Pour avoir l'intégrale (i , il sufSt de connaitre

dq, dX

àgt ' dx

. Or, on a

rfç, dX

-Xp.

dX df ~

dq.

On déduit aisément de l'intégrale > ,

et en ne prenant que les valeurs positives.

Pi I p»

^^1 JL y' />

D'où TT ^ "" 2 A - p,«

L'intégrale cherchée sera donc

On peut s'assurer que la condition d*intégrabilité est satisfaite. On a, en effef^

dp, \ X - p,^ / i- p,^ dpsKp ) P*

dp,\ X/,(i-p,») / i-p,»rfp,Vpy— p»

Et le problème est ainsi ramené à des quadratures.

HOUVEMBFfT d'uN SOLIDE AUTOUR DE SON CENTRE DE GRAVITÉ EN TENANT COMPTE DE U ROTATION DE LA TERRE.

24. D*aprés un théorème de Goriolis, nous pouvons faire abstraction du mouvement de la terre, pourvu que nous appliquions à chaque molécule du corps deux forces fictives dite», Tune force denirainoneni et Tauu^ force centrifuge composée.

La première, combinée avec TaUraction de la terre» donnant une résultante qui est détruite par le point fixe, il ne reste plus qu'à évaluer la seconde.

Désignons par ti, , t;, , t£>^ , les projections sur les axes mobiles de la vitesse relative d*un point du corps, et par p\ q^ ^ r\ les projections, sur les mêmes axes, de la vitesse de rotation de la terre.

On sait que la force cherchée est perpendiculaire à la

vitesse relative et à Taxe instantané, ce qui nous fournira les équations suivantes :

Cos. « p' + <^- P ?' + <^- 7 . r' = 0 Cos. « tt, + C05. i3 y, + COS. 7 . î*^, =0

l Cos.' ft + COS.' |3 -f COS.* 7 = 1

dans lesquelles «, ;3, 7 désignent les angles que la force centrifuge composée fait avec les axes mobiles.

Désignons par v la vitesse relative du point consi* déréy et par t Tangle qu'elle fait avec Taxe instantané. M V sin. t sera Tespace parcourue par Tcxtrémité de la droite qui représente t; . La force inconnue est dirigée en sens contraire de cet espace, et a pour expression ^nuùV sin. t. Il sera facile de conclure de là que les projections de cette Torce sur les 3 axes mobiles ox^ , oy, , oz, , sont

— ^m{q' w^ — r' v^) , — 2 m (r'u, — p' W'i) , — îmfp't;, —?'«,)

25. Cela posé, reportons-nous à la figure (1) et proposons-nous de rapporter le mouvement du corps aux axes ox ^ oy ^ oz j que nous avons le droit de considérer comme fixes, en ayant égard aux forces fictives.

Pour trouver les formules de Lagrange, dans le cas que nous considérons, supposons que le solide se meuve

avec une vitesse » autour de l'axe instantané, pendant utf temps 6 , infiniment petit et arbitraire.

Soit R la résultante des forces du solide / , sa distance au cenu-e 0 , et a , Tangle que Tait Taxe instabtané avec Taxe du moment résultant. R / u 0 ces. a sera le travail virtuel de la résultante. Désignons par

les projections, sur les trois axes mobiles, du moment résultant, et par p , 9 , r , les composantes de la vitesse w , suivant les mêmes axes.

Si nous remarquons que les quantités ^ ® » ~j^ ^ y

^ 0 , ne sont autre chose que les variations arbitraires des angles 9^ , 9, » ?s » on pourra écrire

R / ù> ô COS. « =

= (M, sin. y, — L, ces. y,) Iq, +

+ { ( L, siD. y, + M, COS. y J sin. y, —

— N, cosy, } îy, -t- N, «?,

Si, dans cette équation, on désigne par Q, , Q, , Q, les coeflicients des variations Iqx , Iq^ » ^y , les équations de Lagrange seront

dl <î' + d,.

dt

"' ^ rfî.

26. Je vais remplacer ces trois équations du second ordre par six équations du premier ordre, en ne considérant, toutefois, que le cas particulier où le solide est de révolution, autour de o z , par exemple , ce qui donne à T la forme simple

^=âÂr' + — iSTTT; — i + ^

D'où Ton déduira % = -^f- . î^T = T"^— »

dt A ' tfl A 810 9, '

-dT - '^ nî Te"- ^'our avoir ^^ , ^ t ^ , exprimons Q, , Qa , Q, , en fonction des mêmes

variables /}, ... p^ , 9, ... 9, • En remarquant que Ton a

V, = rx, — ;}z, on trouve facilement

•L, == (4A — C) yr' — Crq'

M, = — (2A — C) p' -f Crp' N, = C (p?' - ?/)')

d'où il est facile de déduire

Q, = — (2A — g; r' (p sin. j, + j cos. ?,) + + p, (y«D. î, +Ç'C08, ç,)

Qj = (2A — C) r' {q sin. q^—p cos. j,) sin. y, -|-

+ Ps »"• ?. (P' «». î', — î' nn. yj —

— CcoB. y, (w'— 2p')

Si nous désignons par ••« i «^ » «s » '^ projections de la vitesse de rotation sur les axes o x ^ oy , o z ^ on aura les trois équations

f\ ==«, COS. (a:,x,) + w, cos. (y , xj + w^cos, (r , x.) q^ = », COS. (X , y J + 6., COS. (y, y.) + «, cos. (z , y.)

r' = M, COS. (x , z,) + «a COS. (y , z,) + «3 COS. (2 , z J

dont on déduira aisément

^ = — «, (-^ COS. y, + ^ COS. q, An. yî) +