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Concevons maintenant qu’on élève au centre de rotation O un plan perpendiculaire à l’axe permanent L M , il rencontrera l’axe des x et celui des/ en des points tels, qu’en nommant x t et /j les distances entre le centre d’inertie et ces deux points, on aura K O — c x et K O = c y d’où il suit que
*, = • « que y, = Il suffira donc, pour
déterminer le* point O, de construire une de ces valeurs et de la porter, à partir du centre d’inertie, si c’est la première, sur l’axe des x, si c’est la seconde, sur l’axe des/, et d’abaisser
d’un des deux points ainsi déterminés une perpendiculaire sur l’axe permanent A L M, elle viendra rencontrer cet axe au point cherché O.
La condition qui exprime que la droite A L M s st un axe permanent, se réduit à ce que, si l’on construit les deux points dont nous venons de parler, les deux perpendiculaires qu’on abaissera de ces deux points sur la droite la rencontreront au même point. En effet, cette condition est que la projection L D de A L M sur le plan des x y forme, avec l’axe des x, un
angle dont la tangente soit > et droite qui joint
ces deux points forme, avec le même axe, un angle dont la tangente est — cette condition exprime donc
que ces deux droites se coupent à angle droit dans le plan des x y, qu’on peut par conséquent abaisser par la dernière un plan perpendiculaire à l’axe permanent A LM, et que les deux perpendiculaires dont nous venons de parler, se trouvant nécessairement dans ce plan, rencontrent A LM en un même point.
Les valeurs de x et de y, peuvent s’écrire ainsi, x t
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; en joignant les deux points que ces valeurs
déterminent l’un sur l’axe des x et l’autre sur celui des y, on aura une droite perpendiculaire au plan directeur L M D, qui le rencontrera au point O ’ , qui est le centre de rotation de l’axe permanent L D, intersection de ce plan directeur avec celui des x y , et il suit de ce qu’on vient de voir, que, si l’on joignait les points O et 0' par une droite, elle serait l’intersection du même plan avec un plan perpendiculaire à l’axe permanent A L M , elle serait donc aussi perpendiculaire à cet axe , en sorte que le point O se trouve sur la circonférence
- des axbs permanens de rotation des CORPS. 3 5
décrite dans fe plan directeur sur le diamètre L O'. La même chose pouvant se dire de tous les axes permanens situés dans ce plan et passant par le point L, on voit qu’ils ont tous leurs centres de rotation sur cette circonférence.
Nous avons nommé le point L le centre de convergence du plan directeur D L AI; nous pourrons donner le nom d'axe de ce même plan à la ligne qui lui est élevée perpendiculairement au point O' et par laquelle passent tous les plans élevés perpendiculairement sur les axes permanens qu’il contient au* centres de rotation de ces axes. Comme l’axe du plan directeur dont le centre de convergence situé dans le plan des x y a pour coordonnées p et q rencontre les axes des x et des y dans des points dont les distances au centre
d inertie sont respectivement —jÿpy et > son équa-
tion est D p x — D' q y — ? ^ , tandis que celle de la
projection L D de l’axe permanent A L Al qui coupe au point O' l’axe du plan directeur, est
1 y — q — ( *~P) ou Dpy-+-P q x = ( D-+-D ' ) p q;
d’où il suit, à cause de D -+- D' -+- D " = o, que si l'on nomme p' et q' les coordonnées du point O' pour un plan directeur dont le centre de convergence a pour coordonnées p et q , les valeurs de p' et de q' seront déterminées par les
deux équations D p p' — D' q q' = ■ , et Dp q' -f-
Si le point Z. se trouvait sur l’axe des x , on aurait q — o ,
et ces deux équations deviendraient p p' — ,etq' — o,
en sorte que le plan L AI D se confondrait avec celui des x i où se trouveraient nécessairement tous les axes perma-
3 6 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS nens passant par le point Lqui ne seraient pas dans le plan des x y. Soit donc N G L (fig. 2) le plan des x j: toutes les
droites menées dans ce plan étant des axes permanens , pour avoir le centre de rotation d’une de ces droites, telle que TV L qui rencontre en L l’axe des x , il faudra, en nommant p la
distance G L, prendre G O' = // = et décrire Mtr
L 0 ‘ — p T? — la circonférence L O O’ O", lieu de
‘ Al q
tous leurs centres de rotation; cette circonférence rencontrera N L au point cherché O.
Comme l’équation p p' = —jçf est symétrique relativement à p et à p' , si l’on fait au contraire G O' = p, on aura G L = p', d’où il suit que la circonférence L O O' 0 “ n’est pas seulement le lieu des centres de rotation des droites menées dans le plan N G L par le point L, mais encore de celles qui y sont menées par le point O'.
Cette réciprocité ne peut avoir lieu que quand le plan de convergence est un des plans principaux; car, lorsque q n’est pas nul, il faudrait que les deux équations entre p, q,p, q , subsistassent quand 011 y changerait p en p' , q en q , et réciproquement; or cela arrive en effet à la première D p p' —
D' q q' — — -jçp- : mais, pour qu’il en fût de même de la
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS, seconde, qui peut s'écrire ainsi,
q ‘ — q =: ~5f~ {?' — P) > *1 faudrait qu'on
et pat conséquent —
eût
ou
D‘ — — Dft/)" = — D — D ' = o , en sorte qu’il faudrait que les momens d’inertie A et B des axes principaux G X et G Y (feg. t J fussent égaux entre eux , et alors le plan LM D serait . un plan principal comme tous les plans menés par l’axe G Z.
Quand le point L (fig. 2 ), où l’axe permanent situé dans le plan principal L G N rencontre l’axe principal G L, dont le moment d’inertie surpasse celui de l’autre axe principal G N situé dans le même plan , tombe en L’ à une distance
du centre d’inertie G L' — , on a = p, et la
valeur de LO devient nulle , quelle que soit celle de l’angle B , en sorte que tous les axes permanens situés dans le plan N G L et passant par le point L' ont alors leur centre de rotation à ce point. ' ■•••
Tant que les trois momens d'inertie des axes principaux sont inégaux, H est clair qu’il ne peut y avoir sur chaque plan principal que deux points, un de chaque côté du centre d'inertie, qui présentent cette propriété relativement aux axes permanens menés dans ces plans , et qu’il y en a toujours deux qui sont situés sur celui des deux axes principaux qui s’y trouvent , dont le moment d’inertie est fe plus grand, parce que D' = A — C, à une distance du centre d’inertie -du corps égale à la racine carrée de la différence des momens d’inertie de ces deux axes, divisée par fa masse du corps.
Il suit de là que, quand ces deux momens d’inertie sont égaux entre eux, les deux points dont nous parlons, relatifs au plan principal passant par ces deuxaxes.se réunissentau centre d’inertie , et qu’il ne peut y en avoir deux qui ne soient pas
38 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS situés à ce centre que sur le troisième axe principal , et cela seulement quanti son moment d’inertie est plus grand que celui des deux autres. O11 sait que MM. Poisson et Binet ont démontré que , dans ce dernier cas , toutes les lignes qui y passent sont des axes principaux qui y ont tous leur centre de rotation , et que c’est le seul cas où un point pris dans un corps dont les trois momens d’inertie relatifs aux axes prin- . cipaux né sont pas égaux entre eux, puisse présenter cette propriété relativement à toutes les droites qui y passent. Lorsque les trois momens d’inertie sont inégaux, on a au contraire toujours six points situés sur les axes principaux qui présentent la même propriété, mais seulement à l’égard des droites comprises dans les plans principaux ; l’axe principal dont le moment d’inertie est le plus grand en présente quatre , deux pour chacun des plans principaux dont il est l'intersection; et celui dont le moment d'inertie est intermédiaire entre les deux autres, en présente deux pour le plan principal qui le joint à l’axe principal dont le moment d’inertie est le plus petit.
Lorsqu’une ligne est donnée sur un des plans principaux, on trouvera ainsi son centre de rotation : après l'avoir prolongée jusqu’à ce quelle rencontre en L (fg-jJ celui des deux axes principaux situés dans ce plan dont le moment d’inertie est le plus grand, déterminez le point L de manière
que G L! — j/ u - , et faites la proportion
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rf*.
DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. Jp puis sur le diamètre L O' décrivez la circonférence L O-O' qui coupera la ligne donnée au point cherché O. De plus, si G T est la tangente menée du point G à cette circonférence, on aura G T— y/ G L x G U' — G L .
Réciproquement, si le point O est donné dans un plan principal et qu’on demande les directions des deux axes permanens menés dans ce plan de manière que leurs centres de rotation soient en 0 (fig. 4) , on tirera G O et on fera la proportion
Fig. 4.
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ce qui déterminera un second point J de la circonférence LO L, en sorte- qu'en élevant sur le milieu R de O S la perpendiculaire R C, elle coupera l’axe principal G L an centre C de cette circonférence, et en la décrivant on aura par ses interjections avec G L les points L, L, auxquels on tirera les lignes O L, O L, qui seront les axes permanens cherchés. Le troisième axe permanent relatif au point O sera la perpendiculaire élevée par ce point au plan principal.
Si l’on considère le point N (fig. j) où le même axe permanent O L rencontre celui des deux axes principaux du plan N G L des x 1 qui a le plus petit moment d’inertie, et que nous avons -pris' pour l’axe des £, on trouvera la circonférence Iqui est le lieu de tous les centres de rotation des axes permanens passant -par le point /*/ et situés dans le plan G /V L,
