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La valeur de E étant ainsi déterminée, la courbe menée sur le plan des x y par tous les points qui jouissent de cette propriété, est évidemment une des sections coniques normales à tous les plans directeurs parallèles à l’axe dès 1 : et cette courbe ne peut se trouver que parmi celles pour lesquelles
E et
sont de même signe, c’est-à-dire parmi les pre-
5 4 MÉMOIRE SV R QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS mières ellipses ou les premières hyperboles. En faisant E = ~ k ~~ C — dans l'équation générale des pre-
mières ellipses pour lésquelles K est plus grand que H et G, on trouvera que celle de l’ellipse cherchée est
(K — H) p‘-4-(AT— G)q' ( £-”) (*-S)
et eu la mettant sous cette forme.
on verra que son grand axe est placé sur l’axe principal dont le moment d’inertie est le plus grand; en le prenant pour l’axe des x ou des p , G sera plus petit que H , la valeur de
la moitié de ce grand axe sera \/ '
, et celle de la
— -j — , ce qui donne
i/ *rJL — 4/ y ai m — y
pour la distance du centre au foyer.
Nous avons trouvé pour l’équation générale des premières hyperboles
Dp 1 — D' q x = E :
E étant positif, on a done pour celle de l’hyperbole cherchée
comme son axe transverse est l’axe principal dont le moment d’inertie est le plus grand et qu’il est pris dans cette équation pour l’axe des x ou des p , G est encore plus petit que H et K, ce qui exige que H soit plus grand que K pour que E soit positif : ainsi , dans cette équation comme dans celle de
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. J J l'ellipse que nous venons de déterminer , G est la plus petite des trois quantités G, H , K; mais, dans l’ellipse, K est la plus grande des trois, et dans l’hyberbole, c’est H. Pour désigner les mêmes quantités par les mêmes lettres dans les deux cas, il est plus commode d’adopter les dénominations relatives à l’ellipse, Ou l’ordre alphabétique suit l’ordre des grandeurs relatives à ces trois quantités; alors il faut écrire, dans l’équation de l’hyberbole, H au lieu de K , et K au lieu de H; elle devient ainsi
OU
Afp* Afq*
ce qui montre que le demi-axe transverse de cette hyperbole
a pour valeur y — — , c’est-à-dire qu’il est égal à la
distance du centre au foyer de l’ellipse, en sorte que ses sommets sont aux foyers de l’ellipse. Son demi-axe conjugué
/ jty *
a pour valeur y — — — , et celle de la distance du centre au foyer de cette hyperbole est par conséquent
qui est aussi la valeur du demi-grand axe de l’ellipse; en sorte que les sommets de cette ellipse sont aux foyers de l’hyperbole. Cès deux courbes sont d'ailleurs situées dans deux plans rectangulaires entre eux : l’ellipse, dans celui où sont toutes les premières ellipses, et qui est, comme nous l’avons vu, perpendiculaire à l’axe principal dont le moment d’inertie est le plus petit; et l’hyperbole, dans celui qui est perpendiculaire à l’axe principal dont le moment d’inertie est intermédiaire entre les deux autres, le seul où les sections
J 6 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS coniques auxquelles les plans directeurs sont normaux deviennent des hyperboles. Pour distinguer l’ellipse et l'hyperbole dont fous les points sont les centres de rotation de tous les axes pertnanens passant par ces points dans les plans normaux à ces courbes, je les désignerai sous le nom dV/lipse principale et d’ hyperbole' principale. Les propriétés qui les caractérisent ont été découvertes par M. Binet, qui les a exposées dans le Mémoire déjà cité.
En continuant de désigner par G la plus petite des trois quantités G , H , K , par H la moyenne, et par K la plus grande, et en prenant toujours aussi pour l’axe des p, soit à l’égard des premières ellipses, soit à l’égard des premières hyperboles, l’axe principal dont le moment d’inertie est le plus grand, on pourra prendre l’axe principal dont le moment d’inertie est le plus petit pour l’axe de p , tant à l’égard des secondes ellipses qu’à celui, des secondes hyperboles dont il est l’axe transverse.
Si l’on permute convenablement les lettres G, H , K , dans les valeurs de D et de D', coefficiens d e p z et de q % dans l’équation
Dp' — D’q' — E
qui représente toutes ces courbes, et si l’on donne à £ le signe convenable pour que sa valeur soit toujours positive, les équations de ces courbes seront , pour les premières ellipses ,
et
( K — H) p' (AT — G) q' — E;
pour les premières hyperboles,
et
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DES ÀXBS PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. 57 pour les secondes ellipses,
D — H — G, D' — G ~ K, et
( H — G) p l ( K — G) q' = E: enfin pour les secondes hyperboles ,
et
