CHAPITRE III
Équation de la ligne sur laquelle se trouvent tous les centres de rotation des Axes permanens passant par un point donne'.
Tous les axes permanens qui passent par un point donné A (fig. 1 ) , dont X, Y, Z sont les coordonnées relatives aux trois axes principaux, sont compris, comme nous l’avons vu, dans la surface conique du second degré qui a pour équation
D Xy Z -H D' Y x Z H- D" Z xy -4- D Y Z * H- D' X Zy ->r-D" X Y I — o;
d’où il suit que tous leurs centres de rotation se trouvent sur une courbe qui est comprise dans la même surface, et qu’on peut représenter par le système formé de la réunion de cette équation avec une autre équation qu’il est facile d’obtenir de la manière suivante: x, y, j, étant les coordonnées du point O appartenant à cette courbe, et « la distance A O, on a
et
u' = {x-xy H- (,-ïr-Mz-Z)*;
mais nous avons trouvé une autre valeur de A O — u, qui devient
ccD •
M(cY — c‘ X)
lorsqu’on y substitue au lieu de Z’ sa valeur — c X — e' Y — c" Z; en éliminant c, c ' , c" , et multipliant par u, on en conclut
(x-*) (y- Y) Yx — Xy
Xx-Yy-Zi+X'+Y‘+Z'i
et en égalant ces deux valeurs de on a l’équation
— X x— Yy— Zz=
(x-Jf) (y — Y) Yx — Xy
qui représente une surface du troisième degré, dont l’intersection avec la surface conique donne la courbe cherchée. On peut, dans Cette équation, remplacer la quantité
M ' Yx — Xy ’
par Une de ces deux-ci ,
M ' Xi — Zx ’ M ' Zy—Ÿi ’
ces trois quantités étant égales en vertu de l'équation même de la surface conique , comme il est aisé de s’en assurer par un calcul fort simple: on a ainsi trois équations du troisième degré qui peuvent être également employées pour déterminer la courbe des centres de rotation par leur intersection avec la surface conique.
Nous avons vu, page 23, que quand deux des axes principaux, que nous prendrons pour ceux des x et des y, ont des momens d’inertie égaux , la surface conique se change toujours en deux plans dont l’un est le pian abaissé du point
DES AXES PElkMANENS DE ROTATION DES CORPS.
donné A perpendictdai rement sur l’axe des i et dont l’équation est z = Z, l’autre passe par le même point A et par cet axe; il a pour équation X y — Y x — o, et est toujours un des plans principaux du corps.
Comme il faut alors faire D" = o, l'équation que nous venons de trouver devient [X y — Y x) (x 1 -hy x - h z‘ — X x — Y y — Z 2) = o, et se décompose en deux facteurs, dont l’un représente le plan principal dont nous venons de parler ; en sorte que les centres de rotation situés dans cç plan ne sont plus déterminés par cette équation, qui se trouve ainsi satisfaite; ils ne peuvent donc plus l’être que par une des deux autres équations du troisième degré. Quant aux centres de rotation des axes pcrmanem situés dans l'autre pian , comme le facteur X y — Y x n'est plus nui , ils sont déterminés par la condition que le second facteur de la même équation est alors nécessairement égal à zéro ; ce qui donne x 1 -+-y' — X x — X y = o , à cause de 1 = Z. Ces centres sont donc situés sur une circonférence tracée dans ce plan,
dont le centre a pour coordonnées — X et — • Y , et qui
passe à-la-fois par le point donné et par l'intersection du plan avec l’axe principal auquel il est perpendiculaire; il est aisé d’en conclure que les centres de rotation des axes permanens compris dans ce plan sont situés aux points où chaque axe est rencontré par la perpendiculaire abaissée du centre d'inertie sur cet axe.
Quand les trois momens d’inertie des axes principaux sont égaux entre eux, les trois quantités D, D', D" sont nulles, et, d’après ce qui a été dit page a 5 , toutes les droites menées de quelque manière que ce soit sont des axes permanens, parce que le premier membre de l’équation de la surface conique est identiquement égal à zéro; alors les trois équations du troisième degré se réduisent à une seule, savoir :
6o MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
.. + — X z — Yy — Z^==o,
qui est celle d’une surface sphérique dont le centre a pour
coordonnées — X , — Y, — Z , et qui passe à-Ia-fois par
le point donné et par le centre d’inertie; c’est sur cette surface sphérique que se trouvent tous les centres de rotation des droites menées par le point donné : d’où il suit que celui d’une droite quelconque est au point où elle est rencontrée par la perpendiculaire abaissée du centre d’inertie sur cette droite.
On peut déduire directement de l’équation que nous venons de trouver, pour la courbe des centres , les résultats auxquels nous sommes déjà parvenus dans le cas où le point A est dans un des trois plans principaux, en prenant ce plan pour celui des .v y. Cette manière d’arriver à ces résultats a en outre l’avantage de montrer -plus clairement à quoi ifs tiennent.
Quand le point A tombe en L (fgi i ) dans le plan des x y, si l’on représente, comme nous l’avons fait, par p et q ses coordonnées relatives aux deux axes principaux qui sont dans ce plan, on aura à ce point X = p, Y^i q , Z ~ o; l’équation de la surface conique devient alors
et se décompose en deux facteurs représentant deux plans, dont l’un est le plan même des x y, et l’autre a pour équa- . tion
D p y -y- D' q x -+- D" p q — o, qu’on peut écrire ainsi ,
puisque
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. 6 I Ce plan passe donc par le poin^ L, il est perpendiculaire sur celui des x y x e t sa projection sur ce dernier plan forme avec l’axe des x un angle dont la tangente est égale à
— sy
On en conclut aisément qu’il est perpendiculaire à la section conique tracée dans ce plan et passant par le point L, dont l'équation est
Dp' — D' ij' —E.
L’autre équation de la ligne des centres de rotation devient, pour les mêmes valeurs de X , Y, Z,
4 M q X — py
d’où il suit qu’on a pour la ligne des centres de rotation situés dans le plan des x y, l’équation du troisième degré
. ÎM.J • .* ,
{qx~py) [a- (Af — -^ )] ^f(x-p)(y-<l)= O,
et que, pour trouver celle de la ligne des centres qui sont dans le plan perpendiculaire à celui des x y, il faudra la rapporter à l’ordonnée j et à une abscisse t prise sur l’intersection de ces deux pians et comptée depuis le point L. En faisant, pour abréger,
on aura alors
f * ~py —
D p qt-\-D‘ pq t p
O" VH' P
et la valeur de j* se réduit à
6l MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
équation d’une circonférence passant par le point donné A et dont le diamètre est égal au coefficient de / dans le premier terme de cette valeur de i 1 .
Lorsque D =: o, la tangente de i’angle formé par l’inter- • section du plan directeur et de celui des x y avec l’axe des .v devient infinie , en sorte qu’il est alors perpendiculaire à cet axe, et l’équation que nous venons de trouver pour la circonférence sur laquelle sont situés tous les centres de rotation des axes permanens menés par le point L, se réduit à = qt — <* ; ce qui s’accorde avec le résultat obtenu page jg, en faisant Z)' = o.
Nous avons vu que les plans de ces circonférences sont normaux à une section conique quelles rencontrent chacune en un point par lequel passent toutes les droites situées dans ces plans, qui 6ont des axes permanens. La normale de la section conique à ce meme point, que nous désignerons par
n , a pour expression q
ce qui donne « —
■j/ q * -f- — pvj— quand on y remplace par sa valeur
; et si l’on nomme a et b les demi - axes de cette
courbe, on aura pour son équation q' zL
qui doit être identique kD p 1 — D‘ q x ■=. E , c’est-à-dire, à
1 —-£>■- Z* =— £F-; on adonc-t— = — ~^r,
et q * p l = dz 4*. En substituant ces valeurs dans
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. 6 J celle que nous venons de trouver pour le diamètre de la circonférence correspondante , après qu'on l'a écrite ainsi,
. ■r\ + * -i-rrr
elle devient
la normale « se rapportant au même axe principal auquel est relative la différence D des momens d’inertie des deux autres, et b étant celui des deux demi -axes de la section conique qui est perpendiculaire à ce même axe principal.
Nous avons déjà remarqué qu’il existait deux autres surfaces dont l’intersection avec la surface conique détermine , en général , la même courbe des centres de rotation ; mais, lorsque le point A est en L dans l’un des pians principaux et que la surface conique se change en deux plans , ces deux autres surfaces se partagent aussi chacune en deux nappes indépendantes l’une de l’autre, qui ne peuvent pas être combinées arbitrairement avec les deux plans quelles doivent rencontrer dans les points où se trouvent les centres de rotation, chaque nappe correspondant seulement à un de ces plans.
Pour discuter plus facilement toutes les circonstances de cette réduction des surfaces du troisième degré à des surfaces dont les équations sont moins élevées, je prends de nouvelles coordonnées x , y , dont l’origine est au point donné et dont les axes sont parallèles à ceux des x, y, i des calculs précédens.en sorte que *r= A'-+-x‘, y = Y~\-y' , z—Z~¥~z'; alors l’équation générale de la surlace conique prend cette forme très-simple, *
et les trois équations du troisième dégré sont
(Yx-Xy)(x‘‘+/'+ Z ''+Xx‘+ Yy'+ Z j)— Ç x'y‘ = o;
(Xî—Zx ) (*'• +y* +- i' +X X+Y/+ Zx) x Z ' = o,
{Zy'-Y i) (x'‘-*-y u -t-z'+X x'-*-Yy'+Z Z ) / Z = °-
Nous avons déjà vu ce qui résuite de la première , quand le point A tombe en L; on fait X=p, Y=:q, Z=o, et elle devient
{qx'-py lix^ + y'+z' + P*'
alors i’équation de ia surface conique se réduit à {Dp y’ -+- D' q x' ) z — o ,
et les deux autres équations du troisième degré se changent
en
(p-iüp) *' ?/k' = °-
qui se décomposent chacune en deux facteurs , dont i’un l=o représente dans les deux cas le plan des x y, et dont l’autre donne une surface sphérique passant toujours par le point donné L, et dont le centre a pour coordonnées, à partir de
ce point, i~[p Wy}' ^ ans P rem i er cas >
et p, (q -\r-R~Y dans le second.
Si l’on prend le second facteur z' o de ces deux équations du troisième degré , il rendra identique celle de ia surface conique , et les centres de rotation des axes permanens
passant par le point L , qui sont dans le plan des x y, resteront indéterminés; ce qui doit être, puisqu’ils sont compris, sur ce plan, dans la courbe dont 1 équation
■qy') —
-est essentiellement du troisième degré, et ne peut, en conséquence, être donnée par l’intersection du plan des x y avec des surfaces sphériques.
Je ferai remarquer, au sujet de cette dernière équation , qu’on peut l’écrire ainsi.
PÏ
qx‘ M y (*'* -+■ y" p *' -+- jy‘)
et qu’on voit alors qu’elle est satisfaite en faisant p y' = q x' , et x' et y’ infinis. Elle a donc pour asymptote la droite représentée par cette dernière équation, qui est précisément celle qui passe par le point L et par le centre d’inertie du corps; ce qui était aisé à prévoir d’après ce que nous avons dit plus haut de cette droite.
Si l’on égale, au contraire, à zéro les premiers facteurs des mêmes équations, il faudra, pour que les équations des surfaces sphériques qui en résultent aient lieu , qu’on n’ait pas 2 = o; elles ne détermineront donc des centres de rotation par leur intersection avec la surface conique, qu’autant qu’on les combinera avec l’autre facteur D p y' -+- D' q x' = o de l’équation de cette surface, équation qui représente le plan directeur dont le centre de convergence est au point L ; et en effet, ces deux surfaces sphériques coupent ce plan dans la même circonférence que la surface exprimée par l’équation
(qx‘ -py') {x'- -h z '* + p X '- h qy') -
puisque leurs équations ne diffèrent de cette dernière que
parce que la quantité
■vy
t y est remplacée par une de
i Dy ' . '
ces deux-ci, — - — , ^ — , et que ces trois quantités de-
viennent égales pour les points compris dans le plan directeur dont le centre de convergence est en L, en vertu de l’équation même de ce plan D p y' -4- D' q jt'= o, et de la relation D D' -t- D" — o.
Supposons maintenant que le point donné A tombe en L ( fig. 2 ) sur l’un des axes principaux, et qu’on prenne cet axe pour celui des x, il faudra faire X Y = o, Z = o. L’équation de la surface conique se réduit alors à y i' — o, et les trois autres deviennent
Cette dernière équation exprime, comme celle de la surface conique, les deux plans coordonnés des x y et des x quoiqu’il ne suive pas nécessairement de ce qu’on trouve ainsi la même équation y ' j' = o pour deux surfaces qui doivent se rencontrer dans la ligne des centres de rotation des axes permanens passant par le point L , qu’on ait à-la-fois y Z2Z o Z = o sur une des branches de cette ligne : il est à remarquer que le système de ces deux dernières équations représente l’axe des x dont tous les points sont, en effet, comme on l’a vu dans ce qui précède, des centres de rotation relativement à cet axe lui-même qui passe par le point L. La même observation s’applique au cas où l’on prend dans les deux premières équations du troisième degré leur second facteur, qui est y'
□ES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. 6j dans l'une et z dans i’autce» pour le combiner avec l’équation /' z‘ ~ qui représente les deux plans dont se compose alors la surface conique. Mais l’on se tromperait fort, et l’on trouverait des points d’intersection qui ne seraient pas des centres de rotation d’axes permanens passant par le point L, si l’on croyait que les premiers facteurs des mêmes équations peuvent se combiner arbitrairement avec ceux de l’équation y' z' =. o. En effet, pour que la première des trois équations ci-dessus donne
il faut qu’on n’ait pas y' =o, et par conséquent la surface sphérique exprimée par cette équation ne doit être combinée qu’avec le plan représenté par celle-ci z = o, c’est-àdire avec le plan des x y; leur intersection est une circonfé-
p H -jÿy jx' x'*,
qui passe par le point L et dont le diamètre est — p.
C’est sur cette circonférence que se trouvent tous les centres de rotation des axes permanens passant par le point L, qui sont situés dans le plan des x y.
De même, pour que le premier facteur
■y 2 +(/> — -ûj)*
de la seconde équation soit nul , H faut qw’on n’ait pas z '— o ; il faudra donc réunir f équation qu’on obtient, en l'égalant à zéro , avec y’ rr: o, équation du plan des x z> pour avoir oeffe de la circonférence sur laquelle se trouvent tous les centres de rotation des axes permanens passant par le point L qui
68 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS sont dans ce dernier plan. On trouve ainsi l’équation
qui est en effet celle de cette circonférence, comme on aurait pu le conclure de lequation trouvée plus haut entre z et /, ,en y faisant ^ = o, f = *•', et z = Z • 1
