SECONDE PARTIE
DU MOUVEMENT DU PENDULE DAxNS UN AIR A(ilTÉ.
Expérienees relatives an déerolssement de l'amplli-
tude dans un air af^lté*
Lorsqu'un pendule oscilie au milieu d'un courant d'air dirigé tiorizontalement daus le plan d'oscillation, l'amplitude « mesurée d'un même côté de la verticale , décroît plus rapidement que dans un air calme.
Nous ne pouvons citer, à l'appui de cette assertion > que des expériences assez grossières » dans lesquelles nous disposions seulement du courant d'air produit au moyen de fenêtres et de portes ouvertes, alors que régnait extérieurement un vent plus ou moins fort. Néanmoins , à travers les irrégularités résultant de l'irrégularité même du courant, on ne peut douter» à l'inspection du tableau VI, qu'il existe dans un air agité , une cause permanente de décroisscment plus rapide de l'amplitude. Les expériences ont été faites avec différents pendules, dont il importe peu ici de donner les éléments.
Calenl da monvement du pendule au milieu d'un
eourant d'air permanent y dirigée horlmoui-
talement dans le plan d'oscillation*
L'équation générale du mouvement est (1) ^ ~ Ts ^^^" + P^ sîn ^ -H M ,
OÙ p est le poids du peaduie, / la distance de son centre de gravité à Taxe de suspension , imr^ son moment d'inertie estimé par rapporta cet axe, m le moment de l'action de l'air, pris par rapport à ce même axe et regardé comme positif quand il agit dans le sens de la première oscillation.
On supposera au courant une vitesse v peu considérable , de même sens que celle du pendule pendant la première oscillation. On admettra que le pendule consiste dans une sphère d'un rayon très*petit devant la distance D de son centre à Taxe de suspension. On négligera l'action de l'air sur la tige qui supporte la sphère. On regardera les points de la masse d'air que traverse la sphère comme ayant tous même vitesse angulaire
y cos 0
, estimée autour de l'axe de suspension.
On distinguera ensuite deux cas, selon que cette vitesse sera constamment supérieure à la vitesse variable du pendule , ou qu'elle sera alternativement plus grande et plus petite que cette dernière vitesse.
1^. Cmë OM la viteëëe du pemduie est emnêiummÊÊetU iHoitufrg «we eelle de l'«lt*.
Dans ce premier cas , l'action de l'air favorisera le mouvement pendant l'oscillation directe, et le contrariera pendant l'oscillation rétrograde ; le moment de cette action sera positif pendant toute la durée de l'oscillation double ; et nous lui donnerons même forme qu'au moment de la résistance de Tair supposé calme : c'est-à-dire que nous déduirons son expression
DK L'AIR. 31
(le l'expression Hu-f-Ku', dans laquelle nous remplacerons la vitesse angulaire ai du pendule par la différence algébrique des vitesses angulaires de Tair et du pendule.
Posant , pour simplifier^ - =a , nous aurons ainsi
M = H(acosd — w)-}-!^ (acos©— w)*, ou
(dB\ t d$?
acQSô^-- N-Klacos0-}-T j .
L'équation du mouvement du pendule sera donc
((PQ . i dB\ I d$\^
0 = —^imr^ 4- pi sin 6 + H^ûcose+ - | -+- K^ncosO-f- ^1 .
Pour traiter cette équation , nous y négligerons les tenues renfermant plus de deux facteurs a ou d ; nous poserons
(6) imr^ = ^î ;
et nous aurons
(5) 0 = ^,^nV,^.- (n-i-^J 4- -^ [a+j) ,
ou , en multipliant par 2d9 et en intégrant depuis l'origine de la première oscillation supposée d'amplitude «,
^iki^-'+^'/Kiti^
Cette équation pourrait servir à développer la valeur
générale de B suivant les puissances croissantes de h et K.
On se propose seulement ici d'en déduire l'expression du décroissement Z de Tamplitude après une double oscillation , en négligeant les produits de deux facteurs n ou k^ ou d'un plus grand nombre.
La première approximation donne
6 = a cos nt et
de
T = — HaSin fit; dt
puis , pour le temps de Toscillation double ,
n On substitue les premières valeurs approchées de 9
et -y dans les intégrales que renferme l'équation (6) ; ai
on y fait t égal à r'> à la limite supérieure ; on rem-
dB place, en dehors des intégrales , 0 par a — Z , — par
zéro ; on néglige le carré de Z ; et Ton a la formule
lit ÎTT
riRsinnr). sinm. dt -r\ (n— nasinnr)*. sinm. d\
laquelle devient, après simplification et après intégration^
DE l'aib. S3
fr(H-4~2Ka) (7) A =^ T W« .
On peut considérer approximativement cette formule comme répondant à l'hypothèse a^na^ puisque na sin nt est la valeur approchée de la vitesse angulaire du pendule.
9°. Cmë OM la witeëme mwaclimmt du penduie eue Bupé^
On peut dire que ce second cas correspond à Thypothèse a < na , puisque n» sin nt y est encore la valeur approchée de la vitesse du pendule. On peut même ajouter que, pendant Toscillation directe, la vitesse du pendule est égale à celle de Tair pour les deux époques
- arc aigu sm — = /. et arc obtus sm — =. f, ;
fi fia * n net
qu'elle est entre ces deux époques supérieure à celle de Tair , qui contrarie ainsi le mouvement du pendule ; qu'elle est en-dehors de ces deux époques moindre que celle de Tair , qui favorise alors le mouvement du pendule. D'ailleurs, dans l'oscillation rétrograde , l'action de l'air contrarie toujours le mouvement
On doit donc prendre pour moment de Taction de Pair, de l'époque r, h Tépoque t^, l'expression
— H (w -ncosO) — K (♦> — ûcosO)*; tandis que, de 0 à /, et de /j ^ ~ ' on doit prendre
H (iicosô— w) + K (ncosô — w)-;
et celle dernière expression doil être prise encore comme représentant le moment de l'action de l'air pendant Toscillation rétrograde ; en sorte qu'on peut poser
(8) M = Hlncosô-*-- -|-KMacoso4-T i
ou k' = K , quand t varie de 0 à r, ou de /, fi — ; et où
k'= — k, quand / varie de (^ à r^»
L'équation du mouvement pendant une double oscillation peut donc s'écrire
0 = ■ji^^^'^ + p/ sin 6 + H /iicos04- -pr^^' f" cosO -|- ^f« Celte équation donne approximativement
de^ ,, 3 3 2n^n(f . d6\dB^ , 2n^R'J/ , de
et conduit, comme dans le cas précédent, à Fexpression du décroissemcnt Z de l'amplitude après une double oscillation. On trouve
2;r 2ff
1 = r f (a — w«sii
Pi ;
wk'
Z, = — ^^ f(n — w«sinm).sinm. (/f r- 1 (li— «asinm)-sinwr.(/f ;
ou, en verlu de la valeur disconlinuo de k\ .
DK l'air.
un
^ — ; 1 (ii — ««* sin «0 siu wf . c/f — p/
WK I
iiasinm)^siuitf. dt
2nK/.
noesinitO^sinnr. </r.
L'ensemble des deux premiers termes de la valeur de Z. se réduit , comme on sait , h
it (H-f2Ka)
noL,
Quant au troisième terme , on trouve , après intégration y qu'il est égal à
rrKOraa 4k
II«a2
