CHAPITRE SECOND

CALCUL DE l'orbite QUE LES CORPUSCULES DÉCRIVENT AUTOUR DU SOLEIL.

g I. — Mouvement absolu, non troublé, des corpuscules, déduit de leur mouvement apparent.

32. — Si Tobservalion pouvait donner avec exactitude la vitesse relative apparente *', à Taide de Téquation (47) que nous venons d'obtenir, rapprochée de Téquation (19)

on pourrait déduire de *' la vitesse relative 9, résultant du rtiouvement de la Terre et de celui des corpuscules non troublés. Puis en suivant une niarche analogue à celle qui a donné l'équation (11), entre 9 et W,, on conclurait, de la vitesse relative 9, la vitesse absolue W, avec laquelle les corpuscules parcourraient, en dehors de l'action de la Terre, le point de leur orbite où nous les observons.

Mais nous avons vu que l'incertitude qui régnera toujours sur la valeur de *', engagera plutôt à demander W, à des calculs basés sur une hypothèse relative à la forme de l'orbite, et à en déduire 9, puis * et ^ par les équations que nous venons de rappeler.

33. — Il n'en sera pas ainsi du point de radiation, car on peut l'observer avec une exactitude suffisante, pour qu'il y ail utilité à faire subir à ses coordonnées les corrections résultant des effets de l'attraction de I» Terre et de la réfraction, corrections données par les

équations (30) ou (32), (33), (35) et (36), et même les corrections dues à la rotation de la Terre, et qui sont données par les équations (44) et (45). Les équations rappelées supposent connus la distance zénithale et l'angle horaire du point de radiation, mais nous avons vu, au no 29, comment on peut les déduire de Pascension droite et de la déclinaison observées.

Avec les coordonnées ainsi corrigées, et au moyen des formules (8), (9), (10), (12), (13) et (14), qui tiennent compte de la vitesse de translation du centre de la Terre, on obtiendra les coordonnées du mouvement absolu des corpuscules, c'est-à-dire du mouvement qui aurait lieu sur leur orbite, à la distance du Soleil à laquelle ils ont été observés, et loin de toute cause perturbatrice.

Ce sont ces éléments du mouvement absolu non troublé que nous allons employer dans les recherches suivantes. Nous conserverons, pour les désigner, les mêmes lettres que pour les éléments provisoires, mais nous y ajouterons un double accent.

S n. ~ Longitude du nœud asoendant, inclinaison de rorbite et sens du mouvement.

34. — Soient (Fig. 6) 0 la Terre; OT la direction suivie par son centre, de 0 vers T; S la position du SoleiU Y le point équinoxial du printemps; YTS' Técliptique; n son pôle ; CO la direction du mouvement absolu des corpuscules, de C vers 0; U = YT, L« = YS^ et W = YC les longitudes du point T, du Soleil et du point G, puis Ac" = ce la latitude de ce dernier point.

La direction CO est une tangente, en 0, à Torbite plane que décrivent les corpuscules autour de S ; le plan de cette orbite passe donc par OC et par S, et il coope.

récliptique suivant OS' et la sphère céleste suivant le grand cercle S'G. Par suite OS' est la ligne des nœuds.

Soit Ln la longitude du nœud ascendant; cherchons sa valeur. Sur la figure, où G est au nord de Técliptique et où, par conséquent, sa latitude a/ est positive, 0 est le nœud descendant et Q le nœud ascendant. La longitude de ce dernier point est égale à celle du Soleil ; on a donc

(*8) Ln = Ls pour >c" positif.

^ Si G était au sud de l'écliplique, ?<c" serait négatif, et 0 serait le nœud ascendant. On aurait donc

(49) Ln = L» d: 180o pour >c" négatif.

35. — Cherchons l'inclinaison I du plan de l'orbile. Cette inclinaison est donnée par l'angle CS'C' du triangle CS'C, rectangle en G', et dans lequel on a S'C'=Lc" — L„. On aura donc

<50) Tgl= ^g^-" .

^^ ^^' sin(W-.Ln)

Si l'on a égard aux signes de Ac" et de (L/ — Ln),.TgI pourra être positif ou négatif; et, par suite, l'angle I aura des valeurs qui pourront aller de 0> à 180<>. Ces valeurs seront les inclinaisons comptées entre les parties de Védiptique et de Vorbite que suivent respectivement la Terre et Us corpascuUs à partir du nœud ascendaVU.

On reconnaîtra l'exactitude de cette règle en consultant la figure 14, qui représente les mêmes données que la figure 6, mais avec le Soleil S au centre de la sphère céleste. Dans cette figure, YQA est le plan de récliptique, Y le point vernal, QkO l'orbite des corpuscules, et Q son nœud ascendant.

36. — Cherchons le sens du mouvement. Avec la définition que nous venons d'adopter pour l'inclinaison, celle-ci variant de O^ à 180°, il est inutile de spécifier

le sens du mouvement» qui a toujours lieu du nœud ascendanl vers la partie de Torbite qui s'élève au-dessus de Técliptique. Mais si Ton voulait compter rinclinaison jusqu'à 90o seulement, on devrait substituer, aux valeurs de I qui excèdent un quadrant, leurs suppléments r=180o— I; mais, en même temps, il faudrait indiquer le sens du mouvement :

j... j Direct quand .... I < 90o.

^ ^ j Rétrograde quand I> Mo.

Nous nous en tiendrons, dans ce qui va suivre, à la première déCnilion de l'inclinaison I.

Pour trouver les autres éléments du mouvement, nous aurons à considérer le cas d'une orbite elliptique et celui d'une orbite parabolique. Nous étudierons ces deux cas successivement.

s m. " Calcul de divers dlèments d'une orbite éUiptifiae.

37. — Soit (Fig. 6) OAQ cette orbite, tracée dans le plan COS'. Nous supposons connu son grand axe AB = 2A, le foyer S, le rayon vecteur OS = f,. Il nous faut déterminer d'abord le périhélie A dont la position estYixée, dans le plan de l'orbite, par l'angle OSA = »,, compris entre le rayon vecteur et le périhélie, et par la distance périhélie SA=fo. Ces éléments sont fonction de l'angle COS =r 9, compris entre la tangente CO et le rayon vecteur SO.

Or 9, est mesuré par l'arc GS', hypoténuse du triangle rectangle CCS' que nous considérions tout à l'heure. On aura donc

fcosO, = ces >c" COS (Le" — Ln),

&TUDBS SUR LES &TOILËS FILANTES. 361

Sinl élant nécessairement positif, sin8, aura toujours le signe de sinA<.".

38. — Mais si p et g sont le paramètre et Texcentricité de Tellipse, on sait que Ton a la relalioa

et que Téquation de Torbite, quand l'origine des <^ est au périhélie, est

(54) -=:---^£: ou f = r-; •

On sait aussi qu'alors l'angle 9, de la tangente et du rayon vecteur, est donné par l'expression

esm»

De celte dernière on lire

I l + Tg'e 2(i+ecos«)>--(i — O sin'e"" Tg*e ~" (4+CC08»)* '

OU

* ^ i ^ <*"-^'>^=: ^ fa M

sin'Ô l+ecosfl»\ 4+ecos»/ A(l— «')\ A/'

d'où, en remplaçant f et 6 par les valeurs particulières f. et e,

(56) (l--e>) = J(2-Û)(8in'd,).

De là on tirera la valeur de YexcerUriciié e; puis on aura celle du paramètre p par la formule (53). Enfin on aura, pour la distaiice périhélie

(57) fo = A(l— e).

39. ~ L'angle OSA = «,, cjui fixe la position du périhélie dans le plan de Vorbile, se lire des équations (54)

364 6CIENGE6.

OU , en exprimant les surfaces en fonction 4és données

AireO'SA = -y ^ — .

Mais on a