si f (a) est négatif

9' (X) — (ar0)

Si maintenant on désigne, pour abréger, par

et -g

le plus petit et le plus grand des rapports

(21) et par

f{Xo)

le plus grand et le plus petit des rapports

on tirera de la formule (19) ou (20), i# en y remplaçant a par x0

<P(.xo) — ^(X) <p'(X) — x\x0)

. *0 ^ fix) ^ . X— x0

fix o)

2°. en y remplaçant a par X,

Gomme les trois membres dont se compose chacune des formules (23), (2*4), sont trois fonctions de x qui offrent des valeurs égales à l’unité, par conséquent affectées du même signe, quaiîd on pose x=zx0 oux=X, ces formules pourront être substituées, dans le 2e théorème, aux formules (3) et (4) » alors les équations (5) , (6), (7), (8), réduites aux suivantes :

- X -Xç, . . X X q i oc 1 X

offriront pour racines les quatre quantités

(29) x„ -j-a, xD + S, X — A, X— B.

Mais chacune de ces quantités ne pourra se confondre avec l’une de celles que nous avons représentées, dans le 20 théorème, par

(30) xD-\- ft x0-{-v, X — M, X — N,

qu’autant qu’elle restera comprise entre les limites x0,X. Cela posé, le 2e théorème entraînera évidemment la proposition suivante :

3e Théorème. Soit

une équation dont le premier membre f(x) reste fonction continue de x, entre les limites

x — xoy . x = X.

Supposons d’ailleurs la fonction f(x) décomposée en deux autres

<?(*)> —zi*) ,

qui restent elles-mêmes continues entre les limites données, et soient toujours la première croissante, la seconde décroissante, tandis que l’on fait

croître x entre ces limites. Enfin , nommons — Me plus petit et — 4 le plus

grand des rapports

<p'(x o) — %'(X) fl'(X) — %'(x0)

Nommons, au contraire ^ le plus grand et ^ le plus petit des rapports.

Si l’équation (1) ollre des racines comprises entre les limites x0, X, les quantités

seront elles-mêmes renfermées entre ces limites, et comprendront entre elles toutes les racines dont il s’agit. De plus, il suffira que l’une des quantités

soit comprise entre les limites x0,X, pour que l’équation (i) offre certainement des racines renfermées entre ces limites. Nommons £ la plus petite , et E la plus grande de ces racines, les deux racines E pouvant quelquefois se réduire à une seule. Si la quantité x0 -f- £ est comprise entre les limites x0, X, on pourra en dire autant des quantités x0 -f-a, X — A, qui vérifieront les conditions

et si la quantité X — B est comprise entre x„,X, on pourra encore en dire autant des quantités x0 -f- a, X — A , qui vérifieront les conditions

Nota. Lorsqu’à la formule (i5) on substitue la suivante :

f(x) — /(«) + (*— «) /'(«) + ~ (x—ay [<p\u)—x («)],

alors on obtient le théorème suivant analogue à celui qu’on vient d’énoncer.

4® Théorème. Le premier membre de l’équation donnée

étant un polynôme en x du degré n , supposons qu’on cherche la racine positive immédiatement inférieure à une limite donnée X. On posera

et l’on prendra pour y la moitié du résultat qu’on obtient en écrivant X au lieu de x dans la dérivée du second ordre de la partie de f{x) qui se compose de termes affectés d’un signe opposé à celui de la quantité y(X); puis on résoudra l’équation du second degré

Si l’on nomme X, la plus petite racine de cette dernière équation et

X, X,, Xa, X3, . . .

une série de quantités dont la troisième se déduise de la seconde, la quatrième de la troisième, etc comme la seconde se déduit de la première ,

la racine cherchée sera la limite vers laquelle convergera très rapidement le terme général de cette série.

Si l’on prenait pour X une limite supérieure à toutes les racines positives, la méthode indiquée ferait connaître la plus grande de ces racines»

La méthode est applicable au cas même où X serait une racine positive déjà trouvée, et fournirait alors la racine positive immédiatement inférieure.

Démonstration. En conservant les notations du théorème 3 et supposant de plus x0 = o, X > o , on aura non-seulement

u étant compris entre x0 et X, mais aussi

et par suite

on trouvera de même pour des valeurs de x inférieures à X x(x) > *(X) -I- (x — X) *'(X)