CHAPITRE I er
Des Axes permanens assujettis J passer par un point donné.
On peut, en général , faire passer par un point A (1), pris soit dans un corps , soit hors de ce corps , trois sortes de lignes : i Celles qui sont des axes permanens par rapport à ce point, et qui sont au moins au nombre de trois;
2.° Celles qui ne le sont pas pour ce point, mais pour un autre point de leur longueur;
(i) Voyez U figure i à Ia page 30 de ce Mémoire.
IO MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS 3. 0 Celles qui ne le sont pour aucun point de leur longueur.
Les premières sont déterminées par ia condition qu’en les prenant pour axe des z ' , chacune à son tour,/ x‘ z d m et f y' Z d m soient nuiles; les secondes par cette autre condition, que les mêmes quantités, n’étant pas nuiles pour le point A, le soient pour un point O qui s’en trouve à une distance = r, sur la ligne que l’on considère, en sorte que
S y ( z — r)dm — o,etfx'(z' — r)dm= o;
d'où
fy'z'dm f X* z' d m
r fy‘im ’ T fx'dm *
et la condition cherchée est exprimée par
f y' z' dm f x * z' dm
f y' d m f x' dm
Comme on peut toujours prendre pour axes des x' et des y deux droites perpendiculaires à cette ligne et rectangulaires entre elles, dans des directions telles, qu’outre les deux équations ci-dessus , on ait de plus f x' y' d m = o, ia ligne passant par le point A, qui satisfera à la condition précédente, sera un axe permanent relativement au point O déterminé par la condition A O — r, puisqu’on aura pour ce point
f x' (z ! — r) d m =o,f y' (z — r) d m — o,fx'ydm = o. On voit en même temps, par ces formules, pourquoi, quand le point A est le centre d’inertie, il n’y a que deux sortes de lignesqui puissent y passer; car alors / x' d m — o,f y dmzzo, ce qui donne
f x 1 (z — r) dm =/x' z' d m,
S y' {Z — r) dm =/y' z d m, en sorte que si la ligne est un axe permanent pour le point A, elle le sera aussi pour tous les autres points pris sur son cours,
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. I I et que, si elle ne l’est pas pour le point A, elle ne pourra jamais l’être pour aucun de ses points, si ce n’est pour un point situé à une distance infinie, puisqu’alors la valeur générale de r devient infinie.
Reste à trouver toutes les lignes qui, passant par un point A different du centre d’inertie, satisfont à la condition
fy'z'dm f x ' z‘ d m ,
J'y* dm J x* dm
Supposons que les axes primitifs des x, y, i< sont les axes principaux; nommons G, H , K, les trois quantités ^"* 1 d m, //* d m ,f z 1 d my M , la masse du corps; X', Y', Z' , les coordonnées du centre d’inertie relativement au point A et aux axes des x', y' , z: X. Y, Z, celles du point A relativement au centre d’inertie et aux axes des x, y, Nous aurons, en représentant, comme on le fait ordinairement, par a, a , a", b, b', b“, c, c', c", les cosinus des angles formés par les deux systèmes,
x‘ — X' -f- a x -+- a y -+■ a' z, y —Y' b x b' y b" z> z' — Z' -t-rx-f *' = — aX— <i'Y—a‘ Z,
Y' — — bX — b' Y — b" Z,
parce que x — X , y = Y, z~ Z, doivent donner »!=o, y' = 0,2 =0. En substituant ces trois dernières valeurs dans les précédentes, on aurait les valeurs connues de x , y, z> en x,y, z> X, Y, Z; mais nous conserverons d’abord X', Y', Z', dans celles de x',y', z , pour que le calcul soit moins compliqué. Elles donneront, à cause de
fxdmz=.o,J y dm = o, / %d m — a, f yidm—o,/ xzdm = o,f x y d m = o.
12 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS les valeurs suivantes :
, J x' à m = M X' , fy' d m — M Y',
fx ï d m~M X' Z'-Y-ac G -Y- a c' H -Y- a’ c" K , fy' i dm=zMY' Z' -Y-b rG + 4' r' H-Y-b" c' K; ce qui change les deux valeurs obtenues précédemment pour r, en
bc.G -M-b' c' H -t-b" e“ K
Pour que ces deux vah-L.a soient égales, il faut que
ac G -h a' c' H a" c" K bc G -*-i‘ c’ H -4-4“ c" K
ou, en mettant au lieu de X' et de Y' leurs valeurs et changeant les signes,
ac G-t-a'c' H+.a"c‘K b c G + b‘ c' H b" c' K
aX-+-a- Y+a-Z b X ■+■ b‘ Y b' Z
d’où l’on tire
a bcGX-Y-ba' c' HX-Y-ba* c'KX-Y-ab'c GY-Y-a'b' c' H Y -Y- b' a" c’ K Y-Y-ab" c GZ-Y- a b" c' H Z-Y- a" b° c" KZ — abc G X-ha b' c H X-Y- a b ’ c" K X-Y- b a c G Y-y- d b' c' H Y -+- a b ' c" K Y-Y- b a" c G Z-Y- b' a" c' H Z -Y- a" b" c ’ K Z, c’est-à-dire ,
[ab'—bn')c H X-*-[a b"~b a“)c‘ K X+(ba' —a b')cGY-+- (a' b‘-b' a^c" KYa-{ b a"— a b") c G Z-t- ( b' cY-a' b‘)c H Z=o,
qui devient, à cause des valeurs de c, c', c ", obtenues précédemment ,
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. , 13 Et si nous représentons par D , D', D° , ies trois différences H — K , K — G, G — H , entre les quantités G , H , K , prises de manière que chacune de ces quantités entre une fois positivement et une fois négativement dans les deux différences où elle se trouve, en sorte qu’on ait
D-hD' -h D" = o,
ces quantités seront aussi les différences entre les trois momens d’inertie relatifs aux axes principaux; car, en nommant ces momens A , B , C, on a, comme on sait,
A = H -h K, B=G-hK,C=G-hH.
d’où
et l’équation que nous venons d’obtenir prendra cette forme plus simple :
c' c’ DX + cc' D' Y-hcc' D" Z = o.
Toutes les fois qu’une ligne passant par un point donné A, dont les coordonnées relatives aux trois axes principaux sont X,Y, 7 j, sera dirigée de manière que les cosinus c, c , c", des angles qu'elle forme avec ces trois axes, ne satisferont pas à l’équation précédente, elle ne pourra être un axe permanent ; quand , au contraire , cette équation sera satisfaite , la ligne sera nécessairement un axe permanent ou une limite d’axe permanent. Il est d’ailleurs aisé de reconnaître à quel caractère on distinguera les axes permanens de leurs limites, en faisant attention , t que cette équation est toujours satisfaite par une ligne qui passe par le centre d’inertie du corps , parce qu’en prenant le point A à ce centre , on a X =0, T=o, Z = 0 , ce qui fait évanouir tous les termes de l'équation ; 2. 0 que quand l’axe des 1' passe par le centre d’inertie, on a/ x' d m — o,f y' dm = o, et qu’alors, si la ligne donnée n’est pas un axe principal, les quantités fx'i dm,
l4 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
ne sont pas nulles , d’où il suit que les valeur*
J y' z' dm ,
■ et j- y j t ~ '~ • que nous avons trouvées pour r,
deviennent infinies, en sorte que les lignes qui satisfont dans ce cas à l’équation sont toutes des limites d’axes permanens. Il est aisé de voir, au reste, que cette propriété leur appartient exxlusivement; ce qui résultera d’ailleurs de la détermination générale de la valeur de r que nous donnerons plus bas, cette valeur ne pouvant devenir infinie que quand la ligne dont on cherche le centre de rotation passe par le centre d'inertie. La même équation est encore satisfaite quand la ligne est parallèle à un des axes principaux, ou quelle est comprise dans un dés trois plans rectangulaires qui joignent ces axes deux à deux. En effet, si la ligne est, par exemple, parallèle à l’axe des z , on a c— o, c' = o, c" = i ; et comme tous les termes de l’équation de condition contiennent l’un des deux facteurs c ou c‘, cette équation est satisfaite. Si la même ligne est comprise, par exemple, dans le plan des x y, on a c" = o et Z = o, ce qui rend encore nul le premier membre de l’équàtion
c’ c" DX + cc" D' Y+c c' D" Z = o :
d'où il suit que les deux sortes de lignes dont nous venons de parler sont toujours des axes permanens, ou des limites d’axes permanens; ce qu’il est d’ailleurs aisé de déduire des lois de la distribution des axes permanens d’un corps qu’a données M. Binet dans le Mémoire cité plus haut.
On peut aussi écrire l’équation précédente ainsi,
D X , D‘ Y . D“ Z — ( 1 -r . — =ro;
Cf C
et si l’on nomme s U ligne qui joint le centre d’inertie au point donné A;m, m', m", les trois cosinus des angles que cette ligne forme avec les trois axes, on aura
J/ Z dm.
f x' z‘ dm f x' d m
' Yzzzm's,
en sorte que cette équation deviendra
d'où il suit que parmi toutes les lignes passant par un point donné A different du centre d’inertie, celles-là seulement sont des axes permanens, ou des limites d’axes permanens,
S [ui sont situées de manière que lorsqu’on divise les trois dififrences D, D', D", entre les momens d’inertie des trois axes principaux respectivement par les cosinus des angles quelles forment avec ces trois axes , et qu’on multiplie les quotient par les cosinus des angles que forme avec les mêmes axes la droite qui joint le point A et le centre d’inertie, on trouve trois produits dont la somme est égale à zéro. Une seule des lignes qui satisfont à cette condition est une limite d’axes permanens, c’est celle qui passe à-la-fois par le point donné et le centre d’inertie.
Si l’on nomme u la distance du point A à un point dont les coordonnées soient x , y, 1, et qui soit pris à volonté sur un des axes permanens passant par ce point A , on aura
r'—JL
c zxz —
ce qui change l'équation
— -jV-. \
c fi X -+- c c" D' y Y D“ Z = o
en
DX(y-Y)\£- Z)+D Y{x-X) (f-Z)+ZT Z(x~X) (r~Y)=o.
l6 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS En exécutant les multiplications indiquées, et faisant les réductions qui résultent de l'équation
on a
DXy z+D‘ Y x z+D" Z xy+D Y Z x+D' X Z y+D" X Y Z =o,
équation commune à tous les axes permanens qui passent par le point A ; et comme elle appartient à une surface conique du second ordre , il s’ensuit que c’est sur une surface de ce genre que se trouvent tous ces axes. Cette surface, dont le sommet est au point A , passe par la ligne qui le joint au centre d’inertie et qui est la limite de tous les axes permanens qui se trouvent sur cette surface, puisque l'équation est satisfaite quand x=o,y=zo, £— o. Elle passe aussi parles trois parallèles menées du point A aux trois axes principaux, puisque cette équation l’est aussi , soit qu’on fasse y = Y, Z = Z , ou x = X, z— Z, ou enfin x = X , y = Y ; ce qui doit être, puisque toute parallèle à un des axes principaux est, comme nous venons de le voir, un axe permanent.
L'équation commune à toutes les surfaces coniques formées par les axes permanens qui se coupent à leurs sommets, prouve qu’il n’y a pas d’axe permanent parallèle à un plan principal qui ne le soit à un des axes principaux compris dans ce plan : car, pour qu’il soit parallèle, par exemple, au plan des x y , il faut que £ = Z, ce qui réduit cette équation à(x — X) (y — f'j^o; en sorte qu’on aura à-la-fois ou 2=Z et y— Y, et alors l’axe permanent sera parallèle à l’axe des x, ou 2= Z et x^zX, et alors il sera parallèle à l’axe des y.
Si l’on fait passer un plan quelconque par la ligne menée au point A au centre d’inertie , il coupera la surface conique en une autre ligne dont la direction se trouve déterminée par une relation très-simple qu’on obtient de la manière suivante :
Soient», n ,n“ les cosinus des trois angles que forme ce plan
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. I7 avec les trois plans coordonné que nous venons de considérer, ou, ce qui est la même chose, des trois angles que forme, avec les axes des x , des .y et des 1, la ligne menée par le point A perpendiculairement à ce plan. Comme cette ligne est à-la-fois perpendiculaire à celles dont les cosinus sont respectivement c, c , c" et m, m , m", on aura
n c -4- n c -f- n c =0, m n -4- tn' n' -f- m" n" — o.
Ces deux dernières équations donnent
m " tu n tu n
ce qui change l'équation
Dm D' m‘
m n tn n nc-fn' c *
D*tn m
en
ou
D m n c c -+- D' n m c x -4- D m n' e' % -f- D' m' n' e c' -f- D mntc -H JL) m n c c m o , et à cause de D" =. — D — D', cetto équation se réduit à D'n m' c 1 -4- D m ne' — D' m n c c' — D m n c c' — o, ou
(D'ne — D n c’) ( m ' c — m c') — o; or le facteur me — me' , égalé à zéro, donne ~ , ainsi
(D-+-D') — -*-zr ™L — 0 ,
et à cause de D -+- D = — D",
mais on a
r8 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS et m l -4-m' 1 -+- m" x = i , ou k % (<•* -f- f i ; ainsi k = dt i , on a donc
c = m , c z=z m , c zzz m ,
ou
c’est-à-dire que ce facteur donne pour une des intersections du plan que nous considérons et de la surface conique la ligne qui passe par le point donné et le centre d’inertie, et qui est la limite de tous les axes permanens situés sur cette surface. L’autre intersection, correspondant à l’autre facteur
D' n c — Du' c' = o ,
déterminera, parmi les axes permanens passant par le point donné, celui qui est situé dans ce plan. On aura pour cet axe ne it'c* nf+n’f’ n" c"
D — ~ W~ — £>-+-£>' — zr ’
puisque n c -+• n' <■’ = — n" c “ et D -+- D' — — D". On tire de ces relations :
et
alïïsl
d’où il est aisé de conclure, en vertu de l’équation (‘ -+- c”*= i, que
Dn’ n" ’
C yf />* n ' 1 n 1 -+- Ù ,x n‘n" D~‘ n‘ /i '
dont deux suffisent pour déterminer la position de l’axe permanent qui, passant par un point donné, se trouve dans un plan donné mené par la ligne qui joint ce point au centre d’inertie. Mah un moyen plus simple de déterminer cet axe, puisqu’il doit passer par le point A et doit être situé dans le plan A G M, c’est de prendre la valeur du cosinus de l’angle qu’il forme avec la droite menée par les points A et G; cette valeur est
, , u „ Dtnn' n" D' m‘ n n" -*rD" m" n a'
Quant à l'équation du plan G A M, elle sera \ inf + n';+(i" j= o,
et l’axe permanent A M situé dans ce plan sera représenté par deux des trois équations
Dii‘
7 — fl , L ' f -
Dt W-' . ■ i , .1
Quand le point donné A est dans un des pians principaux, par exemple dans le plan des x /, on a Z = o et m " = o; en vertu de cette valeur de m, .l’équation
mn-i-nt n -J- ni « “o 1
donne
en sorte que la première des trois équations que nous venons de trouver pour un axe permanent passant par le point A, devient r • • . c . - :: ' i . • t.t
DX
D- y DY+-D- Y ' D- Y D’Y
à cause que l’on a et D -t- D' = — D .
Cette équation étant indépendante des angles dont les cosinus sont>», n' , n“ , qui détermine la position du pian G A M , les axes .permanent passant par le point A , correspondant aux diverses positions de ce plan , auront tous pour projection sur le plan des x y une même droite représentée par cette équation, et seront par conséquent dans un même plan perpendiculaire à celui des x y; mais parmi ces diverses positions du plan G AM, il s’en trouve une où il se confond avec le plan des x .y, alors n = o, « = o,
n z=z r, eticquation
m n H- m n -f- m n =0 se trouve ainsi satisfaite d’eife-même ; l’équation
l’est aussi , puisqu’elle devient \
mais, comme on a alors Zaao, les deux autres équations des axes permanens passant par le point A se réduisent à 1 = o , en sorte que toutes les lignes menées par ce point dans le plan des .v y sont des axes permanens , et qu’en général , lorsque le point donné est dans un des plans principaux , la surface conique qui comprend tous les axes permanens qui y.. passent se change en deux pians, dont l’un est ce plan principal et l’autre lui est perpendiculaire.
Quand on fait ainsi tizzzo , n 1 == o, n" — t , les valeurs
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. ai
que nous venbijs d'obtenir pour r et c , deviennent —, et celle
de c" devient nulle, parce que son numérateur contient alors deux facteurs égaux à zéro, tandis que le dénominateur commun aux trois valeurs n’en contient qu’un; ce qui montre que l’axe permanent. , cherché doit être dans ce plan , mais que sa direction y reste arbitraire, comme nous venons de le voir.
Après np^ts être occupés d uh plan sécant passant par le point donné A et le centre d’inertie, il est naturel de considérer le plan passant par ces deux points, qui est tangent à -la surfaire conique. Ce plan s’obtient parla condition que ses deux intersections âved la surface se réunissent, c’està-dire qu’on ait, dans les formules précédentes,
on aura
donc
..fl
-mW ,
d'où
: i iti •
.«ü.'îi
fi •
fl • •
ft •
fi •
lit
lit) *i».
ainsi
. ♦if.e
fl • fl ■ f»
fii ni
Lf ni m"
fi • il • fl
* * irt *
ni fft •
d’où l’on tirera les valeurs de n, ri , ri', qui feront connaître la direction du plan tangent à la surface conique mené par le centre d'inertie ; l’équation de ce plan est
