AVANT-PROPOS

Euler, qui fit une si heureuse application de ia considération des axes permanens à ia détermination du mouvement d'un corps, soit iibre , soit retenu par un point fixe, démontra que par tout point lié invariablement avec ie corps, ou pris dans son intérieur , on peut toujours faire passer au moins trois axes permanens perpendiculaires entre eux, dont les centres de rotation sont placés à ce point. Mais il ne tint pas compte des autres axes permanens qui peuvent passer par ie même point, et dont les centres sont situés à «les points différens de celui que l'on considère ; en général, il ne s’occupa point de la distribution des axes permanens dans un corps.

La théorie des axes, permanens se borna à la démonstration de ce théorème et aux formules par lesquelles, connaissant les valeurs des momens d’inertie par rapport aux trois axes principaux, on peut calculer celle du moment d’inertie relatif à un axe quelconque , jusqu’au mémoire présenté à l’Institut au mois de mai 1 8 1 1 par M. Binet, tant sur les axes permanens qu’il nomme axes principaux , que sur une autre sorte d’axes qu’il a considérés le premier et nommés axes conjugués; ces axes sont devenus , dans ses mains , un sujet fécond en résultats aussi remarquables qu’inattendus, et dont il a déduit entre autres conséquences une théorie complète sur ia situation des axes permanens et la manière dont ils sont distribués dans un corps. J’ai cru cependant qu’on pouvait encore ajouter quelque chose à ce beau travail; je me propose ici d’exposer le point de vue sous lequel j’ai considéré les axes permanens , et les résultats auxquels j’ai été conduit; mais je dois d’abord

DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. 7 démontrer quelques formules dues à M. de Lagrange, dont j’aurai besoin dans le cours de ce Mémoire.

Quand, au lieu des trois coordonnées x ,y, on en prend

trois autres x', y', z • telles que

Z = ex -4- c y H -c" z,

il existe entre les neuf cosinus des angles formés par un des anciens axes avec un des nouveaux, et qui sont représentés ici par a, a , a , b, b', b" , c, c , c" , six relations qu’on peut mettre sous différentes formes : voici une conséquence de ces relations, que je dois d’abord en déduire parce que j’en aurai besoin dans des recherches ultérieures. Les six relations étant

mises sous cette forme,

■I •M'fJj l •

i! j ti . .

a*-H = i — e‘, = » — r‘\ *'*-4-4'* = I a a' -+- b b' = — et' , aa-^-bb" — —ce", a' a"-{-b'b , z= —eV,

on en tire, en multipliant la première par la seconde et élevant la quatrième au carré,

a* d''-+-t k b’'-ha'r t -t-b l a' l = 1 — r* — c"* + r* t‘\ a* a' 1 -t- 4*4'*-+- z a b a b' = c * r'*;

ainsi

<** b' % -f- 4* a* — » <r 4 a' 4' x= i — r* — r'* =: r'*, d’où : ; . ,

a b' — ba' = dt. c".

8 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS On trouverait de même

b a' — a b" ~ dt c' a b" — b' a " ^ ±zc.

Mais, en suivant cette marche, on ne verrait pas comment les signes des deux dernières équations dépendent de celui de la première : c’est ce qu’on voit au contraire en partant par exemple de

c" — ab' — b a' ,

et trouvant c et c' au moyen des deux relations suivantes , a c -+- a c = — a c »

qui donnent, d'après les formules des équations du premier degré ,

— ab^c' + ba-c "

ab‘ *— ■ b a’

- 7 ^{ba"-ab") = ba"-ab\

Ainsi ie signe de la première équation est arbitraire ; mais , une fois qu’il a été choisi à volonté, il détermine ceux des autres équations, et en outre ceux des équations qui donnent des valeurs semblables pour b, b' , b" , a, a , a". En effet, si l’on substitue, par exemple, les valeurs que nous venons de trouver pourr’ et / à la place de ces quantités dans c'a'—ac 11 , on trouve

c' a" — a c’=ba' — aa" b" — a a' b'-bba 1 '

— b — n * b — a a" b° — an' b' = b, en vertu des deux relations

tandis qu’en substituant les mêmes valeurs dans aV — c'a 1 , on aurait trouvé — b ■

DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. J On aura donc avec

c=a' b" — h’ a’, c' = b a * — ab\ c* — a b' — b a'.

ces valeurs de b, b' , b" ,

i f a ru

=:c a — a c , b = a c — en,

dont la dépendance , relativement aux trois équations qui donnentr, c' , c' , consiste en ce que, si a, par exemple, est multiplié dans les valeurs de c, c‘ , c“ , par b' et par — b" , il le sera par c " et par — c' dans celles de b, b' , b"; et de même pour a et pour a". Il est aisé d’en conclure que pour ces valeurs de c , c' , c” , b, b' , b“ , celles de a, a , a' , seront

a — b' r" — c' b\ a — c b' —bc”, a"= b c' —cb',

' . • t xi .

valeurs qu'il est d’ailleurs facile ^le vérifier par des calculs semblables à celui qui nous a donné la valeur de b.