II
OÙ —,— , . . désignent des coefficients différentiels dt di
des éléments dépendant des forces perturbatrices, mais dont nous ne ferons ici aucun usage.
Le développement analytique du système 2), quand il s'agit de petites planètes, mène à des difficultés insurmontables quand on veut obtenir de la rigueur. On ne peut non plus obtenir, du moins immédiatement, une
intégration mécanique.
Il n'y a aucun obstacle à l'intégration mécanique d'une manière immédiate, lorsque l'on considère les équations des différences des deux systèmes.
Ces équations sont, en posant a? — op' = ï, ^ — »* = >?» z — z^ = Z,
-Spcos-QZ- (---)*«
Supposons pour le moment que la perturbation soit produite par une seule planète dont la masse soit m'A:^, x\ y', z^ les coordonnées, y' sa distance au centre d'at-
Ç| = P 008. QX
traction et p la distance de ia planète troublante à la planète troublée (1). On aura :
iP 008. QX = m'k' /^' — ^ £\ P COS. QY = m'A' (^^ - ^)
^Pcos.QZ = «'*'(5-)
Comme les quantités i, fi, ç sont ordinairement trèspetites, on peut écrire (2) :
-^ - — = A f!8r-Al.
(1) Soit S, le soleil centre commnn d'attraction;
là^, le lieu de la planète fictive dans son orbite elliptique ; H, le lien de la planète troublée,
M', le lien de la planète troublante, le tont an même temps U ^iors x^f y^, si^ sont les coordonnées de H^
SMo = ro SM = r SMr = r'
(2) On a, en effet, «' + y' + ;?» = (»« + Ç)» + (y<> + >?)' +
2 «o 2 w® 2 aro (a« + ç)2 d'où r — ro = 3r = ? + — ^— >» + ç
+ ' . si ^, »7, ^ sont petits, on peut négliger leur carre et
prendre — pour , on aura ainsi îr = — Ç + — - n + î-Ç.
î = I 3 — Sr — Ç I —
de manière que Ton obtient :
De sorte que les équations (5) et (i) contiennent la solution du problème, où il s*agit de trouver les coordonnées troublées, car les coordonnées elliptiques x^^ y®, z^ sont données.
Pour exécuter l'intégration mécanique il suffit d*avoir recours aux formules que nous avons données précédemment poHr les intégrations doubles. En prenant pour argument a^ a -f «<>» ^ + ^ »» etc., le tableau des différences est (1) :
(i) Voir le mémoire des quadratures.
Si l'on pose -~r = f {x), il en résultera ^^ f f f (x) dl^.
Comme x et f ne diffèrent que par une constante, on peut remplacer dt par dx.
fw
fia + u,)
f{a+io)
Avec la série f (o), /* (a + ») /* (o + 2 »), on forme une nouvelle série qui sera représentée par /et la somme de la somme par ''/> ce qui donne le tableau
ff/(a+a.)
Supposons maintenant qu*0 s'agisse de trouver ffix) dx depuis xc=a + 76» jusqu^à a: =s a + (« + i) •» et de même jTf (x) dx^ entre les mêmes limites. Je prends la constante telle que pour a? = a 4- i « on ait
— sodé même, pour la même limite, nous prendrons
Avec ces valeurs initiales ont obtient :
f{x) dx = «('/•(«+ « + 4-> -H"^
/ y -TV -r jy ^ 8760
nx)dx^ - *•' (4-["/'(«+'»)+"/'(«+»+*"»)i
et
Ainsi quand on prend pour » une quantité très-petite, les corrections deviennent très-petites , surtout étant
multipliées par les fractions -r—-, —-- , etc. , et on a
d*une manière très-approchée
Nous devons remarquer que pour la formation de "/*(« + *«) on n'emploie que les valeurs numériques
depuis f(a) jusqu'à f(a + i — 1. «), car on a
r{a + i'-^.) = ria + i |.«+Aa+t-M
Par conséquent, supposons que l'on ait trouvé les valeurs de la double intégration fff (x) dx^ (c'est-àdire, de Ç)» pour les temps t, t + r, t -^ 2r, ...A .+ (« — 1) Tf réquation ci-dessus donnera les valeurs
de S correspondante au temps t -j-ir (1). Alors on mettra cette valeur de $ dans la valeur générale de
2 y ce qui donnera une valeur très-approchée de
.^ pour le temps l+ tr, imr conséquent "/'(a+i«)
pour le temps t + + ^ ^^ P^^ ^"î^^ S P^^^ 1^ même temps. On continuera de la même manière.
Dans le calcul des coefficients différentiels — -— , on à
égard aux diverses puissances des masses dans Tévaluation des perturbations avec une rigueur telle qu*elle n^a presque jamais eu lieu.
En supposant que les valeurs de ^ ne varient pas
trop, on approcherait encore plus de la vérité si Ton prenait
En général on prendra une valeur approchée de f, d'après la marche de cette fonction.
P^ la simplicité des formules on peut voir aisément oommoit il {aiut procéder.
(i) Car noas atods tu qie "/ (a -1- t.*i) ne dépend qne de
/ (a -f t — i.«) et non pas de / (a -I- i.w).
Supposons que pour un temps arbitraire on ait les six éléments a% e^ û% t"*, if , m"", on choisit un intervdle
convenable r, et on calcule pour les temps V" — ^r,
r — ^ty <"" + *4*- f 9 los grandeurs suivantes» qu*il
faut regarder comme données, savoir : o;^» y^» ^^y r^^ x\ y\ z\ r» (1).
Ensuite on calculera, au moyen des équations (A), les valeurs des forces perturbatrices, en y faisant a?, y, a, égaux à afj y**, ;?**, et de même dans la valeur de p^z=:{af- xy+(y'-yy + (z' - zf.
. En regardant les coefficients différentiels -j-^, comme des fonctions de £ et de r, on est déjà très-près de la vérité si dans /* I « — -^ t | et /* 1 1 + "ÔTM ^^ P^^
-^ «.—.=: 0, ou, ce qui revient au même, si Ton
néglige {, vj, (. Par conséquent, par là, et au moyen de la double sommation, on a les valeurs approchées de
;, 17, i, pour i -f. — r. On calculera la valeur complètie de /*/ < -j- — T j, puis Ton obtiendra, ou moyen de
(1) Le calcul s'effectue au moyen des formules indiquées à la fm da mémoire.
ceWe dernière, la valeur de /" l < + -5- t 1 , ainsi de
suite. Par là on a déjà les valeurs de f, q, ç, correspon-
dant à r' + — T, <^ + — T, etc., avec une très-grande
approximation qui sera, le plus souvent, suflSsante. Si Ton veut atteindre la dernière rigueur, il faut emplojrcr ces dernières valairs de $, )?, ç, pour calculer or, y, z^ qui paraissent dans les équations (A), en nous servant des relations
En répétant ce procédé, on en déduira une série complètement rigoureuse des valeurs de $, 97, (, pour les
temps «^ + -g- *"' ^' + ^' '' + "2" ^' ^^^-^ ^'""^ ™^"'
nière analogue à ce que Ton fait avec les tables planétaires ordinaires pour obtenir les corrections des longitudes et des latitudes et des rayons vecteurs, avec cette différence que, dans les tables planétaires, ce sont les diverses combinaisons des anomalies moyennes des longitudes des deux planètes troublantes et troublées qui sont les arguments, tandis que dans nos calculs actuels c'est le temps qui est généralement l'argument.
n y a encore une autre différence qui consiste en ce que, dans les méthodes en usage, on donne les perturbations dans Torbite, de la longitude, de la latitude et du rayon vecteur^ tandis que dans noire méthode on assigne les perturbations des coordonnées.
Celte dernière diiïéreDce pourrait, sans difficulté, être mise de côté au besoin, car, à cause de la petitesse des perturbations, on peut considérer les variations comme des diiïérentielles et se contenter, le plus souvent, du premier coefficient différentiel. Au fait, cette dernière différence n'est nullement essentielle et n a pa^ besoio dëtre prise ultérieureoient en eonsidéraiioii.
Gomme appUcation numérique, et pour ess^er la raé^ thode sous le rapport de la commodité, j*ai choisi les perturbations de Yesta par Jupiter depuis 18S3, sept, i I , 0^. t. m. Paris, jusqu à 18S4, mai 21, 0^. t. m. Paris.
Les éléments de Yesta pour cette époque (f ).
M^ 2-29% 51', 50",8 / 1833. Sept. 41. 0». t^ m. Paris. ^r" 250% U', 37",4 l Equinoxe moyen de 1810.
Df" 102% 47', 14'%1 ) !• 7% 8', 26",5 f B% 5', 48",8 1^ 977'», 6452»
On a choisi un intervalle de 42 jours.
Au moyen de ces données on trouve les coordonnées
(1) L « longit.
M «a anom&Iie moyenne.
n ^ lûnf, dtt périhélie.
Ol b longit. du nœud asc%
t ea inclinaison de Torbite.
f s=t afc dont le sinus est égal à e
fjL sa mouvement moyen diurne.
rectangulaires de Yesla ainsi qi^e le logariUinoe du rayon vecteur.
0^. t. m. Ptns.
Xo
Ug. r«
4853. Aaât 21
— Od. %
•^ Dec. 20
-^ 4,8Ui4
I89i. FéT. »
^ Vus 49
