V = < ^mx

V 2 u V>r4+2ama ~ bri—2am*/ et cette formule exprimera le mouvement de la chaleur dans l'armille. Pour déterminer la fonction arbitraire ou, ce qui revient au même, la série des termes

Bx, Bi9 B,, Bs, etc.,

on devra faire t = 0, et on aura v égal à la température initiale, que nous exprimerons par la fonction f(x), et qui étant développée en série suivant les sinus et cosinus des multiples de l'arc — servira pour déterminer les coé'ffieiens.

Si dans la formule (11.) on fait <5' = 0, on obtiendra l'expression que 31. Fourier a trouvée le premier en partant de l'hypothèse de New-

ton. Pour déterminer m, on devra prendre le nombre entier le plus petit qui ne satisfait pas à l'équation

br*±2am'i = 0, puisqu'on aura de cette manière la valeur la plus approchée, et on sera assuré de ne pas rencontrer des arcs de cercle qui détruiraient l'effet de l'approximation. Lorsque les conditions du problème permettront de faire m — O. le terme de correction, pour la première approximation, se ré- «luira à — -o-^"***' et on *roirrera l11*3 ce terme est indépendant des coordonnées, et qu'il ne dépend que du tems.

On a vu qu'en faisant J?1 = £2 = 0, on obtenait

b ( cosx]l[2n2 + ^)J>dx{i^sm2nx)smx]/{2ni-\-^)\

2a y(^ + 2n2) )— sinx]/(2n* + ^)Jdx(l+sm2nx)<nsx]/(2nt+±;)\

~ 2 \b-\-2an1 f" b — '2an*)

de manière que les fonctions cosa-f— -f- 2n-), sin a? y ( |-2/fj, s'évanouissaient d'elles-mêmes dans le calcul: il était nécessaire que cette réduction pût s'effectuer, autrement la température v ne serait pas restée la même en changeant x en x-\-2rrny dans la formule qui la représente. Cependant cette réduction, qui a paru un résultat de calcul, aura toujours lieu quel que soit le nombre des puissances de S que fou considère; en effet on a toujours l'équation

cos ax J dx(p (x) sin a x- — sin ax ldx(p (x) cos a x z= — L^— -[cosax / ax — -*— — sin «a- — smax / dx — / , cosc.r)

a aM J dx* J dx1 I

{-vf i r, d*p.(p(x) . . r, dzp.cp(x) \

= ^ — — - [cosax f d x ~— smax — smax I dx — r^n cos ff-r)

a*P \ J dxzP J dx-P I

cp(x) . d'.tpfx) d*. cp (x) (— 1)P d2p-2.(p(x)

a "*~ a^ix* a*dx* ' ' ' ' ' aV~l dx-P~2 '

qui montre, que si entre <P(x), et — r aîr~ on Peu* avoir une équation de

la forme M$(x) = ' (p— , M étant une quantité constante, on pourra toujours avoir