RÉSUMÉ

On sait qu’une ligne étant prise à volonté dans un corps, il peut arriver quatre cas : ,

i Qu’elle soit un axe permanent relativement à tous les points de sa longueur : ce. cas ne peut avoir lieu que pour les axes principaux ;

2. 0 Quelle soit un axe permanent pour un point de sa longueur, qui est toujours unique : c’est le cas de tous les axes perrrianens proprement dits;

3. 0 Qu'elle soit une limite d’axes permanens ; il résulte des formules précédentes, et il est également aisé de conclure des théorèmes sur les axes principaux donnés par M. Binet, que cette propriété appartient exclusivement à toutes les droites passant par le centre d’inertie;

4 «“ Quelle ne tombe dans aucun des trois cas précédens: ce qui ne peut arriver, d’après ce qu’on vient de voir, qu’à des lignes qui ne passent pas par le centre d’inertie.

Par un point donné autre que le centre d’inertie, on ne peut donc faire passer que trois sortes de lignes , et on en peut toujours faire passer trois sortes , savoir : '

Une infinité d'axes permanens : il y en a au moins trois qui ont leur centre de rotation à ce point; . .

Une ligne servant de limite à ces axes, c’est la droite qui joint le point donné au centre d’inertie ;

Enfin des lignes qui ne sont ni axes perinanens ni limites d’axes permanens.

J’ai trouvé,

i .* Que les premières forment par leur réunion une surface conique du second degré dont l’équation est très-simple;

2: 0 Que tous les axes permanens qui passent par le point donné sont compris dans deux plans rectangulaires, lorsque ce point est situé sur un des plans principaux passant par le centre d’inertie : l’un dès deux plans rectangulaires est ce plan principal lui -même; l’autre, qui lui est perpendiculaire, se trouvé déterminé complètement par la situation du point donné et les valeurs des momens d’inertie des trois axes principaux; ' 1

3." Que si l’on multiplie les trois différences entre les momens d’inertie relatifs aux trois axes principaux , respectivement par les cosinus des angles qu’ils forment avec la ligne qui joint le point donné au centre d’inertie, et qu’on divise les produits ainsi obtenus par les cosinus des angles compris entre les memes axes et une ligne quelconque passant par le point donné, cette ligne sera 'ou ne sera pas un axe perfnanent, suivant que la somme des quotiens résultant de ces divisions sera ou ne sera pas nulle , bien entendu que les différences entre les momens d’inertie relatifs aux trois axes principaux doivent être prises de manière que chaque moment d’inertie entre une fois positivement et une fois négativement dans ces différences ;

•4.“ Que, dans le cas où loi» s'est assuré ainsi qu’une ligne donnée est un axe permanent, et qu’on veut déterminer son centre de rotation , il faut abaisser du centre d’inertie une perpendiculaire sur cette ligne, et prendre, à partir du point K

•JO MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS (fig. i) où elle la rencontre, une distance égaie à une des valeurs de K O données page 33; l'autre extrémité Ode cette distance sera le centre de rotation cherché : ou bien déterminer ce centre par la construction décrite pages 33 et 34;

5. “ Que, dans tout plan mené par le point donné et le centre d’inertie, il y a un axe permanent passant par ce point et déterminé par les formules données pages 18-1^ ;

6. " Que, dans le cas où le point donné est sur un des plans principaux, et où tous les axes permanens qui y passent sans être compris dans ce plan se trouvent dans un autre plan perpendiculaire au premier, les centres de rotation de ces axes sont situés sur une circonférence qui passe par le point donné et y touche la droite qui y est élevée perpendiculairement an plan principal, droite qui est elle-même un axe permanent;

7. 0 Que les plans différens des plans principaux où se trouvent ainsi une infinité d’axes permanens menés par tin même poipt situé dans leur intersection avec un plan principal , sont normaux à une section conique qui passe par ce point, et" qui est comprise dans le plan principal;

8.“ Que toutes celles de ces sections coniques qui sont comprises dans un même plan principal sont semblables entre elles, et ont leurs axes dans le rapport des racines carrées des différences entre le moment d’inertie relatif à ce plan principal et les moinens d’inertie relatifs aux deux autres plans principaux ;

p.° Que ces sections coniques sont des hyperboles sur le plan principal dont le moment d’inertie est intermédiaire entre les inomens d’inertie des deux autres plans principaux et des ellipses sur ces derniers;

1 o.* Que si fon veut trouvèr la valeur du moment d'inertie d’une ligne donnée qui satisfait au caractère auquel on reconnaît les axes permanens, il est aisé de la trouver par l’expression algébrique ou par la construction géométrique que noue

avons données, aux pages 49 et 50» pour déterminer ce moment d'inertie;

1 1. ° Que la ligne sur laquelle se trouvent tous les centres de rotation des axes permanens passant par un point donné, est déterminée par l’intersection d’une surface du troisième degré avec la surface conique qui comprend tous ces axes;

12. ° Qu’il y a en général trois surfaces du troisième degré qui peuvent servir indifféremment à cette détermination;

13. “ Que quand le point donné est dans un des plans principaux, et que la surface conique devient ui^ système de deux plans , une des trois surfaces reste du troisième degré et donne, par ses intersections avec les deux plans de ce système, tous les centres de rotation cherchés, tandis que les deux autres sont remplacées chacune par une surface sphérique et un plan qui se confond avec un des plans de la surface conique, en sorte que rien ne détermine plus les centres de rotation dont l’intersection de ces deux plans devrait donner le lieu , mais que ceux de l’autre plan de la surface conique continuent d’étre déterminés par l’intersection commune de ce dernier et de la surface sphérique correspondante ;

14. ° Que, dans le cas où le point donné est sur un des axes principaux , et que la surface est remplacée par le système des deux plans principaux qui passent par cet axe, une des trois surfaces se change précisément dans ce même système et peut être regardée comme ne déterminant plus nécessairement des centres de rotation d’axes permanens passant par le point donné, mais quelle indique cependant par l’intersection des deux plans dont elle se compose ainsi que la surface conique , les centres de rotation situés à tous les points de l’axe principal sur lequel se trouve ce point donné ;

'15.“ Que, dans le même cas, les deux autres surfaces sont remplacées par deux systèmes composés chacun d’un plan et

72 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS &C. d’une surface sphérique; qu'on retrouve ainsi les deux plans principaux dont l’intersection donne tous les centres de rotation situés sur l'axe principal qui passe par le point donné; que chaque surface sphérique ne doit être combinée qu’avec un des plans dont se compose alors la surface conique, et y détermine tous les centres de rotation des axes permanens passant par le point donné qui sont situés dans ce plan sans l’être sur l’axe principal mené par le même point.

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