III

Comme dans une équation donnée (1) /(*) = 0

les racines positives deviennent négatives, et réciproquement, lorsqu’on remplace dans le premier membre x par — x , il est clair que la détermination des racines réelles d’une équation donnée peut toujours être réduite à la détermination des racines positives de cette équation et d’une équation transformée. D’autre part, la méthode linéaire, telle que je l’ai présentée dans le paragraphe précédent, étant appliquée à la résolution d’une équation, offre le moyen de calculer immédiatement la plus petite et la plus grande des racines positives comprises entre deux limites données x„ , X, en fournissant au moins deux séries de valeurs indéfiniment

approchées de ces mêmes racines ; savoir, une série de termes

(2) x, , Xjj, X3, . . .

qui s’approchent en croissant de la plus petite racine £ , et une série de termes

qui s’approchent en décroissant de la plus grande racine E. Ce n’est pas tout : en supposant , pour plus de généralité, que la racine £ soit une racine multiple de l’équation (1), et désignant par i le nombre des racines égales à f , on aura sensiblement pour de très petites valeurs numériques de x — £ ,

/(*)__ d.f(x) f'(x) Qu (*-£)/», .

{x — d.{x — £)' i{x — !)■ *’ lf(x)

et en réalité

if (x)

cT désignant un nombre très petit. Or, si le premier membre de l’équation donnée est une fonction entière du degré n , si d’ailleurs on fait abstraction du cas toujours facile à reconnaître où toutes les racines de l’équation deviendraient égales entre elles , et à la nieme partie du coefficient du second terme pris en signe contraire, on aura généralement

i Tl ;

et même , dans l’équation

le produit (1 =fccf)z deviendra, pour de très petites valeurs numériques Je x — £, inférieure à n, en sorte qu’on tirera de cette équation

| = m(x, x- nj^),

la lettre M indiquant une moyenne entre les deux quantités comprises entre les parenthèses. Donc aussi, pour des valeurs de m suffisamment grandes, le terme de la série (2) désigné par xm s’approchera de la racine £ de telle sorte qu’on aura

et alors, en prenant x,„ pour valeur de on commettra une erreur plus petite que la quantité positive

Si la racine £ est une racine simple de l’équation (i), le produit réduit à la quantité i =±=cT , sera, pour de très petites valeurs de S', intérieur à 2. Donc alors, pour de très grandes valeurs de m, la différence entre la racine £ et sa valeur approchée x,n ne surpassera pas le nombre

f\Xm) '

On sera en droit d’affirmer qu’il en est ainsi, lorsque les quantités

substituées à la place de x dans f{x), fourniront des résultats de signes contraires. Alors, dans la détermination des valeurs approchées successives de la racine ?, la seconde des quantités (8) pourra être substituée au terme général xm de la série (3).

Par des raisonnements semblables à ceux qui précèdent, on prouvera encore que, pour des valeurs de m suffisamment grandes, le terme Xm de la série (3) s’approchera de la racine H de manière à vérifier la formule

Alors, en prenant Xm pour valeur de S, on commettra une erreur plus petite que la quantité positive