i^nf^ + AZ

dt dxx ' *

dont la première a pour intégrale

fEi-\ — ~ r fdx ( 1 + sin 2nx) sin x l/( ^ + 2/22)"\ cos a-j/ (£ + îtf)

+ ^ -— /j^(l + sin2/?o-)cosa-l/(--}-2/22)N\siu^l/(- •fcpA :

et par suite on obtiendra

r = *,coSJl/(! + m) + E,5in^(A + 2„-)|(r L I + £|« ).

Si l'on intègre à présent l'équation en Z, on aura

Z s (apsm/>x-\-bpcospx)e-<-b+ap2)', gp, bv et p, étant des quantités quelconques; et comme l'équation (10.) est linéaire et ne contient pas de terme indépendant de Z, il s'ensuit qu'elle sera satisfaite par une somme de termes semblables à la valeur de Z que nous avons déjà trouvée, pourvu que les constantes ap , bp , p, soient différentes. Et par conséquent l'intégrale complète de l'équation (10.) sera composé d'une suite infinie de valeurs semblables à celle que nous avons déjïi obtenue, pourvu que l'on change convenablement les constantes arbitraires.

Maintenant, puisque Z contient une infinité de constantes arbitraires, on pourra dans la valeur de y supprimer les deux constautes E, , Et , qui ne rendraient pas plus générale la valeur de Vl ; alors en faisant

El = E3 = 0, on aura nue valeur de y qui ne contiendra plus les fonctions

coso-|/(^-+2/za); sina-l/(-^- + 2n2).

Soit r le rayon de l'armille dans laquelle on suppose que la chaleur se propage; sa circonférence sera égale à 2r*7r, et il est clair qu'en exprimant par v la température d'un point dont la distance à l'origine est x, la valeur de v ne devra pas changer lorsque dans la formule qui exprime v on mettra ;r + 2rw, à la place de x: par conséquent il faudra, dans les valeurs de V, et de T7, , faire n = — , et p = — ; m et s étant deux nombres entiers positifs quelconques : on aura donc, en négligeant les puissances supérieures de S,

( . mœ . moc\ ~{b+'^7r)t , *Sf/ • sx , , sx\ & -(5+tt)*

Asm j-cos — Je K r ' -j- 2 ( as siu \- bs cos — )ùe K '

T / g—.Q \ T Vf

(. 2 m oc v 6r2-|-2om2Tir-2amV '

mais le premier terme (sin— + cos— Je ^ r ' de cette formule pourra

être compris sous le signe 2, puisque la valeur de m devra se trouver parmi les valeurs de s; et en faisant Sasz=Js, et §bs = Bs, on aura

I00 (^sin^ + ^cos^)*"^'