O MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS
en prenant G O" — ~ M jÿ i cette circonférence coupera
l’axe G L en un point dont la distance au centre d’inertie G
sera égale à -j/ G N* G O 7 ' , c’est-à-dire k-~~; ce sera donc
au point L' dont nous venons de rappeler les propriétés , et dont la situation reste toujours la même, quelle que soit celle du point N. On déduit de cette considération une solution
plus simple des deux problèmes précédens: car, si l’on veut déterminer le point O quand la ligne N M est donnée, il suffit de prolonger celle-ci jusqu’à ce qu’elle rencontre en N l'axe principal dont le moment est le plus petit, et de décrire la circonférence qui , passant par les deux points N et L', a son centre sur G N; elle coupera N M vu point cherché O.
Si au contraire le point O est donné et qu’on veuille avoir la direction des deux axes permanens compris dans le plan N G L, qui ont leur centre de rotation en O, on décrira le même cercle par les points O et L. Ce cercle coupera G N aux points N et O", tels qu’en tirant ON et O O" ce seront les deux axes permanens cherchés. Si l’on mène du point O aux centres C et C' des circonférences L O O', N O O", les rayons CO, C' O, on aura G C O — 2 G LO, G C' O == 2 GN 0;um&\GCO-^GC'0—i {G LO+G N 0) — deux angles droits; et comme l’angle CGC' est droit, il restera dans le quadrilatère G C O C' un angle droit pour la
valeur de C O C' : ainsi toutes les circonférences telles LO O' ( fig. 6) couperont à
Fig. <f.
que
angles droits toutes les circonférences N 00"; il est d’ailleurs aisé de voir que, si l’on projette stéréographiquement sur le plan LUN tous les parallèles et tous les méridiens d’une sphère dont les pôles seraient situés en U et en L", les projections des premiers seront les circonférences L O 0\ et les projections des seconds, les circonférences N O O".
Reprenons le cas général d'un axe permanent L M , situé hors des plans principaux et qui rencontre en L (fg. i) celui de ces plans qu’on a choisi pour le plan des x y; soient toujours p , (j , les coordonnées de ce point relatives à l’axe des x et à celui des y, en sorte qu’on ait à ce point x = p,y=q t 2 = o, comme A L est la valeur de qui y correspond, A L =z Z' c p -+~ c' qeiK Z.= AL — A Kz=zcp-+- c q.
Mais nous avons vu que K 0 — m IJq — cÿiY ’ et ^ ue ’ * , /3 désignant les deux angles que nous avons ainsi nommés
page 30 , on avait, a cause que tang et = — ~Up ’ ces va " leurs de c et de c’ ,
VJO‘ p‘ ■+■ D ‘ q* ’
D’ q sin jô
4 2 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIÉTÉS on en tire
cp-4- c' q =
Dp' — D'q 1 VD‘ p* D'‘ q*
sin fi,
cq — c'p —
Dp q «n $ -f- Z^' p q sin /3
/zv^zF^T 7-
D D' p q % in * jS D‘ p* q % *
ainsi
Kl.— -^S- r D ' sin fi, K O — |/Z>* p' ■+■ D‘ ? *
D D ' sin /S
et par conséquent KL 'K O : : £>/>* — y* : ■
Si l’on décrit sur le plan des x des sections coniques dont les équations soient de la forme D/> x — D'q' = E,
E étant une quantité quelconque, la tangente de l’angle que la normale à un des points L d’une de ces courbes dont les coordonnées sont représentées en général par p et q , forme avec Taxe des x, sera
£ji
Dp
= tang <t ,
d’où il suit que la projection L D de la ligne donnée sur le plan des x y se confondra avec cette normale , et le plan directeur qui contient tous les axes permanens passant par le point L sans se trouver dans le plan X G Y, sera le plan normal à cette courbe.
On aura de plus
KL: KO s: E:
