Pour 9 =r zéro et quelle que soit la valeur de
Texpression (150) donne — ==(». Cela devait être, car
dans ce cas, les courbes décrites par les corpuscules sont des paraboles ; et comme pour celles-ci 6 = oo , nous avons implicitement supposé qu'un nombre infini de corpuscules étaient accumulés sur chaque point de la sphère R. Pour faire disparaître celte sorte d'indétermination, supposons que des corpuscules décrivant des paraboles soient uniformément répartis sur une calotte sphérique, de rayon R'. Quatre d'entr'eux partent des sommets d'un carré a/a^^a^'a^' (Fig. 27) tracé sur cette sphère, l'un des côtés a/a^^ passant par FO, axe commun des paraboles. Ces corpuscules rencontreront la sphère de rayon R aux points a,, aj,a^, «3, sommets d'un rectangle élémentaire; et si y et s sont respectivement les surfaces de ce carré, et de ce rectangle dont chacun correspond à un météore, on aura
Or, l'équation générale des paraboles étant
si on la dififérenlie en considérant ç comme constant, on
aura la relation
(153). f sin«d» = dp, '
qui lie la variation dp éprouvée par le paramètre, quand on passe d'une parabole a^a/ k la parabole infiniment voisine a^a^'^ avec l'angle d®, formé par les rayons vecteurs aboutissant aux points de rencontre de ces paraboles avec la sphère de rayon f .
De sorte que, en faisant Fa, =R, a,FO=:û>, a.,Fa, = da>,
puis Fa/ = R', ei.FO = «', a./Fa/ = dtJ, on aura respectivement
(154) R8inad» = dp et R'sina»'d»'= dp.
De plus, on voit sur la figure que Ton a
(155) a,a2=Rd», a/a/ = R'd*'.
Ensuite les plans des paraboles a^a^\ a^a^ se coupant suivant FO, et les éléments a^a^y a^^a^^ étant parallèles entr'eux, on a
(456) a,a^ : a/aa' •*: «.o I a,^o^ W Rsin- : R'sin-'.
Des équations (151), (155) et (156), on conclut
s . RdflvRsin»
l'^R'd-'R'sin-''
relation qui, à cause des équations (154) se réduit à
Cette relation étant indépendante de (v, on en conclut les conséquences curieuses que voici :
Si la vitesse, par rapport à la Terre, des corpuscules d'un essaim était primitivement nulle, par exemple s'ils parcouraient, autour du Soleil et dans le sens direct, une orbite identique à Vorhite terrestre, l'attraction de noire globe les rapprocherait de telle sorte que, ceux qui étaient régulièrement espacés sur une calotte sphérique de rayon R' seraient toujours régulièrement espacés sur des calottes sphériques appartenant aux diverses sphères de rayon R qu'ils traverseraient. De plus, les surfaces de ces calottes sphériques seraient proportionnelles aux rayons des sphères dont elles font partie.
Puis si l'on remarque que des surfaces de calottes sphériques sont proportionnelles au produit de leur hau-
ÉTUDRS SUR LES ÉTOILES FILANTES. i\l
leur H el H', par les rayons des sphères, R el R', on
RH
aura : 1 =i= — -. En rapprochant, celle relation de (157),
on conclura que, quels que soient les rayons des sphères auxquels apparliendroni les calottes sphériques traversées, toutes ces calottes auront la même hauteur.
95. — Revenons à l'équation (150). Elle exprime les nombres de rencontres .avec la sphère de rayon R, non pas en fonclion de Ç, dislance zénithale du point de radiation, mais bien en fonction de «. Or, sur la figure 7, on voit que Ton a (158) « = ç + t,
i ayant la valeur donnée par Téquation (30), en fonction de Ç. On pourrait chercher à éliminer a> et i entre les équations (30), (150) et (158); mais nous nous contenterons d'emprunter au tableau du n® 27 les valeurs de Ç -I- 1 = 6) qui, substituées dans la formule (150) nous permettront de calculer le tableau suivant :
Vitesses
initiales relatives
des
corpuscules.
— = nombres proportionnels aux rencontres,
en un temps donné, des trajectoires des corpuscules et du cercle de visibilité, la distance zé-
Rapports
avec celle
delà
Terre.^
Valeurs
en
kilomètres.
nithale du point de radiation étant Ç =
Qo
0km
OB
5km
15km
30km
72km
Si Ton compare les chiffres correspondant aux vitesses 0 kilomètre et 5 kilomètres, à ceux qui se rapportent aux grandes vitesses, on voit que, pour les corpuscules dont les vitesses relatives par rapport à la Terre sotU primitivement faibles, l'attraction de notre globe augmente considérablement la densité transversale de Vessaim qu'elle traverse, c'est-à-dire, produit un rapprochement trèsnotable dans les trajectoires des corpuscules qui le composent (*).
96. — Pour mettre en évidence , abstraction faite de cette concentration transversale, la variation qu'éprouvent les nombies des rencontres, par rapport à la distance
n Si Ton se reporte au tableau du n» 45, qui montre que les faibles vitesses sont augmentées, beaucoup plus que les grandes,, par l'attraction de la Terre, et si Ton se rappelle (no 92) que les écartements des corpuscules sur les trajectoires croissent proportionnellement à ces vitesses, on arrivera à cette conclution que, Vattraction de la Terre allonge Vessaim dans le sens du mouvement et cela d'autant plus que sa vitesse, relativement à la Terre, était primitivement plus faible.
Enfin ^ei9 étant, comme au numéro 1 5, les vitesses à la distance R du centre de la Terre et à Torigine, et les sections qui correspondent
à chaque trajectoire étant respectivement — et — -, les volumes qui
comprennent un même nombre de corpuscules seront, dans les
mêmes circonstances, — ^ et — -, Le rapport des densités moyennes
de Tessaim sera inverse de celui de ces volumes; il sera donc
il, i no*
Passant aux nombres on trouverait, pour Ç = 0 et pour les vitesses relatives 9 = | 5ki» ISkm 30km 73iun
les rapports des densités \
de ressaim, à la distance r| i,30 i,0i 1,00 1,00
du centre et à Torigine ]
Si Ton multipliait, par ces coefficients, les nombres de chacune des
ÉTUDES Sl-R lES ÉTOILES FILANTES. 419
zénithale du point de radiation , diminuons proportionnellement tous les nombres de chaque ligne horizontale du tableau précédent, de telle sorte que le chiffre correspondant à Ç = 0« devienne l'unité, et ayons égard, pour la vitesse zéro , à la conséquence de la formule (157), nous formerons le tableau suivant :
Les vitesses relatives initiales
Le nombre de points lumineux visibles, en un
des corpuscules étant
temps donné et sur la sphère R, étant 1 pour
Ç = 0, il aura les valeurs suivantes pour Ç =
en fonction de celle
en
delà Terre.
kilomètres.
Oo
5km
15km
30km
72km
Valeurs de cosÇ...
De la comparaison des divers nombres de ce tableau, avec ceux de sa dernière ligne horizontale, on peut tirer la conclusion suivante :
Dès quela vitesse relative initiale, de corpuscules régulièrement répartis dans un essaim, dépasse ô kilomètres, oti
lignes horizontales du tableau du numéro 96 , on obtiendrait un nouveau tableau donnant, pour une densité initiale de Tessaim égale à Tunité, la densité moyenne acquise par cet essaim à la distance R du centre de la Terre ; et Ton en conclurait que, pour les vitesses initiales égales ou supérieures à 45^"» la densité primitive est à peine modifiée , mais qu'elle est accrue pour les faibles vitesses initiales, et d'autant plus que ces vitesses sont plus faibles.
peut admettre, sans erreur notable^ pourvu que la transparence de l'atmosphère soit la méms, que, pour les corpuscules d'une même grosseur, le nombre de ceux qui, dans un temps donné, traversent une calotte sphérique limitée par le cercle de visibilité, sont, comme dans le cas des trajectoires rectilignes et parallèles (n^ 91), proportionnels aux cosinus des distances zénithales du point de radiation.
De Texaraen des chiffres de la première et de la seconde ligne horizontale du tableau précéâent, on conclurait encore :
Que, pour les vitesses relatives initiales moindres que 3 kilomètres, et à mesure que ceUes-ci tendent vers zéro, les nombres de rencontres avec la sphère de rayon R, que peut voir un observateur, tendent vers l'uni formité ^ quelk que soit la distance zénithale du point de radiation.
Toutefois, comnie nous avons vu précéderamenl (n®21) que l'existence permanente de ces essaims à faible vitesse est peu probable, et que d'ailleurs (n® 27) à cause du déplacement du point de radiation dans le ciel on n'a pas dû reconnaître leur existence, nous en ferons abstraction dans ce qui suivra.
S n. - Lai de la frôquence des trajectoires lumineuses visibles.
97. — La loi du cosinus que nous venons de trouver ne serait applicable à la fréquence des trajectoires lumineuses, que si celles-ci étaient assez courtes pour qu'on pût les considérer comme des points. Voyons comment elle se modifie quand on a égard à la longueur de ces trajectoires.
On a conclu de mesures diverses, qui se rapportent en général, il est vrai, à des météores de première grandeur, que la hauteur est, en moyenne, de 120 kilomètres pour le point d'inflammation et de 80 kilomètres pour le
poiol d*extiacUoa. Supposons que, effectivemeut, les tra* jecloires lumineuses de tous les météores de première grandeur soient comprises entre deux surfaces de niveau ayant ces altitudes, 80 et 120 kilomètres, et pour simplifier nos déductions remplaçons, dans l'étendue des cercles de visibilité, ces surfaces de niveau par leurs plans tangents.
Soient (Fig. 28) 0 l'observateur, OZ la verticale du lieu, ab et ÀB les surfaces de niveau considérées, Oa et Oà les distances limites de visibilité des météores lors de leur passage par les plans ab et AB. Même en supposant que l'éclat intrinsèque des météores soit le même tout le long de leurs trajectoires, OA devra êlre plus grand que Oa; car, à cause de leur plus grande élévation au-dessus de l'horizon, l'intensité des rayons lumineux qui partent de A est moins diminuée par l'absorption atmosphérique, que celle des rayons partant de a. Et selon les valeurs des distances zénithales aOZ, AOZ et l'élal de l'atmosphère, le point A pourra être à droite ou à gauche de la verticale de a. Pour simplifier nous supposerons que cette verticale contienne non-seulement ce point A mais encore les extrémités a' des rayons de visibilité lels que Oa' correspondant aux surfaces de niveau comprises entre ab et AB.
Il résultera de là que l'observateur 0 verra , entièrement ou partiellement, tous les météores filants qui brilleront dans l'intérieur du cylindre AB6a, dont la base est le cercle de visibilité ab. (Nous indiquons par de gros traits rectilignes (*) les parties de trajectoires de ces météores qui sont visibles). Leur nombre est proportionnel à la section droite, bd, du cylindre dont les géné-
(*) Nous avons vu (n» 74), que la courbure de la trajectoire lumineuse est généralement insensible.
ratrices sonl parallèles à kd, direction des trajectoires, et qui enveloppe d'ailleurs le premier cylindre ABba.
Soient | celte section droite, et s la section oblique bc déterminée, dans te même cylindre, par le plan ab, section oblique représentée en projection au-dessous de la figure 28. On voit que cette section oblique se compose de deux demi-cercles, ayant des diamètres égaux à ab et séparés par un rectangle dont les côtés horizontaux sont égaux à ez.
Posons ab = /, Aa = Zz = e, eri eZz = Ç. On aura
f =:^COSÇ,
d'où
( = -j-cosÇ -+- eZsinÇ.
Cette équation se rapporte à une seule grandeur de corpuscules. Si Ton somme les équations analogues qui se rapportent à toutes les grandeurs visibles, on aura
(159) 2e = ^^2P + sinÇ2eZ.
Faisons , pour C = 0 > c'est-à-dire dans le cas de la radiation zénithale, ^ = ^o > nous aurons
Et comme sg et sEo sont respectivement proportionnels aux nombres n et N des météores que comptent, dans le même temps, les observateurs qui voient le point de radiation à des dislances ( et zéro de leur zénith, on aura
(160) ^=^=:cosÇ + sinÇx— .
En général — sera très-petit ; faisons donc
(*0I) —^ = sin;» et cos» = 1,
la formule (160) deviendra
— = cosçcos)» + sinÇsin» ,
ou bien
(162) ^ = cos(Ç-.).
98. — Les hypolhèses que Ton a faites pour obtenir cette formule diffèrent certainement de la vérité, mais pas assez, cependant, pour que la loi de fréquence des raéléores puisse différer notablement de l'expression à laquelle nous venons d'arriver. Et comme n sera toujours un petit angle (*), nous pouvons admettre que, quand le point de radiation ne sera pas trop voisin de Vhorizon, les fréquences seront simplement proportionnelles aux cosinus des distances zénithales,
