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Nous avions déjà vu que toute ligne menée dans un des

2 2 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS pians principaux est un axe permanent; il était aisé d’en conclure que , quand le point donné A est dans un de ces plans, toutes les lignes qui y passent et sont situées dans ce plan doivent se trouver sur la surface conique que nous venons de déterminer, et qu’elle doit alors se réduire à deux plans, dont l’un est le plan principal qui passe par ie point donné. Cest aussi ce qu’on peut déduire de son équation; car, en prenant ce dernier plan pour celui des x y, on a Z = o , et l’équation de la surface conique devient ( DXy-A-D ' Ÿx + D" X Y) Z = o.

dont le facteur Z ^ 0 représente le plan principal où se trouve ie point donné, et l’autre facteur D X y -\-D' Yx-t-D" X Y=o, ne renfermant pas g, et ne contenant x et y qu’à la, première puissance, représente un plan perpendiculaire au premier et qui le coupe suivant fa droite dont l'équation est

comme nous l’avons déjà trouvé d’une autre manière.

Il est aisé de voir que tant qu’aucune des quantités D X , D Y, D Z, ne sera mille, l’éqûation - D Xy z+D' Yx z+D n Z x y+D Y Z *-*-/>' X Zy+D" X Y ne pourra se décomposer en deux facteurs du premier degré, et que par conséquent aucune partie de la surface conique ne pourra devenir plane. Ce n’est donc que dans le cas où une des trois quantités D X, D‘ Y, D" Z, devient nulle, que le point dont les coordonnées sont X , Y, Z, peut présenter cette propriété qu’on puisse y foire passer un plan où toutes les lignes menées par le point donné dans ce plan soient des axes permanens : c’est ce qui peut arriver de deux manières, ou parce qu’une des quantités X, Y,- Z est nulle, alors le point donné est dans un des plans principaux, une portion des axes permanens passant par le point donné se trouve dans

DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. SJ ce pian et ies autres sont compris dans un autre pian qui lui est perpendiculaire; ou parce que, par ia nature du corps, une des trois quantités D, D', D ", est nulle. Supposons qu$ ce soit D": comme D" = / a* d m — f y % d m, il faudra que f y % d m x 1 d m , e t par la théorie connue des plans principaux, tout plan passant par l’axe des j sera un plan principal. La supposition o réduit l’équation de la sur-

face conique à

(DXy+D' Yx) Z -*-{D‘ Xy-+DYx)Z = o-,

mais comme alors G = H, les deux quantités D — H — K et D—K — G sont égales et de signes contraires, cette équation peut donc s’écrire ainsi ,

(Xy-Yx)( Z -Z)z= O, dont le premier facteur X y — Y x = o, donnant

JL — JL '

représente le plan qui passe par le point donné et par l’axe des Z , et qui, comme nous venons de le dire, est un plan principal. L’autre facteur Z Z — o, représente un autre plan passant par le point donné et parallèle au plan des x y; il est donc perpendiculaire au plan représenté par le premier facteur, et dans ce cas, comme dans celui que nous avons d’abord examiné, les axes permanens passant par un point donné ne peuvent être compris dans deux plans qu’autant que l’un de ces deux plans est un des pians principaux et que l’autre lui est perpendiculaire, en sorte que dans aucun cas cette propriété ne peut appartenir à un point qui ne se trouve pas dans un des plans principaux, et que les axes permanens qui passent par un point donné ne peuvent se trouver compris dans des plans qu'autant que ces plans, s’ils ne sont pas des plans principaux , soient nécessairement

z4 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS parallèles à un des axes principaux. Cette proposition, qui est généralement vraie quand il s’agit des axes permanens proprement dits, cesse de l’être quand on considère un plan où passent par un même point les limites d’axes permanens qui se trouvent dans ce plan. Comme nous avons vu que toutes les lignes passant par le centre d’inertie et différentes des axes principaux sont des limites d’axes permanens, et réciproquement, il s'ensuit que tout plan passant par le centre d’inertie contient une infinité de iimites d’axes permanens qui se coupent toutes à ce centre, en sorte que ces limites peuvent être comprises dans un plan et passer par un même point de ce plan, sans qu’il soit un plan perpendiculaire à un des pians principaux : c’est là une première différence entre les plans où se trouvent une infinité d’axes permanens passant par un même point , et les plans qui jouissent de la même-propriété relativement aux limites de ces axes; une autre différence entre ces deux sortes de plans vient de ce que les premiers, outre ie système des axes permanens passant par le point donné, contiennent un second système d'axes permanèns parallèles entre eux et à l’axe principal, auquel le plan l’est lui-même, puisque toute ligne parallèle à cet axe est un axe permanent, tandis que la même propriété n’a pas lieu en général pour les plans où se trouvent une infinité de limites d'axes permanens, mais seulement dans le cas particulier où ces derniers plans seraient parallèles à un axe principal qui y serait alors nécessairement contenu.

Les plans passant par le centre d’inertie et dirigés d'une manière quelconque , contenant une infinité de limites d’axes permanens, sont, d’après nos définitions, les plans directeurs de ces limites, et leur centre de convergence est au centre d’inertie; mais ils ne doivent point être confondus avec les plans directeurs des axes permanens proprement dits, puisqu’au lieu de présenter toujours, comme ces derniers, la

DES AXES PERMANENS DE ROTATfON DES CORPS. 2 J propriété de contenir un second système d’axes permanens parallèles entre eux, ils ne la présentent que dans le cas particulier où ils sont perpendiculaires à un plan principal : c’est pourquoi, dans tout ce que nous allons dire des plans directeurs , nous entendrons toujours par ce mot les plans directeurs des axes permanens, et non ceux de leurs limites.

Si le point donné se trouvait sur un des axes principaux, en prenant cet axe pour celui des z> on aurait A==o, Y— o; l'équation de la surface conique deviendrait Lf Z x y =. o ,

et l’on aurait x = o, ouy = o, c'est-à-dire que les deux plans dans lesquels se change alors Cette surface sont les deux plans principaux qui passent par le point donné ; ce qui est d’ailleurs évident, puisque toutes les lignes menées par un point quelconque pris dans les plans principaux sont des axes permanens.

Lorsque l’intégrale f x % d m est égale à J y‘ d m , ce qui donne D" = o, l’équation que nous venons d’obtenir pour Je cas où le point donné est sur l’axe des z> s’évanouit : ce qui indique que dans ce cas toutes les lignes menées par ce point, dans quelque direction que ce soit, sont des axes permanens; ce qu’il est d'ailleurs bien aisé de voir à priori.

L’équation générale

DXy z+D' Y xy-+-D" Z x y+D YZx+D‘ X Zy+D“ Y X z-o disparaît aussi quand les trois intégrales f x 1 dm, f y 1 dm, ftfdm, sont égales entre elles, parce qu’alors toutes les lignes menées de quelque manière que ce soit par un point quelconque sont des axes permanens.

Enfin , si le point donné était au centre d’inertie, on aurait X = o, Y=o, Z = o , et l’équation de la surface conique disparaîtrait encore, parce que tout plan mené par le centre d’inertie est, comme nous l’avons vu plus haut, un plan

2 6 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS directeur des limites des axes permanens qui se trouvent dans ce plan , et dont le centre de convergence est au centre d’inertie. Il suit de ces diverses considérations, qu’outre les plans directeurs des limites des axes permanens , on doit distinguer dans un corps quatre sortes de plans:

i Les plans directeurs qui le sont relativement à tous les points de leur surface, propriété qui ne peut appartenir en général qu’aux plans principaux , comme il n’y a que les axes principaux qui soient des axes permanens relativement à tous les points de leur longueur, mais qui, dans le cas où les momens d’inertie de deux axes principaux sont égaux entre eux, appartient aussi aux plans menés par un point quelconque perpendiculairement à l’axe principal dont le moment d’inertie n’est pas égal aux deux autres, comme il est aisé de le conclure de ce qui a été dit plus haut relativement à la forme que prend alors l’équation de la surface conique;

2. 0 Les plans directeurs à un seul centre de convergence, qui contiennent toujours deux systèmes d’axes permanens, l’un formé d’axes permanens passant par un point déterminé de cés plans, qui est leur centre, et l’autre, d’axes permanens parallèles entre eux et à un des axes principaux, auquel le plan directeur est nécessairement parallèle;

3.“ Les plans qui, sans avoir de centre de convergence,, satisfont aux mêmes conditions que ceux qui en ont, parce que le point où devait être leur centre de convergence se trouve placé à une distance infinie, en sorte que les deux systèmes d’axes permanens qu’ils contiennent se composent tous deux d’axes parallèles entre eux, et qu’on doit par conséquent considérer chacun de ces plans comme une limite dont un plan directeur peut s’approcher d’aussi près que l’oit veut sans jamais l’atteindre. Il est aisé de voir que cette propriété appartient à tout plan perpendiculaire à un des axes

DES AXES PERMANENS DE ROTAÏION DES CORPS. iq principaux, qui , étant à-Ia-fois perpendiculaire à deux plans principaux, contient un système d’axes perraanens perpendiculaire .à l’un d’eux, et un système d’axes de rotation perpendiculaire à l'autre. Nous verrons, quand nous aurons déterminé en general la position du centre de convergence d’un plan perpendiculaire à un des plans principaux, que ce centre ne se trouve porté à une distance infinie que dans le cas où le pian est à-la-fois perpendiculaire sur deux plans principaux , en sorte que la propriété d'être des limites de plans directeurs appartient exclusivement aux plans situés de cette manière.

4. 0 La quatrième espèce de pians comprend tous ceux qui ne satisfont à aucune des conditions auxquelles sont assujettis ceux dont nous venons de parler.

Lorsque le point donné A est dans le plan des x y, en sorte que Z = o, le plan directeur dont il est le centre de convergence a pour équation , comme nous venons de le voir.

DXy-i-D' y* -t- D" X Y = o,

d’où il suit que son intersection avec le plan des x y, qui est représentée par la même équation , forme -avec i’axe

des x un angle dont la tangente est 0 ~ x Cette valeur

11e varie pas quand on place successivement le point donné à différens points d'une ligne située dans le pian des y x et passant par le centre d’inertie; d’où il suit que tous les plans directeurs dont les centres de convergence se trouvent sur une telle ligne sent parallèles entre eux, et réciproquement, que tous les centres de convergence d’un système de pians directeurs parallèles entre eux sont placés sur une même droite passant par le centre d’inertie. Nous pourrons appeler cette ligne axe des centres de convergence , ou , pour abréger, axe de convergence ; et chaque axe de convergence ,

J 8 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS correspondant à un système de pians directeurs parallèles entre eux, formera avec ces pians un angle qui sera la différence de deux autres dont les tangentes ont respectivement

pour valeur -Ç- et ~d~x~' ^ suit q ue tangente

de cet angle est