de ces deux inconvéniens , indépendamment des autres causes de perturbation occasionées par le choc.

La disposition dont il vient detre parlé pouvant donner lieu aux différentes vitesses désirables , l’économie de la force motrice s’oppose à son adoption , et l’on voit que l’adoption des aubes droites doit être entièrement proscrite du système dont il s’agit.

6. On sait qu’abstraction faite du frottement l’on peut, au moyen d’une courbe bien continue , changer la direction du mouvement de l’eau et même lui faire prendre une direction contraire , sans altérer sa vitesse primitive , et par conséquent sans perdre de force vive, si les diverses directions que l’on donnera à la marche du filet liquide sont toutes dans un même plan horizontal.

Il faut donc , pour recevoir l’action du filet fluide , substituer la surface courbe BD (PI. 1 , fig. a ) au plan mobile à surface plane dont il a été d’abord question.

Ou sait que BE et BA (ft g. a) , étant supposés représenter en grandeur et en direction les vitesses respectives de la surface et de l’eau pendant le mouvement ; que BC étant la résultante de ces deux vitesses l’eau ne choquera point la courbe BD si la tangente à cette courbe en B se confond avec la ligne BC.

Quant aux derniers éléments de la courbe au point D , on pourra sans difficulté lui donner la direction exigée.

7. Maintenant , si au lieu d’un seul filet fluide indéfini on en considère un plus grand nombre les uns à côté des autres ,

de manière à former une masse d’eau d’une épaisseur don-

née , chacun d’eux n étant pas sensiblement compressible au cube , sur la courbe de même épaisseur qu’il avait avant , il lui est donc parallèle et forme une courbe semblable à la sorface sur laquelle il glisse, laquelle courbe liquide sert elle-même à transmettre l’action d’un second filet qui reçoit celle d’un troisième, etc.

Tout restant de même , direction et courbure , et les molécules d’eau pouvant se prêter par suite à la forme que les filets fluides sont obligés de prendre , on appliquerait à chacun le raisonnement qui a été fait sur le premier , si , dans le cas où la courbe serait tangente en D à la direction du mouvement , le dégagement de l’eau pouvait se faire librement.

Mais ce changement ne pouvant avoir lieu , il est indispensable , pour le faciliter , de construire la courbe de manière que son dernier élément fasse, avec D y, un certain angle qui , cependant , doit être aussi petit que possible.

8. En disposant ainsi un certain nombre d’aubes , on obtiendrait un mouvement rectiligne continu, tant qu’il se présenterait des courbes à l’action de l’eau ,• et si , au lieu de les ranger toutes sur une même ligne droite , on les place ymétriquement et à égales distances sur la circonférence d’un disque circulaire abcd , a'b'c'd' (fig. 3), lié d’une manière quelconque à son a xeo, et si l’on place intérieurement, suivant ha , le filet fluide incident , on aura une roue à laquelle l’eau communiquera un mouvement circulaire continu.

Dans ce cas , comme dans celui du mouvement rectiligne continu , si l’on n’employait qu’un petit nombre de filets fluides , leur action serait irrégulière , parce que tous ne commenceraient pas à presser les courbes au point a, une

partie ne les atteindrait que vers le milieu de leur longueur et il en résulterait un choc , et l’eau ne serait pas convenablement employée.

9. Pour éviter cet inconvénient et rendre la roue susceptible de recevoir un grand volume d’eau , et par conséquent de donner plus de force sous de petites dimensions , j’ai cru préférable d’employer autant de filets que la circonférence de la roue peut en comporter , et je fais agir l’eau sur toutes les courbes en même temps , en divisant l’espace abcd en un certain nombre de compartiments limités par des conducteur » placés dans la direction ha des filets incidents.

De cette manière l’eau , se mouvant suivant la direction exigée ha le long des compartiments conducteurs , conservera cette direction en les quittant, et viendra agir sur les courbes sous l’angle voulu.

10. Mais pour que cette direction fît toujours et partout le même angle avec les divers rayons, il faudrait autant de filets que de rayons , et par conséquent un nombre égal de conducteurs , ce qui occasionerait une énorme perte de place et un frottement considérable.

D’un autre côté , la direction de chacun de ces conducteurs faisant un certain angle, dépendant de leur nombre, avec les deux conducteurs adjacents , ces conducteurs, prolongés en ligne droite suivant leurs traces respectives , tendent tous à se rencontrer, étranglent ainsi la partie intérieure de l’espace qu’ils limitent, et rendent très difficile , pour ne pas dire impossible, l’introduction de l’eau dans la mue sous la direction désirée , à cause de la grande divergence des filets.

Si l’on prolonge les conducteurs jusqu’à ce qu'ils se ren-

contrent, l’alimentation des compartiments ne peut avoir lieu que par dessus ; ce qui serait presque toujours rendu impossible par la petite surface libre des cases. Si, au contraire , on ne donnait au conducteur qu’une petite longueur , de manière à ne pas les faire rencontrer, l’alimentation aurait lieu du centre à la circonférence en même temps que par dessus.

Les conducteurs offrant alors à l’eau entrant latéralement dans les compartiments des surfaces droites isolées présentant plusieurs causes de contraction , la veine fluide se contracterait fortement , et se détachant des conducteurs perdrait la direction quelle doit avoir.

11. Pour donner et conserver, autant que possible, à l’eau cette direction , j'ai mis à profit la propriété qu’ont les corps de s'échapper, suivant la tangente, au dernier élément de la courbe sur laquelle ils se meuvent ; et j’emploie des diaphragmes courbes b' a (fig. 4 ) qui , se dirigeant, d’une part , vers le centre o, et de l’autre, étant tangents à la ligne de direction voulue ba , conduisent l’eau , sans choc et sans occasioner trop brusquement la divergence nécessaire, dans les filets fluides jusqu’aux courbes de la roue.

12. Ces dispositions générales arrêtées et représentées fig. 4, PI. 1, étudions, d’après M. Navier , la théorie de la roue à laquelle elles donnent lieu , avant de passer à la description de celles qui ont été exécutées pour les établissements précédemment indiqués.

Nommons :

V la vitesse dont l’eau est animée suivant la ligne ba.

v la vitesse angulaire de la roue.

r la distance h l’axe d’un point quelconque de la roue.

r la distance à Taxe du point où l'eau entre dans la roue.

r" la distance à l’axe du point de sortie de l’eau.

* l’angle bao formé par la veine d’eau avec le rayon.

S l’angle lik formé par le dernier élément de la courbe avec la tangente au cercle de la roue.

P l’effort exercé au point a, tangentiellement à la circonférence intérieure de la roue.

m, E, t , g représentant la masse, le volume, le poids de l’unité de volume d’eau et la gravité.

Les courbes ai... étant, comme nous l’avons dit précédemment , placées tangentiellement en a à la résultante de la vitesse effective delà veine fluide au moment de son entrée dans la roue , et du point a de celle-ci , l’eau ne choquera point ces courbes; il n’y aura donc point de force vive , et il suffira de déterminer la force vive possédée par l’eau quand elle quitte la roue.

La vitesse de l’eau , quand elle entre dans la roue , est V suivant ba ; elle est équivalente à la vitesse da — V cos a dans le sens du rayon , et la vitesse bd = V sin a perpendiculairement à cette direction ou dans le sens du mouvement de la roue.

La vitesse du point a est vr'.

La vitesse relative avec laquelle l’eau commencera à glisser le long de la courbe est donc

l/(T sin « — vr* )’ -f- t>‘ cos" a,

La force vive que l’eau possède en cet instant , si l’on ne ixmsidère que son mouvement relatif dans la roue, est

m Y sin j — »/)* -|- V* cos* a

Pendant que l’eau est contenue dans la roue, cette force vive doit augmenter du double de la quantité d’action qui lui est imprimée par la force ceulrifuge, laquelle est

mt>' dr= i m v' (/'* — /* ).

La force vive de l’eau doit donc devenir

m^(Ysin a -f »/)* -f- V*cos*« + t>*(/'* — /* )^, ou

»» (V* — 2 »/ sin « V -f- t?’ /'* ).

La vitesse effective à l’instant où l’eau quitte la roue est donc

(/"( V* — 2 0 / sin a V r "‘ ) — ©r" co#

La force vive correspondante que l’eau possède alors est égale au produit de la masse d’eau employée m par le carré de cette vitesse et par conséquent à

m [ ( V* — 2 vr' sin « V -J-v* r" , )-J-i>V"*cos’3 — 2 p/' cos 3

(J/'V* — 2i>/ sinaV-l-p*/' 3 ].

Égalant cette force vive au double de la quantité d’action imprimée , laquelle est

« tn V a — P v/,

Il vient pour expression d e l’effet obtenu

= l+n *‘^ 1 *^ + mvr 1 ’ cos. 3

2e/ sin. «Y + tV'») 13. On voit que, pour rendre cette expression delà quantité d action la plus grande possible, il faut d’abord que 1 on ait cos 3 — 1 ou ^ = 0 , c’est à dire que l’eau doit sortir de la roue tangentiellement sa circonférence.

Ainsi, dans ce cas, on a

Pe/=m(e/sin. a V-eV ,a -f-e/'kV- 2e/sin. «V-j-c*/’»).

De plus , pour que la quantité d’action transmise soit la plus grande possible et égale à celle qui a été fournie par la chute, il faut que l’eau , en soi tant de la roue, ait une vi-

tesse effective nulle ; ce que l’on obtiendra en égalant à zéro l’expression de cette vitesse que nous avons trouvée.

On a donc, en se rappelant que cos<î = 1 ,

j/V a — 2 vr 1 sin. <* Y -}- * a r" a — r/'=o , ou

V’ — 2 vr* sin. «V -f- r 2 /' 1 = v 1 r'' a ; d’où V= 2vr sin.«.

v/ est la vitesse du point a de la circonférence intérieure: appelant u cette vitesse , on aura

sin. a =

C’est à dire que le sinus de l’angle sous lequel l'eau entre dans la roue doit être égal au quotient de la vitesse de l’eau , divisé par le double de la vitesse d’un point de la circonférence sur laquelle l’eau entre dans la roue.

Introduisant cette valeur de sin « dans l’expression de la quantité d’action transmise , il vient

Pv/ = Pu =

mY’

Ou en représentant par H la hauteur due à la vitesse V, et se rappelant que V a = 2yH ,

Pu = mg H égal à la quantité d’action fournie par le moteur.

La théorie indique donc que l’équation

Sin. a = 2 ~

Étant satisfaite , on obtiendrait de la roue dont il s’agit le maximum d’effet de la force motrice.

14. La même théorie appliquée aux roues analogues à celles des moulins du Basacle , décrites par Bélidor et examinées parM. Navier, présente le même résultat. Cependant

certain , d'après les observations faites par M. Poncelet , sur ceux de la ville de Metz , et mis en mouvement par des roues en tout semblables à celles des moulins du Basacle à Toulouse, auxquelles on a étendu le nom de turbines, que ces roues, loin d’atteindre ce maximum , produisent moins d’effet que toutes les autres roues connues , il est donc bien essentiel, pour éviter la même faute, de remplir aussi exactement que possible les conditions imposées parla théorie. C’est à cela que j’ai cru devoir m’appliquer avec le plus grand soin.

15. Et, d’abord, essayant de suivre la marche de l’eau dans la disposition que j’ai adoptée, j’ai voulu m’assurer, par une construction en bois , du fond F (/îÿ-4) e t des courbes conductrices ab' , ah' qu’il porte , si l’eau soumise à une certaine pression suivait, en sortant de ces compartiments, la direction voulue ha\ j’ai reconnu, en effet, que l’eau se dirigeait assez bien suivant cette ligne , mais seulement dans le cas où le dessus des orifices , étant arrondi de manière à éviter la contraction de la veine , présentait une épaisseur suffisante.

Lorsqu’au contraire l’orilice était fermé par une mince paroi, l’eau ne suivait pas la même direction ; elle sortait presque suivant les rayons, avec cette différence, cependant , que la concavité de la courbe altérait un peu cette marche , et faisait suivre à l’eau, vers la courbe concave seulement , une direction intermédiaire entre la sienne et celle des rayons voisins.

Quant à la courbe conduisant le fluide par sa partie convexe, l’eau s’en détachait entièrement, et laissait exister entre le dernier filet d’un compartiment et le premier du compartiment adjacent un vide triangulaire dont le sommet était situé à l’extrémité de chaque courbe conductrice.

Cette observation m’ayant fait connaître les conditions à remplir pour obtenir la sortie de l’eau assez exactement sous la direction voulue dans le plan horizontal , je pouvais aussi déterminer , d’après la théorie , la direction du premier élément de la courbe , de manière à éviter le choc de l’eau à son entrée dans la rone.

Pour l’en faire sortir sans vitesse , la théorie Indique que le dernier élément de la courbe doit être tangent à la circonférence extérieure de la roue.

16. La figure de la courbe entre son premier et le dernier . élément étant indifférente, d’après M. Navier, il restait à déterminer :

1°. La largeur ag de la couronne de la roue j

2°. La position i de la courbe sur cette couronne ;

3°. Le nombre des courbes à employer.

1°. La largeur de la couronne. Elle doit être telle , que la courbure des aubes n’ait pas lieu sur un trop petit rayon, et que l'extrémité extérieure de ces aubes laisse à l’eau une somme de passages libres suffisante, c’est à dire beaucoup plus grande que la somme des orifices par lesquels l’eau s’échappa et coule dans la roue. J’ai trouvé que le rapport o^o adopté entre le diamètre extérieur et le diamètre intérieur , quand il s’agit de petites roues, et celui o,^5 à o,83 pour les grandes , procurent aux aubes courbes une courbure convenable, sans trop les alonger ^ en même temps que la somme des plus courtes distances de l’une à l’autre excède convenablement celle des orifices d’écoulement. C’est donc à ces proportions que j’ai cru devoir m’arrêter après plusieurs autres combinaisons graphiques de courbes et de largeurs de roues. L’expérience a prouvé que ce choix donne de bons résultats.