SUR LA THÉORIE DE LA CHALEUR

INTRODUCTION

.Lorsque l'illustre géomètre, qui le premier a découvert les lois de la propagation de la chaleur, s'occupa de cette théorie, les physiciens admettaient presque généralement, que le refroidissement des corps s'opère d'après la différence qui passe entre leur température, et celle du milieu environnant. Depuis cette époque MM. Dulong et Petit sont parvenus, pas des expériences délicates et variées, à découvrir la véritable loi d'après laquelle la chaleur se propage à la surface des corps. Cette loi remarquable, et entièrement différente de celle que Newton avait énoncée, paraissait devoir exciter l'attention des analystes, et les engager à connaître les modifications qu'elle introduirait dans les résultats du calcul: mais on a dû remarquer, que dans les recherches plus récentes qui ont été publiées sur la théorie de la chaleur, on partait toujours de la loi de Newton.

Lorsqu'il s'agit de températures peu élevées, on peut supposer sans erreur sensible, que le refroidissement s'opère d'après la différence des températures; mais il n'en est pas de même dans le problème général, et quoiqu'on ait cru que l'erreur ne devenait apréciable qu'à des températures très -élevées, déjà à la chaleur de l'eau bouillante, on commet une erreur de presque deux degrés du thermomètre centésimal, dans l'équation différentielle qui exprime le mouvement de la chaleur; et cette erreur qui affecte à la fois la valeur de l'inconnue, et la forme sous laquelle elle se trouve dans l'équation différentielle, doit devenir bien plus sensible dans l'intégrale, il est vrai qu'eu partant de la loi découverte par M. Dulong, les équations que l'on obtient ne peuvent plus être intégrées eu termes finis avec les méthodes connues; mais il ne paraît pas toujours permis dans les problèmes physiques de s'écarter de la nature, pour simplifier l'analyse qui sert à les résoudre: et d'ailleurs si une première approximation est suffisante pour les inventeurs d'une théorie, il faut que des recherches ultérieures rapprochent d avantage le calcul de l'expérience. C'est ainsi que

Newton ayant découvert le système du monde, il a fallu un siècle de recherches pour construire l'édifice dont il avait posé les fondemens.

Dans le mémoire que nous puhlions à présent, nous nous sommes proposés de déterminer le mouvement linéaire de la chaleur, en partant de la loi du refroidissement découverte par M. Dulong. On sait que cette loi se compose de deux parties, dont l'une exprime la perte de la chaleur, éprouvée par l'effet du rayonnement, et l'autre représente l'action du milieu. Or cette seconde partie est sujette à des variations qu'il est très -difficile de soumettre au calcul: pour y parvenir il faudrait connaître la théorie des mouvemens des fluides élastiques ; mais ce problème considéré dans sa généralité surpasse les forces actuelles de l'analyse. On a supposé, pour surmonter cette difficulté, que les corps dont on voulait connaître les chaugemeus de température, étaient soumis à l'action d'un courant d'air de densité et de température constantes, qui frappait tous les poiuts de leur surface avec une vitesse uniforme; mais il est aisé de voir l'impossibilité de vérifier en nature cette hypothèse, de manière qu'on ne peut tirer de la aucun résultat comparable à l'expérience. Pour rapprocher autant qu'il est possible la théorie de l'observation, nous avons dû considérer le mouvement linéaire de la chaleur, dans une armille de petite épaisseur renfermée dans un espace vide, dont l'enceinte est maintenue à une température constante. Ce problème conduit à une écpiation aux différentielles partielles qui n'est plus linéaire, et qui contient la variable principale sous la forme d'exponentielle. Il n'est plus possible dans ce cas d'intégrer directement l'équation trouvée, et il faut recourir aux méthodes d'approximation. On ne connaît pas de méthode pour intégrer par approximation les équations aux différentielles partielles : on peut à la vérité exprimer leur intégrale en séries, et l'on parvient, à l'aide du théorème de M. Fourier, à sommer ces séries lorsqu'elles dérivent d équations linéaires à coé'fficiens coustans; mais lorsque la série est trop compliquée pour pouvoir en obtenir le terme général, il est impossible de juger de sa convergence, et le problème reste sans solution. Nous saxons tâché d'appliquer aux équations aux différentielles partielles, la méthode d'approximation dont on se sert pour les équations différentielles ordinaires. On sait que pour intégrer les équations différentielles qid expriment les mouvemens des corps célestes, on fait usage de la méthode d approximation successive, à laide de laquelle on les réduit ù un nombre iudé-

fini d'équations linéaires; mais il arrive que chaque intégration introduit des arcs de cercle qui détruisent l'effet de l'approximation. Les plus grands géomètres ont taché de vaincre cette difficulté, mais les méthodes qu'ils ont inventées, quoique très - ingénieuses , deviennent souvent impraticables à cause de la longueur excessive des calculs qu'elles demandent. Et d'ailleurs il est très - difficile de s'assurer, que parmi les termes qu'on néglige il n'en existe aucun qui devienne sensihle au bout d'un tems très -long: de telle manière que ces méthodes exigent presqu'autant de sagacité pour les appliquer, qu'il fallait de génie pour les découvrir. Toutes ces difficultés paraissent devoir se retrouver dans les équations aux différentielles partielles; cependant si au lieu d'intégrer complètement la première des équations linéaires que nous avons obtenues, pour prendre des intégrales particulières des autres, comme on le fait pour les équations différentielles ordinaires, on commence par prendre des intégrales particulières, des premières équations que l'on veut considérer, et que l'on n'intègre complètement que celle à laquelle on veut arrêter l'approximation, on obtiendra le nombre de fonctions arbitraires qui est nécessaire pour satisfaire à toutes les conditions du problème, et on sera assuré, comme on le démontre directement, de pouvoir éviter toujours les arcs de cercle. Nous avons effectué le calcul que nous venons d'indiquer, sur les deux premières équations linéaires que fournit le problème, et nous avons trouvé une formule qui se compose de celle que M. Fourier avait déjà donnée, et d'un terme de correction multiplié par une petite quantité. En embrassant un plus grand nombre d'équations, on trouverait la même expression, plus des termes multipliés par les puissances ascendantes de la petite quantité par rapport ù laquelle on a développé. La méthode que nous venons d'exposer, peut s'appliquer à l'intégration par approximation dune classe assez étendue d'équations aux différentielles partielles ; mais ces recherches ne sauraient trouver place ici, et elles formeront le sujet d'un mémoire particulier. Parmi les nombreux corollaires que M. Fourier a déduits de son analyse, il en est un fort remarquable qui prouve, qu'après un tems considérable la demisomme des températures de deux points diamétralement opposés dans l'armille, forme toujours une quantité constante, et égale a la température moyenne. Ce résultat a été confirmé avec assez de précision par 1 expérience, et il était intéressant de voir comment on tirerait la même conséquence de la loi découverte par M. Du Ion g. En partant

— Iode la température donnée par notre formule nous obtenons le même théorème, et nous démontrons qu'il dérive également de l'hj-pothèse de Newton, et de la loi observée.

En supposant le refroidissement proportionnel à la différence «les températures, on trouve qu'en plongeant l'extrémité d'une barre de petite épaisseur dans une source constante de chaleur, lorsque l'équilibre des températures se sera établi, la distribution de la chaleur dans la barre pourra être exprimée par une courbe logarithmique. Si l'on part de la loi observée, on obtient une équation diiFérentiellc qui n'est plus linéaire, mais qui peut cependant s'intégrer, et dont l'intégrale fait voir que ce n'est que pour des températures très -peu élevées, que l'état permanent de la barre peut se représenter par une courbe logarithmique: lorsque la chaleur augmente, cet état dépendra d'une transcendante elliptique, et en général il sera donné par une transcendante d'une ordre d'autant plus élevé, que la température sera plus grande.

L'intégrale de l'équation différentielle, qui exprime l'état permanent des températures dans une barre très -mince, n'est propre qu'à donner les températures d'une partie de la barre comprise entre deux foyers successifs: cela est évident dans le cas du mouvement linéaire, et tient à ce que l'équation différentielle que l'on a trouvée, ne se vérifie pas aux points qui servent de foyers. Mais lorsqu'il s'agit d'un corps d'une figure quelconque, qui a été échauffé primitivement par plusieurs foyers situes «i sa surface ou dans son intérieur, il devient difficile de séparer les diverses parties du corps, pour chacune desquelles l'intégrale que la théorie fournit doit se vérifier, et de déterminer les limites au delà desquelles elle donnerait une valeur fautive. Le corps se subdivise alors, par rapport à son état calorifique, en d'autres corps dont les surfaces de contact jouissent de la propriété du maximum, ou du minimum de température. La détermination de ces surfaces - limites conduit à trouver un grand nombre de propriétés importantes dans la théorie de la chaleur, comme nous le montrerons dans une autre occasion.

Lorsqu'on cherche à connaître le mouvement de la chaleur dans un corps, on exprime la température d'un point donné eu fonction de ses cordonnées , et du tems écoulé ; mais pendant que le corps s'échauffe ou se refroidit, toutes ses molécules se déplacent à cause du changement de volume produit par les variations de la température. On a négligé jusqu'à

présent, clans la théorie mathématique de!la chaleur, l'altération du volume des corps; mais ce phénomène, le plus remarquable et le plus constant de tous ceux qui dépendent de la chaleur, ne nous paraît pas de nature à être négligé. En considérant les dilatations linéaires, nous donnons la formule de correction, qui doit servir à déterminer les coordonnées du point dont on connaît la température.

Nous n'avons traité, dans ce mémoire, que les cas les plus simples de la théorie de la chaleur; mais nous nous proposons de reprendre ce travail dans la suite, et d'appliquer notre analyse à des questions plus compliquées.

ANALYSE

Si l'on renferme une armille circulaire homogène de petite épaisseur, dans une sphère creuse, qui ne contienne ni air ni aucune autre espèce de gaz, de manière que le centre de l'armille coïncide avec le centre de la sphère, et si le rayon de celle-ci est beaucoup plus grand que le rajron de l'armille, les parois de la sphère étant d'ailleurs entretenues à une température constante quelconque, il résulte du principe de la communication de la chaleur, et de la loi du refroidissement découverte par M. Dulong, que le mouvement de la chaleur dans l'armille sera exprimé, à très -peu près, par l'équation

dv adzv . , v .s ...

dt dx~ ' w ' '

dans laquelle v exprime l'excès de la température du point que 1 on considère, sur la température de l'enceinte ; x représente la distance, comptée sur l'armille même, de ce point à l'origine des coordonnées; t est le tems écoulé depuis que l'armille a abandonné l'état initial des températures; et p, a et c, sont des constantes dont la première a pour valeur f(l, 165), et les deux autres se déterminent par l'expérience dans chaque cas particulier. En effet, l'équation que M. Fourier a trouvée, en supposant que le refroidissement s'opère d'après la différence des températures, est de la forme j., n(ji,,

»■ £-T^ + Cu = °> et en y substituant au lieu de Cv, le terme c(pv — 1) qui exprime la loi du refroidissement dans le vide, d après les expériences de 31M. Dulong et Petit, on aura l'équation

8dv ad*v , , „ .. • 77-lT^ + c(P-V = 0,

que nous avions déjà indiquée.

Avant daller plus loin, il convient d'examiner un résultat que l'on a obtenu en faisant v = t-r/ u dans l 'équation (7.) ; car par cette substitution elle se transforme dans la suivante

du ad2u

77 dx2 '

qui est la même équation (7.) dans laquelle on a supposé qu'il n'y avait aucune déperdition de chaleur à la surface; d'où il résulte que dans Tbypothése de Newton, le refroidissement qui s'opère ù la surface ne change pas la loi de la distribution de la chaleur. Mais comme il n'est pas possible d'effectuer une réduction semblable sur l'équation (8.), qui dérive de la loi observée, il faudra admettre qu'en nature, même dans le mouvement linéaire, la distribution de la chaleur est troublée par l'effet de la déperdition qui a lieu à la surface.

Maintenant si l'on fait logp — S, l'équation (8.) prendra la forme

d v ad2v. -s, .,

dï-ir^ + <e t-1) = °»

l'exposant S = ï^IogOrsIê) étant une très -petite quantité; et si l'on développe en série l'exponentielle dans cette équation, on aura

dv ad2v , , , cô2v2 , cô3v3 .

d7-T*- + c^ + T3- + rx3 + etc- = °»

et par suite , en faisant c S = b , on obtiendra

dv ad2v . , . bdv* , b32v* ,

dï--d^-+ hv +T^- + r^3 + etc- = ^

Si l'on fait à présent

v = V+ IVX + S2 V7 -f Pr3 4- etc., et que l'on substitue cette valeur dans l'équation précédente, en ordonnant le résultat par les puissances ascendantes de $, on trouvera

+ s' &- ^ + " *, + «r* + rrJ + * ■

et en égalant â zéro séparément les coëfficiens de chaque puissance de S, on aura les équations

dt dx* ' '

dt

dr2 a£r1 + bF +bFF ,±ZL = 0,

~dt dx* ^°y^0yy^\.2.Z U>

etc.,

dont le nombre sera déterminé par l'exposant de la plus grande puissance de £, que Ton veut considérer.

En intégrant la première de ces équations, on obtiendra la valeur de V qui étant substituée dans la seconde équation, servira à déterminer V et ainsi de suite, en introduisant dans la dernière équation les valeurs des inconnues déduites des équations précédentes, on déterminera une nouvelle inconnue. Mais il faut observer, qu'au lieu de prendre l'intégrale complète de la première équation, pour la substituer dans la seconde, et puis intégrer complètement celle-ci, pour substituer encore la valeur de l'inconnue daus la suivante, et ainsi de suite, on pourra exprimer

par des intégrales particulières, et Sn étant la dernière puissance de 51 que l'on veut considérer, il suffira d'intégrer complètement l'équation multipliée par S", qui comprendra les différentielles de Vn et les quantités connues y yif yzi . . . . yn x\ car l'intégrale complète de cette équation, contiendra toutes les fonctions arbitraires, qui sont nécessaires à la résolution générale du problème.

Supposons par exemple que dans l'équation (9.) on veuille avoir égard à la première puissance de # seulement, et négliger toutes les autres; on aura les deux équations

dans la première desquelles on prendra une valeur particulière de V, pour la substituer dans la seconde équation, que l'on devra intégrer complètement. Maintenant, on sait que l'on satisfait à l'équation

*K^£*fl bV = 0,

dt dx* ~ '

en faisant V = (sin/2^ + cos/2^)e-(6+nnî)', n étant une constante indéterminée. Si l'on substitue cette valeur de V dans l'équation

on aura

ut

àVx

ii;i -j- b Vx + — (sin n x + cos n x)2 e~*h+an* >' aJl£x + A f> + ft ( 1 + sin 2 n x) ****.*» . 0

et eu faisant ri=je-2(S+°",)( + 2 (j étant fonction de x seulement, et Z fonction de x et de t), on obtiendra, après avoir divisé par e~2{b+"n*),i

, ad2y , h .. , . „ . dZ , ad2Z , r? „

2{b + on*)y + 1[^ — br— (l + sin2/io-)— — + --, AZ = 0,

et si l'on égale à zéro séparément les termes qui contiennent Z, on aura, après les réductions, les deux équations