p(x,y, z, . ... etc.) — pu

dans laquelle (p exprime une fonction rationnelle et entière quelconque des nombres entiers x, y, z, . . . . etc., et u doit être ' un nombre entier. Il est clair que s'il existe des valeurs de xy y, s, . . . . etc. plus grandes que p, qui résolvent l'équation proposée, il y en aura aussi d'autres qui seront comprises entre zéro et p s et ce seront ces dernières que nous considérerons toujours dans ce qui suit, à moins que nous n'indiquions spécialement le contraire. A présent l'on sait que l'équation (14.) équivaut, d'après la notation de M. Gauss, à la congruence

Ç(x, y, z, ... . etc.) = 0 (mod. p).

En supposant, pour simplifier le problème, que cette congruence se réduise à la forme

X = xm -f Ax xm~' -f Az xm-i . . . . + Am x x + Am~0 (mod. p), (les coefficiens Ax, A„, .... Am étant toujours des nombres entiers et p étant un nombre entier) si elle a une racine entière x ■=. c, , on pourra toujours la mettre sous la forme (x — c,) X, = 0 (mod. /;), A, étant un polynôme entier en x du degré m — 1 '; il résulte de là que la congruence XisO (mod./?) ne peut avoir, tout au plus, qu'un nombre m de racines entières moindres que p, m étant le nombre qui exprime le degré du polynôme Xj et que si elle a les m racines entières

ait c3, a3} . . . • o,,,, on pourra faire

X = (x— cj (x— O (x— a3) .... (x— am) == 0 (mod. /j), et on aura les congruence»

°. + °* + a» + <*m = — A, (mod. />),

°i«î + aiai + °i "m |

+ o2 Oj + oac4 + °z am | = -f A2 (m0(J. />),

. + etc. )