t alalaz-\-alalai

J + alaîai-\-a2aiai + o,oiom> = — As (niod./>),

+ etc.

Ox os o3 °m = ± ^m (mod. />).

Dans cette dernière cougrnence il faudra prendra le signe -f- si m est un nombre pair, et le sigue — si m est un nombre impair.

Pour trouver la somme des puissances /•"" des racines de la congruence X=0 (mod. p), on aura des formules semblables à celles que l'on obtient pour les équations algébriques ; car en appellaut Pr , P^, 5 p > etc., la somme des puissances r""'5, (r — l)m's, (/• — 2)'nri, etc., de ces racines on aura

Pr + A, Pr, + Az Pr 2 . . . . + r Ar = 0 (mod. p). On peut de la même manière transformer les congruences et obtenir leurs fonctions symétriques. En général étant proposé de trouver une fonction symétrique donnée <p, des racines de la congruence X = 0 (mod./?), qui ù toutes ses racines entières, on eberebera la même fonction symétrique dans l'équation X = 0, et en exprimant dans l'équation la valeur de cette fonction par <p = S , on sera assuré que pour la congruence

<P = S (mod. p).

Soit maintenant proposé de résoudre la congruence xp — x = 0 (mod. p\ dans laquelle p est un nombre premier. Si l'on cherche une transformée en y dont les racines surpassent de l'unité celles de la proposée, on aura y = x -{- 1, et partant x=y — 1; d'où l'on déduira (>— l)p-(y-l)=0 (mod./») et par suite, en négligeant les multiples de p,

yv. — y = Q (mod./)).

Mais comme cette dernière congruence est identique avec la proposée, il en résulte que celle-ci ayant la racine x= a, aura de même la racine x ■= a-\- i} et par conséquent l'autre x = a -\- 2 : et qu'en général ello

sera résolue par toutes les valeurs de x de la forme a + z; z étant un nombre entier positif quelconque : et puisque en faisant x = 0, on satisfait à la congruence proposée, elle aura pour racines tous les nombres naturels. Par conséquent la congruence

x?'-\— 1=0 (mod. />), aura pour racines tous les nombres 1, 2, 3, . . . . p — 1; ce qui forme le théorème de Fermât.

La congruence

^- — 1 =0 (mod./)),

dans laquelle p est un nombre premier, étant comparé à l'autre .

xm + Ax xm~l + A2 xm~2 .....+ Am x x+Am = Q (mod. p),

que nous avons déjà considérée, donne

Ax = 0, A2 = 0, . . . . Am x = 0, Am =— 1;

m = p — - 1 ; «x = t; o2 == 2, . . . . am = p— 1 ;

et par conséquent , en substituant les valeurs des racines o, , a3 , az , ...

... cm, dans les congruences (15.), on aura

1 + 2 + 3 + p — 1 =0 (mod./j),

+ 2. 3 + 2.4...... + 2.(/7— 1)J = 0 (mod./)), .

+ etc. )

etc.

et enfin