AS(X) + (* - X) *'(X) + **(X
et comme on a f(x) = <p(x) — %(x) on trouvera ,
donc, d’apres le théorème 2, la plus* grande des racines de la proposée inférieures à X sera surpassée si y(X) est positif par la plus petite des racines de l’équation auxiliaire
et si y(X) est négatif la plus petite racine de l’équation /(X) + (x-X) /'(X) + <X~2X” »"(X) = o.
Donc , etc.
Exemple. Soit donné à résoudre l’équation de Lagrange
et supposons que l’on cherche ses racines positives. Comme on aura ( voir l'analyse algébrique ) x*-}- 7 > 2\/rjx 3, les racines positives de la proposée
seront inférieures à la racine positive de l’équation auxiliaire 2 \/']x3=-’]Xi c’est-à-dire à | = 1,7 5. De plus la formule (1) donnera, pour X=i,75,
(X3 — 7X + 7) -f- (3X’ — 7) (x — X) = o , x = 1 , 7 . . . environ ,
Et pour X = 1,7. . .
En posant de nouveau x = i,38, on trouvera x = 1,356g... En pox = i,70, on trouvera 1,692. Les deux racines de la proposée sont en effet i,35Ü9 et *>692.
Ajoutons, que les conclusions précédentes subsisteront lors même que f{pc) sera une fonction transcendante, si cette fonction est décomposable en deux parties <p(x) et x{x) telles que chacune des dérivées <p"(x) %"(.r) acquerra des valeurs positives toujours croissantes pour des valeurs positives de x.
§ II. — Méthode linéaire.
Étant donnée une fonction f(x) qui reste finie et continue ainsi que sa dérivée f\x) entre les limites
on aura , en supposant xetfl renfermés entre ces limites ,
la valeur de u étant elle-même renfermée entre a etx, à plus forte raison entre xa et X. Cela posé, nommons
la plus petite et la plus grande des valeurs que la fonction dérivée f\x) puisse acquérir entre les limites x = x0 , x = X , ou bien encore deux quantités dont la première soit inférieure à la plus petite de ces valeurs , et la seconde supérieure cà la plus grande. Si l’on désigne par la notation
une quantité comprise entre t>et Y, l’équation
( ÏO )
jointe à celle qui précède , entraînera la suivante
/(x) = M[/(a) 4- v(x — a ), /(a) + V(x — a)J, de laquelle on tirera, en posant successivement a = x0, « = X,
/(x) = M [/(x0) -f- K* — xc), /(x0) -f V(x — xJ],
Or de ces dernières, jointes au 3* théorème , du paragraphe 1er, on déduira immédiatement la proposition que je vais énoncer.
Tliéoreme. Soit
une équation dont le premier membre reste fonction continue de x, ainsi que sa dérivée, entre les limites
X Z= Xo, X = X > x0.
Nommons v la plus petite, Y la plus grande des valeurs que la fonction f'(x) puisse recevoir entre les limites dont il s’agit, ou bien encore, deux quantités , la première inférieure à la plus petite de ces valeurs; la seconde, supérieure à la plus grande; et concevons que l’on résolve les équations linéaires
(2) /(X0) 4- — Xo) = O, f{XD) 4- V(X — X0) = O,
Supposons d’ailleurs que, dans le cas où des valeurs de x, renfermées entre xa , X, vérifieraient, comme racines, soit l’équation (i), soit les équations auxiliaires (2) et (3) , on nomme
£ et S la plus petite et la plus grande de ces racines pour l’é-
quation (1) ,
x, et x, 4-cT, la plus petite et la pins grande pour le système des équations (2) ,
X, et X, — g, la plus grande et la plus petite pour le système des équations (3).
Si l’équation (1) admet effectivement des racines réelles comprises entre les limites x0 , X, l’existence de ces racines entraînera l’existence des nouvelles limites
qui pourront être substituées avec avantage aux limites données
attendu que l’on aura
(4) xo < < ?, s < x, < x,
les deux racines £, H pouvant être distinctes l’une de l’autre, ou se réduire à une seule. De plus, l’existence de la racine x, + cT, entraînera toujours l’existence des racines H, distinctes ou non l’une de l’autre, et par suite l’existence des limites x, , X, , qui vérifieraient la seconde des conditions (4) avec la suivante
Pareillement l’existence de la racine X, — g, entraînera toujours l’existence des racines S distinctes ou non l’une de l’autre, et par suite l’existence des limites x,,X, qui vérifieraient la première des conditions (4) avec la suivante
Corollaire ier. Supposons la fonction f{x) décomposée en deux autres
dont les dérivées
<p'ix) , —
restent fonctions continues de x, entre les limites x = x0, x = X, et soient constamment , la première toujours croissante, la seconde toujours décroissante entre ces limites. La condition
entraînera les suivantes
*'(*») < <P» < *'(X), *'(*.) < *'(«) < *'(X); et en conséquence la fonction
sera supérieure à v, mais infe'rieure à Y ; si l’on pose
(7) v = ç'(Xo) - *'(X), V= <p'(X) - *'*.).
Donc alors on pourra, dans le théorème énoncé, attribuer à v et à Y les valeurs que fournissent les équations (7).
Si, les limites xa , X étant des quantités de même signe , l’équation (2) a pour premier membre une fonction entière de x , on pourra prendre pour <p(.r) la somme des termes positifs de ce premier membre , et pour — X(x) la somme des termes négatifs.
Corollaire 2. Si les limites .r0,Xsont assez rapprochées l’une de l’autre pour que la fonction dérivée du second ordre f"(x) ne change pas de signe entre ces limites, la fonction dérivée du premier ordre f '(x) sera toujours croissante, ou toujours décroissante depuis x = xQ jusqu’à x=zX. On aura donc alors, pour une valeur de x comprise entre les limites données ,
/» = M [/'(*„), /'(X)]; et par suite on pourra prendre pour
v et V
la plus petite et la plus grande des deux quantités
Corollaire 3. Supposons les valeurs dey, V déterminées d’après une des règles énoncées dans les corollaires 1 et 2, ou d’après toute autre règle, en vertu de laquelle, la condition
étant vérifiée pour toute valeur de u comprise entre xD, X, les limites v , V se rapprochent l’une de l’autre en même temps que les limites xa , X. Supposons d’ailleurs que l’équation (1) offre une ou plusieurs racines réelles entre les limites x0, X. L’existence de ces racines entraînera l’existence des nouvelles limites désignées par x,, X,; et si l’on représente par
(9) *0, *3, etc.,
(io) X, X,, X,, X3, etc. ^
deux séries, dans chacune desquelles le troisième terme se déduit du second , le quatrième terme du troisième , etc., comme le second terme se déduit du premier, le terme général de la série (9) s’approchera indéfiniment de la racine £ , et le terme général de la série (10) de la racine H , £ étant la plus petite et H 1a plus grande des racines dont il s’agit. En effet, soient
Vm 1 ^ m
ce que deviennent v et V , lorsqu’on remplace x„ et X par xm et X„ ,
m étant un nombre entier quelconque , vm et Ym seront compris entre les limites p, V, et la valeur de sera donnée non par l’une des for-
mules^) , mais par l’une des suivantes
/(xm) -j- Vni(rm+ 1 xm) — °> f -f" Vm(xm+I Xm ) = O.
Or, en vertu de l’une ou de l’autre, la valeur numérique de f(xm) sera inférieure à celle de l’un des produits
Xm ^ , V(arm+I — % m) ,
et deviendra infiniment petite avec la différence xm+t — jcm pour des valeurs infiniment grandes de m, attendu que les termes de la série (g) croissent toujours sans pouvoir surpasser X. Nommons £ la limite dont s’approchent les valeurs décroissantes de ces mêmes termes. La limite de J"( xm) ou f(£) sera nulle , d’après ce qu’on vient de dire, et £ ne pourra être que la plus petite des racines de l’équation (i), entre les limites x9,X, puisque cette plus petite racine devra surpasser tous les termes de la série (9).
On prouvera de même que la limite dont s’approchent en décroissant les termes de la série (10), se réduit à la plus grande des racines de l’équation (2) comprises entre xa et X.
La méthode de résolutions des équations , fondée sur la détermination des divers termes de la série (9)011 (10), ou, ce qui revient au même, sur l’emploi des équations linéaires (2) et (3) , est ce qu’on doit naturellement nommer la méthode des approximations linéaires ou simplement la méthode linéaire.
Corollaire 4. Supposons la fonction j"(x) est toujours affectée du même signe, et toujours différente de zéro, entre les limites données jc=x0 , x = X. Alors, en vertu du corollaire 2, on pourra prendre
/(* o) et /(X)
pour valeurs de v et de Y, ce qui réduira les équations auxiliaires (2) et (3) aux suivantes :
Alors aussi, la fonction f\x) étant toujours croissante ou toujours décroissante entre les limites données, l’équation dérivée
offrira tout au plus une racine simple, et la proposée
tout au plus deux racines £, S comprises entre ces limites.
Si la proposée offre effectivement deux racines simples
comprises entre les limites données, les quantités
seront affectées du même signe , et leur signe sera encore celui de f"(x) » entre les limites x = x„ , x = X. En effet, x venant à croître à partir de x0 , la fonction
d’abord positive, deviendra nulle pour x = £, Donc cette fonction décroîtra en passant par zéro, et sa dérivée
sera négative pour x=%. Mais, entre les limites £ et S, il y aura une valeur de x propre à vérifier la formule (i3). Donc la fonction
croîtra en passant par zéro, et sa dérivée
sera positive pour la valeur de x qui vérifiera l’équation (i3). Donc cette fonction sera constamment positive, si, comme nous le supposons, elle conserve constamment le même signe entre les limites données. Dans cette hypothèse, et en admettant que f(x0),f(X) soient des quantités de même signe , on aura
et, comme f(x0) , /'(X) seront des quantités affectées de signes contraires, on pourra en dire autant des valeurs de x — x„ fournies soit par
les équations (n), soit par les équations (12). Donc, parmi ces quatre équations, les seules qui fourniront des racines comprises entre les limites ,r», X seront la première et la dernière, en sorte qu’on aura
Des deux quantités qui précèdent la première xt sera inférieure à la racine £, et la seconde X, supérieure à la racine H de l’équation (1).
Si la proposée offre une seule racine £ comprise entre les limites x„, X, alors J(x0) et y(X) étant affectées de signes contraires, on trouvera, i°. en supposant f"(oc ) constamment affecté du même signe que f(xa) ,
fV'o) < /'(X)
puisque, dans ce cas, la dérivée , savoir^-^ sera positive, 20. en
supposant^x) constamment affecté d’un signe contraire à celui de f(x0 ),
f{xQ) ^ f{Xoy /(X) /(xr
Dans la première hypothèse, les formules (1 1) et (12) , jointes aux conditions (16), donneront
J ixo.
Dans la seconde hypothèse , au contraire , les formules (i 1) , (12) jointes aux conditions (17), donneront
Dans l’un et l’autre cas, x, et X, représenteront, la première une limite inférieure, la seconde une limite supérieure à la racine
Il est bon d’observer que des formules (18) et (19) la première et la dernière coïncident avec la première et la seconde des équations (i5).
Lorsque la quantité x0 ou X représente une valeur déjà très approchée d’une racine £ ou H de l’équation (1), la substitution de la limite
à la limite x0 , ou de la limite
à la limite X , constitue la méthode d’approximation de Newton. Ainsi la méthode de résolution des équations , fondée sur le théorème premier , comprend comme cas particulier la méthode newtonienne.
Quant à celles des équations (18) , (19) qui ne coïncident pas avec l’une des équations (1 5), elles ont été, je crois . déjà indiquées par M. Fourier , peut-être même par M. Legendre, comme capables de fournir des limites opposées à celles que donne la méthode de Newton.
Si l’équation f(x) = o n’offrait pas de racines comprises entre les limites X, alors les équations auxiliaires n’offriraient point deux racines comprises entre les limites x„ , X, et que l’on pût considérer comme deux nouvelles limites x, , X, ; ou les termes de la série (9) finiraient par surpasser les termes correspondants de la série (10).
Corollaire 5. Supposons la fonction f(x) décomposée en deux autres
dont les dérivées du second ordre
restent continues entre les limites x= xQ, x = X , et soient la première toujours croissante, la seconde toujours décroissante entre ces limites. Les deux différences
seront, la première inférieure à la plus petite, la seconde supérieure à la plus grande des valeurs qu’acquerra entre ces limites la fonction
Par conséquent, si les quantités (20) offrent le même signe, ce signe affectera constamment la valeur de f"(x) entre les limites données. Donc, pour que la méthode newtonienne fournisse des valeurs de plus en plus approchées d’une racine ou de deux racines de l’équation (1) comprises entre des limites données x0 , X , il suffit que les quantités (20) offrent le même signe.
Si les limites a:, étant des quantités positives, l'équation (1) a pour premier membre une fonction entière de x, on pourra prendre pour <p(x) la somme des termes positifs de ce premier membre, et pour %(.r) Ia somme des termes négatifs. •
Corollaire 6. La méthode linéaire , telle que nous l’avons développée ci-dessus, étant appliquée à la détermination des racines réelles de l’équation
comprises entre des limites données xa, X , fournit immédiatement des valeurs approchées de la plus petite et de la plus grande entre ces racines, savoir une série de termes
qui croissent en s’approchant de la plus petite racine £ , et une au Ire série de termes
qui décroissent en s’approchant de la plus grande racine H . Dans un grand nombre de cas, la méthode linéaire fournit en outre une série de termes
(23) x, -f .r3 -f x3 -j- f3, etc.
qui décroîtront en s’approchant de la racine £ , et une série de termes
(24) X, t|, X2 £2 , X3 13, etc.
qui croîtront en s’approchant de la racine H ; et c’est ce qui arrivera certainement, si les racines £ , H ne diffèrent pas l’une de l’autre , c’està-dire si l’équation (1) offre une seule racine comprise entre ces limites x0 , X. Dans ce cas , en particulier, la série (23) pourra se confondre avec la série (22) , et la série (24) avec la série (21). Dans des cas semblables , en calculant
OU
X n, Ct Xm *m )
on obtiendra non-seulement une valeur approchée xm ou Xm de la racine cherchée ^ ou S, mais encore une limite cfm ou em de l’erreur que l’on commet en substituant cette valeur approchée à la racine elle-même.
Corollaire 7. Lorsque l’équation (1) offre une seule racine £ comprise entre x„ , X, alors , pour des valeurs croissantes de m, les termes généraux
s'approchent indéfiniment de cette racine ; et à moins que l’on n’ait (25) /"(£) = o,
il arrive bientôt un instant où les différences
Xm - É,
sont assez petites pour que la fonction donnée J"(x) conserve toujours
entre les limites x = xm, x = Xm le même signe. A partir de cet instant, de nouvelles valeurs approchées de la racine £ peuvent être obtenues à l’aide de la règle indiquée et développée dans les corollaires 2 et 4- Ces nouvelles valeurs approchées de la racine £ seront d’ailleurs déterminées par des équations semblables soit aux formules (18), soit aux formules (19), et fourniront deux séries l’une croissante, l’autre décroissante , composées de termes qui , dans l’une des deux séries , se déduiront les uns des autres suivant la méthode newtonienne. Donc , si l’on suppose une seule racine £ de l’équation (i) comprise entre x0 , X, et si l’on fait abstraction du cas où cette racine vérifierait l’équation dérivée du second ordre
la méthode linéaire , appliquée à la détermination des valeurs approchées de la racine £, pourra toujours être réduite, après un certain nombre d’approximations successives, à la méthode newtonienne.
Si le premier membre de l’équation (1) étant une fonction entière <p(x), représente la somme des termes positifs du premier membre, et — x(x) la somme des termes négatifs, alors, pour que f'(x) ne puisse changer de signe entre les limites x = xm , x = X„ , il suffira que les deux différences
(27) <p {xm) — y, (Xm), cp (Xm) % W
soient deux quantités de même signe ( voyez le corollaire 5 ).
