CHAPITRE II

Formules pour reconnaître si une ligne donnée est un axe permanent, et pour déterminer dans ce cas U centre de rotation de cet axe et son moment d'inertie.

Quand une droite N M ffig. t) est donnée et qu’on veut savoir si elle est un axe permanent , on pourrait ie faire d’après les résultats obtenus dans ie paragraphe précédent, en prenant à volonté un point A sur cette ligne et en voyant si l’équation

c'c" DX-i-cc" D' Y-t-ee'D " Z = o est satisfaite. Mais , comme alors la condition exprimée par cette équation doit Être indépendante de la position arbitraire où l’on place le point A sur N M , if faut considérer X, Y, Z comme les coordonnées d’un point quelconque de cette ligne et les éliminer de l’équation que nous venons de trouver. Soit L le point où la ligne donnée NAM rencontre le plan des x y; nommons p et q les coordonnées de ce point rapportées aux axes principaux G X , GY ; a l’angle que forme sa projection L D sur ce plan avec l’axe des x, et /3 l’angle dont le cosinus est c , et qui est le complément de l’angle D L M : on aura

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4' où

Si i’on substitue ces valeurs dans l’équation

i i D X -h- 'c c" t>' Y-hcc' D" Z = o,

et qu’on se rappelle que

D-hD'-hD' = o,

on verra quelle se réduit à

ou

, , , e' e' Dp -+■ c c“ D' q = o,

c Dp ’

mais, par les formules connues de la trigonométrie sphérique, on a c = cos <t sin /3, r' = sin * sin fi, et par conséquent

tan g a. — -y-

Cette valeur de tang <t fait connaître la direction que doit avoir la projection d’une ligne qui rencontre le plan des x y en un point dont les coordonnées sont p et q , pour qu elle soit un axe permanent ; et comme la valeur de tang a. est indépendante de l’angle /3, c'est-à-dire de l’inclinaison de la ligne donnée sur le plan des x y, tous les axes permanens qui passent par le point de ce plan dont p et q sont les coordonnées , seront tous compris dans le plan parallèle à l’axe des j, dont l’intersection avec celui des x y est la projection dont nous venons de déterminer la direction ; ce qui s'accorde avec ce qui a été dit des propriétés des pians de convergence dans le chapitre précédent.

Ainsi , pour savoir si une ligne donnée est un axe perma T nent, il faut déterminer le point où elle rencontre un des plans principaux et la direction de sa projection sur ce plan , et voir si l’angle ce qui se trouve déterminé par cette direction, ainsi que les coordonnées p et q du point de rencontre, satisfont à l’équation de condition que nous venons d’obtenir.

Quand on aura ainsi reconnu qu’une ligne est un axe de rotation , et qu’on voudra déterminer sôn centre dé rotation, on se rappellera que la distance A O de ce centre au point A , que nous avons désignée par r, est égale à

MX' : ;

et comme a' c' = — à c — a" c", cette valeur devient

A ^ -j,- ac(G — H)-ha" &' (K — H) y, . acD" — a"c’li

a h Â7T 1 — 6-1 jfY ;

mais , à cause des deux équations

c c a D X+- c.c“ D' Y-t-cc‘ D' Z = o

et

on a

c" D{c' X— c Y) +c D" (c Z — c” Y) = o ou

c ’ Z — c" Y c X — cY

ce qui donne

acD" — a.c" Dz=ic ET [a-+-a -^f )

c D m (ac'X — ac Y — a” c" Y-h a" c' Z)

c'X — cY

et D- (a X -h a' Y-h a" Z) ccD"X '

DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. 33 la valeur de A O se réduit donc à

J Q — 7' i ec D “

AU £j M i c y e , X) ■

Si Ton abaisse du centre d’inertie la perpendiculaire C K sur la ligne donnée A M, la distance A K sera celle que nous avons désignée par Z', et par conséquent

KO = AO-AK=- J zggrjr

11 est aisé de s’assurer, par de simples réductions au même

dénominateur, que les trois quantités • J x — c Z *

- c~ C Z — c~ 'Y~ ’ sont égales entre elles en vertu des équations

cc"DX-+-c cD’ Y-\-cc D“ Z — o et />-+-/>' -+-£>"= o, d’où il suit qu’au lieu de la valeur précédente de K O, on pourra employer une de ces deux-ci ,

K O — ce’ D tr n — c' c" D

M(c" X — cZ) ’ M^c Z—c" Y)'

Si l’on remplace A' et y par leurs valeurs en p, q, Z, que nous venons de trouver, celles de À' 0 se réduiront à

C C 0 tr rt c 0' f/ C 0