En eflet, on aura par hypothèse (a, , 6,) = 1 ou bien

w«^» /da, d&, cfa, db,\ .

^ I Vdgî li^ "djS^j dqi) ""

le signe 2* indiquant que Ton doit faire varier t depuis / jusqu*h n. Si nous retranchons cette égalité de Tidentitc V ( —1 --Il -4- -L -ii ) = i nous aurons

.^«11 \dp^ dd, ' d^ da,y '

Or, si l'on désigne par «» , a, , — rf,,, , 2 n — 2 intégrales qui, avec les deux intégrales a, et 6i donnent

la solution complète du problème, on peut admettre que l*on a, comme l*a démontré M. Bertrand,

i. En désignant par /*,,/2 ,.../*„,, 2 n fonctions distinctes des 2 n intégrales, on trouvera facilement les équations suivantes :

^1 \dq^ dpi dpi dçiJ dbi

i jUx \dqi dp^ dpi dq^ ) dh,

Si l*on considère comme inconnues les 2 n quantités Je la forme °' , j*' , on voit que Ton a, enU-e 2 »i inconnues , 2 n + 1 équation du 1*' degré. Il faut donc que l'équation (a) rentre dans Tune quelconque des équations (A) ; et, comme Ton peut disposer des fonctions arbitraires /*, , ^. . . de manière à ce qu*aucun des seconds membres des équations (A) ne soit nul, on devra avoir nécessairement 2 n relation de la forme

^ ' da^ ^ dq^ da^ dpi

5. Cela posé, je suppose que Ton donne les intégrales a, , a^ , . . . a^ , el Je vais utiliser les relations (6) pour faciliter la rccherclie de leurs intégrales conjuguées. l

En résolvant les^ intégrales données par rapport, à pt 9 P2 . .. pr nous aurons

Px = F, (a, ... a^ , />^+, , ... p^ , y, ... jj P2 = Fj (û, , ... a^ , p^^^ ... p^ , y, ... q^)

^ Pr = ^r (û» — «r > Pr+i '" Pn > 9i ••• ?»)

Désignons par ( l[* j la dérivée de F, prise par

rapport à a, et par ( ' j la dérivée de 6, , par rapport à 9, , quand on aura remplacé, dans cette fonction, les variables p^ . . . 7)^ , par leurs valeurs tirées des équations (1), on trouvera ainsi

^^da, KdaJ'^dpr^, da, "* '^ dq, da/'*'^

(3) f^'j == îî^ J. !îî:i ^ + ...

^ ' W./ rf^i ^ «'P. rfy. ^

, dÔ^ ^ ^^ d^ , y\r db^ dpi ' «fp^ dçi dq^ "■ ^1 rfp,- dqi '

ik\ T— -^ = ^^' 4- V* — ^^*

dy. dfl,

En relranchanl l'équalion (2) de Téquadon (3) et en ayant égard aux relations (6), on trouve

Enfin, on déduit facilement des équations (3) et (4) la relation

-^r+i \dqi dp. dpi dqj

dp, ^r+. \^dpi dy^ dy. dp,7

qui, substituée dans Féquation (5), lui fera prendre la forme suivante :

^P2<rfÇ. rfy,"^-^H-i \d/»,- dç. dq.dpj]'" dp^V")

OU bien, pour abréger,

/^\ ^ ('fp.X , y» J^ /d^X ^ /f^^ |

Uy,/ Vrf<»|/ ' ^r+ 1 t dpi \ dy,/ dy, \ dpi' '

"' jT — "j zr ■••

6. Il arrive souvent que les quantités Q, 9 Q2 - • - Qr sont nulles. Dans tous les cas, ces fonctions prennent une forme remarquable que je vais chercher, en commençant par Q^.

Le terme

se déterminera au moyen

des équations (7) et (8) que Ton trouve facilement.

da,

f doi dp^

dq2 "*" -^' àpi dq^

dq^ "T" ^. dp. dy

^72 -^» dpi dq^

r= -^ j- V tÎL ££i = î!l« 4. V *iî f^i

Eu désignant par D le dénominateur commun des inconnues f* , /' , on pourra écrire

i'2 /da, rfoj do, da,\

1,2 /do, *»S ^1 ^\ ,

■^*^''» Vdp, dp, ^, dpj ^" ^^^•

L*exposant de P indique que le dénominateur est ordonné par rapport aux termes qui contiennent pi et j),. 7. Cela posé, on trouvera sans difficulté, l'égalité suivante :

<(p» dp^ __^

^ «'2 Wp, d^, dgr, dp. "^ dp, d^ "" d^ d;;'j ■*■

, p«'2 /cte, £î^ ^ foa j^ \ j^

/^ '-' \d,i, dy, dy. dp, "t" ' ; +

Or, si dans le dénominateur, on remplace successivement p, par jt), , jt), , ... jt)^ , on aura des résultats identiquement nuls, qui pourront être mis sous la forme suivante :

0 = P ''* (^ fîa — fî[i ^\ 4.

^ i»» \dpr dqr dq, dpj '^ '

Si Ton ajoute des identités au numérateur de la fraction qui nous a donné la valeur de — ^ ^' , on

dq2 dq,

trouvera

pi, 2 VI *■ /da^ ^ ^ ffl ^A J.

/Q\ *1 *i >>a ^i \dpi dqi dqj dpj) "^

^Uq^dq,= D

, p«»2 Y'' (da^'da^ da^ £a,\ , D

Pour avoir la valeur de Q, , il suflSra d'ajouter au numérateur de cette fraction la quantité

^ 2^r+. Upi d^i dqi dpiJ^

qui, comme je vais le démontrer, complétera le9 fonctions allemàes de Poisson dont nous avons déjà les premiers termes. Soit (d) cette quantité à transformer. Il nous suffira de considérer le premier terme de cette expression, et la transformation, que nous allons lui faire subir, pourra s'appliquer à un terme quelconque. Ce premier terme est égal à

^« pi, 2 rdat rfoj dpj^ dojN

/dpj^ dp^ dpt^ dpA

\dPi dq^ dpi dpiJ

Or, si dans (d) on remplace successivement p-, par PziPsy Pff 00 ^^^ d^ identités qui, ajoutées à (cQ, lui feront prendre une autre forme, ainsi, le terme que nous considérons deviendra, quand on aura eu égard aux équations (7)

V* P*'' f <fO| da^ dp2 rfoà dût dp^ ,

^r-t-t 1,2 ^ dp^ dp^ dq^ "^ dp^ dp^ dq^ *

, do, do, .dp, da^ da^ dp^\

dQi 5p7 dpi Iq^ df^ dpj

9. En appliquant à p, ce que Ton vient de faire pour p, , on trouverait, pour expression du même terme,

S* p*'' ^ £îL ffi ^tl I ^^ ^\ ^^' I f+i I I.» V dpj dpi dÇ^ "■ dpi dpt dqi "•

, da, dds dpi dfiis doj^ ^l\

' dçj dipi" "^i ^i *i W

Ce qui permet de le meure encore sous la forme

— "V* p'*M— — /"^^ 4-^-ï^'^ 4-etc I

Pourcompléter les dérivées ~ -^ > — "if * — >! suffit d'ajouter des quantités qui sont identiquement nulles, comme il est facile de le reconnaître, d*après ce que j'ai dit précédemment. On aura donc, en définitive, en remarquant que chaque terme est répété deux fois,

-^r+1 t. 2 \dpi dq- dqi dp.)

D*où il sera facile de conclure

10. Remarquons que Tindice t devra varier depuis / jusqu'à r — /, et que l'indice t^ qui sera toujours plus grand que l'indice i , variera depuis 2 jusqu à r , inclusivement. L'équation (6) pourra ainsi être mise sous sa forme définitive, et en y remplaçant successivement p. et 9, parpa etqr, , puis parp, etç, ... Pr et q^ , on aura les équations suivantes :

«Jp, D

««Pr D

\Mqt./ \daj'^^r+i(dpi\d,i/ dgiKdpiJ )

rf9r D

àPt D

Ces formules se simplifient beaucoup, dans le cas où toutes les fonctions représentées par le symbole (a. , a^,) sont nulles séparément. C'est ce cas remarquable que je vais examiner.

11. MuUîpIions la première des équations (10) par ctf, I la seconde par dq^ , ainsi de suite. En ajoutant les résultats ainsi obtenus, on aura

dh dpt /dbi\ dh dp^ /^i\ \

dh dpt (dffi\ ^ ^ /£1»\ dpi dpi \dq/ dPi dq^ \dpj

dt.

dpr dPi \dqiJ dpj dqi \dpj

La dernière partie du second membre de cette égaliié est évidemment égale à

Par conséquent, on aura, en définitive,

Or, en considérant b comme une fonction de 71 > 92 • • • 9» » «, » «2 — flf » J»r+. » P« » le premier membre sera la différentielle totale de 61 et il viendra

Si I on se reporte à régalité (9), on voit que, pour que le second membre soit une différentielle exacte, il faut généralement que Ton ait d*abord^ entre deux quelconques des intégrales données, a^ et a, , par exemple, la relation

ou, ce qui est la même chose,

(12) V* (îîîîi iîl « fîi ±») = 0

^ ' ^r+. \dq. dp, dpi dq^J

Car Tune quelconque de ces deux égalités est la conséquence de Tautre, attendu que leur somme est nulle, par hypothèse.

12. Cette dernière condition sera évidemment satisfaite si l'on a en même temps -^ = 0 , -Î2 = o , .•.

^ agi dçi

da

— '^ r=s 0 , pour toutes les valeurs de t , supérieures à r , jusqu'à n , inclusivement. Il en serait de même si

1* •. dOs ^ da« - dOm ^

on avait encore — 1 = 0, --?=0,... -t^==0.

dPi dp ' dpi

pour toutes les valeurs de t comprises entre les mêmes limites que précédemment. Remarquons de plus que la

condition — c= 0 exprime que p. est constant, de

— 18* — sorte que ^^ C^j dq^ est alors une différentielle

exacte d'une fonction des variables 9, « 9, , ••• 9^ ^^ des constantes Oj , a^ ... a^ , f)^^., , ... p„ .

Il est inutile d'ajouter que tout ce que je viens de dire de Tintégrale conjuguée de a, , pourrait s'appliquer au\ intégrales conjuguées des autres intégrales données a, , Oj ... a^ .

13. Il est facile de voir ce que deviendraient nos formules si, au moyen des intégrales données, on éliminait q^ au lieu de p.^ , on aurait, en effet, dansée cas»

\dpj dp^ * dç, c/p, "^ ^2 dpi dp^

da^ \daj ' -^r+i d/,. da, * d/>, da, '

^■a dy^ da,

d où^ en ajoutant membre à membre,

Vdp,/ Vdoy • -^r+i \dp, d^i dç, dp,/ »

« ^2 dp, Vdy, »" dp,/ '

Cette équation se transformerait de la même manière que réquation (5) et Ton arriverait finalement, à Tégalité suivante :

„«, s.w,.-fc.,.-i.;rf,....-irf,,.

Telles sont les formules dont nous allons faire Fapplication.

Nota. — M. Bertrandy |dani Vont de tes le^nt professées ea 1853, au collège de France, proposa à ses aaditeurs, parmi lesqoels je me troarais, de chercher les conditions d*intégrabiliié de la foaclioD

dans le cas où la moitié des S n intégrales da problème sont connues.

A cet effet, je cherchai one expression de ^' — -^ en résol-

vant II équations do premier degré I n incononeSi et je démontrai qae cette quantité était nulle quand tontes les intégrales données satisfaisaient h l'éqaation (a^ , a^f) = 0 . — Quelques jours après, c'est-à-dire» vers le 10 juillet i853, je fis part de ma découverte à M. Bertrand, qui m'apprit que M. Uonville était déjà arrivé à ce résultat, en suivant one notre marche.

Je n'hésitai pas à reconnaître la priorité de rillustre géomètre.

HOLVEMERT D TN CORPS 80UDB AUTOUR D UN POINT FIXE, DANS LE CAS OU IL N*T A PAS DB FORCES EXTÉRIEURES.

M. Supposons un corps solide sus|)endu par son centre de gravité, autour duquel il peut tourner librement.

— 186 -• Comme Taciion de la pesanteur sera détruhe parole point 6xe, on aura immédiatement deux intégrales^ en exprimant que la somme des forces vives, et le moment résultant des quantités de mouvement, sont des quantités constantes.

C*esl ce que nous allons voir, du reste, diaprés les équations du mouvement, que je vais d*abord chercher.

Soient o x ^ oy , 02^ trois axes fixes passant par le centre de gravité ducorps^ eto^, ,oy(,oa;, , trois axes mobiles coïncidant avec les axes principaux du solide, pendant tout le mouvement.

SoitN N, , la ligne suivant laquelle se coupent les deux plans xy et x^ y^ .

On peut toujours disposer le3 axes de manière à Taire coïncider les axes fixes avec les axes mobiles, en effectuant :

l"" Une rotation autour de o 2: en vertu de laquelle 0 x déerini un angle q^ , pour aller coïncider avec la ligne*^ NN. ;

3^ Une rotation autour de 0 N , de manière à ce que oz vienne se placer sur 0 jr, , en se rapprochant de o y et en décrivant Tangle 9, ;

3* Enfin, une dernière rotation, qui aura lieu autour àeo z^, et par laquelle la ligne 0 x décrira un angle q^ , en se rapprochant de 0 y , jusqu'à ce qu'elle coïncide avecox, .

16. Gela posé, désignons par p , 9 » r les composantes, suivant les axes mobiles, de la vitesse de rotation dhi solide autour de Taxe instantané, et cherchons ces quantités en fonction de. f 1 , f , , 9, , et de leurs dérivées.

Du point 0 (avec un rayon égal è 1), décrivons une sphère et soient N , N' les points où elle est coupée par o N et 0 N' perpendiculaire à 0 N , dans le plan a?, 0 y, , soient de même, âp, 2P, y , , les traces des axes 0 x, o x^f oy^ ^ On aura N x =» 9, , N x, «< 9, , angle B = 9, .

La Figure (3) va nous donner immédiatement la valeur de p 9 f 9 r •

En effet, au liea de décomposer la vitesse de rotation suivant les axes mobiles, on peut la décomposer suivant les droites o z^ ^ o N,o N' .

Or, Tangle f , ne variant qu*en vertu de la rotation

qui a lieu autour de o N , il viendra ^ s= ^ sin. 9,

— p COS. ç,«

La rotation autour de 0 N' fera décrire au point N , dans le temps dl , Tare élémentaire îi K==^(p sin. 7, + q COS. Çs) dl.

Par conséquent, N a?, = Çs s'accroît en vertu de cette rotation de A B =» N Â. Gotg. 9, . , D'ailleurs, la rotation autour de o^, augmente encore Tangle f , de la quantité rdt. On aura donc, défini* tivcment, dqr, = rrf( + N A. Colg. ^,.

On trouvera de même N B = da , = • ' , et les

valeurs que nous cherchons, seront

p = sin. y, «m. y, — * — COS. y, —

17. Les valeurs des autres variables p. , Pi * f 9 se déduiront facilement de ces formules. On a, en effet, en appelant « la vitesse de rotation du corps,, et I son moment d*incrtie, par rapport h Taxe instantané,

ÎT =s 2 tnw, = »'I = »' j A (-£-)' +

+ B (-7)' + C (f )' ! = Ap' + %' + Cr' .

A , B , C étant les moments d'inertie par rapport aux axes ox, ,oy, ,oz, que nous avons fait coïncider avec les axes principaux, on en déduira, en posant, pour

abréffer ^ — a ' ^ = o < fîi — » '

p, =. 5^ = — Ap COS. y, + Bj 8in. ?..

ilT

p, = —, (Ap sin. yj. + Bj CO0. g,) sin. ?.

— Cr C06. y, .

p. = ;^ = Cr.

18. Ces équations nous perniettront d'éliminer p, q , Tf dans Texpression de T , et il viendra

+ KT^^TT, — ; K-ir + — B-; +

ou bien, en posanl /> = ^^^

Si nous remarquons maintenant que, dans le cas qui nous occupe, la fonction que nous avons représentée par H , se réduit à la Toncuon T , nous pourrons écrire les équations du mouvement de la manière suivante :

dt siQ. ç,

~ 191 — 19. Les éqattàoDs difiérentidles du mouvement soni ordinairement employées sous une autre forme, que Ton peut aisément trouver de la manière suivante :

Après avoir difiéreneié les équations (14), on en tire

^ dp dp dp, ,

+ Bj I r + COS. î, Q) sin. j, + {^ COS. ?,) | — A/?| r + COS. y, (p gin. y, + J cos. y,) |

IHiis, en remarquant que Ton a

dpj^ __ ^, -t- pa C08. çt) (p «p- 9l + 9 co»' yi)

dt «0-* Çf '

iî = - cot. y. p? (B - A) -

(y sip. ys — p co»« Çj) {Ps 4 P2 CQ»» ^i

00 trouvera les équations du mouvement, soos ceUe

forme simple,

20. On voit immédiatement qae les dérivées — et A> ^ + B'a -^ + CV -^ sont nulles. Par

' al a» o*

conséquent, en appelant l et h deux eonsiantes, nous pouvons poser

remarquons que Ton a — = 0 , — = 0 , et, par suite,

ii ii ii "fî. = 0 (VoirlcnMI).

D^ailleurs on a évidemment (X , A) » 0. Par conséquent, nous pourrons avoir les intégrales conjuguées des intégrales données X et A , et en sup-

posant cellesHsi résolues par rapport aux variables 9, » q^ , les intégrales cherchées que je désigne par fx et « seront données par les formules

SI . Cherchons « , et pour cela remarquons que ^

étant nal, il suffira d'avoir % . Or, l'intégrale des Torces vives peut se mettre sous la forme

0^ Msin. 2?, +N ces. 2?,+P =/(?,,;»,, p., >, A)

En posant M = p, (-1 — -L) Vi—p^—'J}

Désignons par 2X la dérivée ^. Les deux équations (17)

S M COS. ^q^ + N sin. âgr^ = — . X N COS. 2jr, — M sin. ây, = — P

élevées au carré et ajoutées, membre à membre, donnent

l4.(j.l),p,,PÎ

lt4-(T-T)p-p.')+H- H.'(4-é-)+«-T-!l

U.-iT-i)+-lr-^\

d*oii, en prenant la valeur positive de X

Ce résultat est eonfirmé par Téquation différentielle

dp

dh

dh

-^ = — —, car — est égal à X et ne contient plus que la variable p^ , quand on a égard à Tintégrale X . On lire donc, de celle équation , rfr = — -^ .