CHAPITRE QUATRIÈME
RELATIONS ENTRE LA FRÉQUENCE DES MÉTÉORES ET LA DENSITÉ DE l'eSSAIM QUE LA TERRE TRAVERSE.
1 1. — Nombre des rencontres -visibles des trajeotolres et d'une surface sphèrique.
90. — C'est avec juste raison, que les personnes qui observent les pluies d'étoiles filantes périodiques notent, pendant la durée du phénomène, les nombres de ces météores qu'elles voient dans des temps égaux, de cinq minutes par exemple. Car on peut déduire, pour chaque instant, des fréquences apparentes plus ou moins grandes des météores, les densités numériques de l'essaim, c'està-dire les nombres de corpuscules qu'il renferme dans des volumes égaux. Toutefois, les nombres qui expriment les fréquences et les densités sont loin d'être proportionnels; car nous allons voir que, pour une densilé égale, les rencontres avec la sphère R el la fréquence as météores visibles varient considérablement avec la valeur de la distance zénithale du point de radiation.
9t. — Supposons donc une répartition régulière des corpuscules d'un essaim et cherchons les nombres de ceux qui, pendant un temps donné, traversent les diverses parties de la sphère de rayon R concentrique à la Terre.
Faisons d'abord abstraction des inflexions que l'attraction de la Terre produit dans les directions des corpuscules (Fig.26). Nous pourrons admettre que, dans leur mouvement relatif, tous ceux de ces corpuscules qui viendront rencontrer la sphère de rayon R, auront décrit
des droites parallèles au rayon visuel qui aboutit au point de radiation. Soient (Fig. 25) ËC cette direction du mouvement relatif, et ab le diamètre d'un petit cercle indi* quant la limite de visibilité des étoiles filantes, produites par des corpuscules d'une certaine grandeur, que peut apercevoir l'observateur 0 situé sur la Terre (n» 1). Cet observateur ne verra briller, sur la sphère R,que ceux des corpuscules de la grandeur considérée qui se seront mus dans le cylindre dont la base est ce petit cercle, et dont les génératrices sont parallèles à la direction EC des corpuscules. Or, si l'on suppose que ceux-ci soient régulièrement espacés dans l'essaim, on pourra les considérer comme uniformément répartis sur les trajectoires reclilignes équidistantes qu'indique la figure. Alors le nombre n de corpuscules que l'observateur 0 verra, pendant un temps donné, sur la petite calotte ab, sera proportionnel au cosinus de la distance zénithale ^ du point de radiation ; car ce nombre est proportionnel à la section droite aV du cylindre qui s'appuie sur cette calotte, et, pour un même diamètre du cercle de visibilité a6, cette section est proportionnelle au cosinus de b*ab = Ç.
La même proportion aura lieu pour des corpuscules d'une grandeur différente, quel que soit le diamètre de leur cercle de visibilité. On peut donc dire, en généralisant :
Que peur um même répartition des corpuscules dans Vessaim^ le nombre de ceux que Von verra briller sur la sphère de rayon R sera, en chaque lieu et à chaque instant, proportionna au cosinus de la distance zénithale du point
de radiation.
Soient donc no et n les nombres qui correspondent aux distances zénithales du point de radiation zéro et Ç, on aura
(140) n = noCOs<.
Celte formule est indépendante de la transparence de Tatraosphère ; mais elle suppose que cette circonstance esl la même pour les observations que Ton compare.
Il ne faut pas oublier d'ailleurs qu'elle se rapporte aux nombres de points lumineux et non pas aux nombres de météores distincts (question que nous traiterons au n<> 97) et qu'elle suppose rectilignes et parallèles des trajectoires qui, en réalité, sont plus ou moins infléchies (Fig. 26). Ayons égard à cette inflexion.
92. — Pour cela supposons, comme tout à Theure, que les corpuscules soient régulièrement espacés sur un nombre limité de trajectoires équidistantes , et voyons d'abord comment la dislance qui les sépare à l'origine se modifiera à mesure qu'ils approcheront de la Terre.
Soient G et G deux corpuscules placés sur l'une de ces trajectoires, en deux points voisins dont la distance est de^ et pour lesquels les vitesses sont V et V; et soit di le temps nécessaire à C pour aller en G. On aura de = \dt. Or, pondant que le corpuscule C parcourra cette dislance, le corpuscule G s'avancera dé de' = V'd/, de sorte que quand C sera venu en G la distance des deux corpuscules sera def. Mais de et de! sont proportionnels aux vitesses V et V , donc, à chaque instant, la distance des deux corpuscules sera proportionnelle à la vitesse dont ils sont animés au moment considéré. Or nous avons vu (n© 17), que tous les corpuscules seront animés de la même vitesse en atteignant la sphère de rayon R. Donc au moment de cette rencontre^ VécartemerU de deux corpuscules consécutifs, sera le même sur les diverses trajectoires.
93. — Il résulte de là que, pour une même répartition des corpuscules dans l'essaim, le nombre de ceux que, pendant un temps donné, l'on verra briller sur la sphère
de rayon R sera, corarae tout à Theure, proportionnel au nombre des trajectoires qui rencontreront le cercle de visibilité ; cherchons ce dernier nombre. Pour cela, rappelons que ces trajectoires sont des hyperboles ayant pour foyer commun le centre F de la Terre (Fig. 27) et pour asymptotes des droites parallèles à OF, direction du mouvement initial. Pour exprimer qu'à l'origine du mouvement elles étaient régulièrement espacées, nous supposerons que ces asymptotes percent un plan perpendiculaire à leur direction commune aux sommets de petits carrés contigus; soient alors A,C|, A^G,, AjCj, A^ C^ quatre de ces directions initiales formant un parallélipipède ayant pour section le carré dont nous venons de parler, et choisies de telle sorte que le plan de A, G, et A2G2 passe par FO; les trajectoires correspondantes seront situées dans le même plan et perceront la sphère de rayon R en a, et «g, les deux autres la perceront en a^ et a^. Il en résulte que le carré primitif A ^A^A^Ag sera transformé, sur la sphère, en un quadrilatère curviligne a , a^a^a^ que Ton pourra regarder comme un rectangle si Ton suppose/iue ces deux quadrilatères soient extrêmement petits.
De plus, dans les sections de l'essaim faites, tant par le plan perpendiculaire aux directions initiales que par la sphère de rayon R, on pourra admettre que chaque trajectoire perce ces sections au centre de l'un des quadrilatères que nous venons d'indiquer.
Soient donc S la surface du cercle de visibilité des corpuscules d'une certaine grandeur ; no' le nombre des trajectoires de ceux-ci qui le rencontreraient si ces trajectoires restaient rectilignes et étaient d'ailleurs perpendiculaires au cercle, c'est-à-dire si la radiation était zénithale, on aura
Soit ri le nombre des trajectoires qui rencontrent réellement le même cercle placé dans la région occupée par le quadrilatère a^a^a^a^y on aura
donc
ti A1A2 X A|As-
(Ui)
nj a.ajXaias
Soient maintenant a et 6 les axes de ITiyperbole a/a,. On sait {n^ 20) que a est constant et égal à FE, que 6 = EC, et que Téquation de l'hyperbole est (formule 24)
I — COSû» + -sina a
Si Ton y fait ç = R, on aura
1 — cos»-f- -sin»
équation qui se rapporte au point a, et dans laquelle^ par conséquent, « = a,FO.
Posons C.Cj = db. Dans l'hyperbole aja^ on aura, pour second axe, EC^ = 6 4- db, et l'angle a^FO sera alors a -4- dû) ; rfft et dcù étant liés par la relation
(144) +Rsina)c2«-| cos»a»H = ,
déduile, par différentiation , de l'équation (143) dans laquelle R et a sont constants. De plus la figure montre que Ton a (iiS) a,a, = Rd«.
Remarquons maintenant que les deux hyperboles a»
et a, sont identiques, mais placées dans deux plans distincts qui se coupent suivant FO; par suite, on aura
, a.as :A,A3:;a,o:A.O ::Rsin»:6,
d'où, en se rappelant que A, A, = d6,
Or, à cause de la petitesse de ses côtés, le quadrilatère a.a^a^a^ étant considéré comme un rectangle, sa surface
sera
(147) «ifla X «itts =-r-sin«d»d6.
Mais, d'autre part, parce que la figure initiale est un carré, on a
(148) A.Aa X A,A3 = d6\
Mettons les valeurs précédentes dans (141), il viendra
^ ^ nj "■ Rsin. ^ Rd«'
df» '
Et si Ton élimine 6 et — entre les équations (143), (144)
et (149) et si, en même temps, on remplace- parsava-
leur — déduite de Téquation (18), on aura (*) (*) L'équation (143) donne
Rsin- 2 ^ V ^ I
— cos»)
Rsin'a»
qui, en faisant — = — et sin^wsr 1 — cos' », devient
Rsin» 2l ^ ▼ 1 + cos» J
De réquation
^' — iîl (l J- / i + cos« \ f y 4-4-COSa + — j \
cos« +
V i+cos«+-^ y
r l+cos» + — J
4 M/ , , , 2v»^ ^1/ 1+cos*
De réquation (14p4p) on tire
dh R Rsina Rsin»
qui, par la substitution des valeurs précédentes, de —. — et de -, devient
dh k+r'"'" . i
Rd« I ôT, a
/1+C0S-+ — ' 1 + cos»
Mettons dans (149) ces valeurs de ses deux facteurs, nous aurons
