mod

puisque p — 1 est un nombre pair'*). Cette dernière congruence équivaut

au théorème de Wilson.

Si l'on voulait trouver un nombre z tel qu'en faisant le produit de tous le»

nombres inférieurs à /; (/; étant un nombre premier) moins le facteur g, on eût

1 . 2 . 3 . . . . (ff— 1) (g- + 1) . . . . (p — 1) + z = 0 (mod. p),

on devrait chercher à déterminer les coefficiens de la congruence

X?-- + a x?-* + (ix^~* + z = 0 (mod. p),

qui a pour racines tous les nombres entiers inférieurs à p, excepté le

nombre g: ù cet efîét on divisera la congruence

xP-1— 1 = 0 (mod./>)

par x — g, et le dernier terme du quotient sera le nombre z.

*) Si le nombre premier p était égal à 2, p — 1 ne serait plus un nombre pair; mais alors on aurait identiquement

1+1 = 0 (mod. 2)

En effectuant la divison l'on trouvera

et puisque g7*"' — 1 = 0 (mod. p) , on obtiendra

^=^ = x^ + ffx^3 + gr*x + gr* = 0 (mod.,,),

en partant

1.2. 3.. ..(S"— 1) (5-H- 1) 0 — 2) (p — l) + gi>-* = 0 (mod.^.

En faisant dans cette congrueuce ç= 1, on retrouve le théorème de Wallon qui est un cas particulier de celui-ci.

On pourrait déduire de là tous les théorèmes que M. Gauss a insérés dans la troisième section de ses Recherches arithmétiques, et beaucoup d'autres propositions nouvelles. Si l'on prend, par exemple, la somme des puissances nmei 'des racines de la congrueuce

xp-' 1 = 0 (mod. p), on trouve que, p étant un nombre premier, on. aura toujours

1 + 2^ + 3^ +(/»— 1)"S= 0 (mod.,/),

lorsque n n'est pas dhisible par p — 1; tandis que si n est uu multiple de p — 1, on obtiendra

1 + r + y + (p- if == — 1 (mod. P).

M. Poiusot a démontré que les racines de la cougruence xn— 1 =0 (mod. np + 1), dans laquelle np-\-l est un nombre premier, se déduisent des racines de 1 équation x" — 1 = 0, en ajoutant des multiples de np-\-i sous les radicaux compris dans L'expression de ces racines: mais cette proposition n'est qu'un cas particulier d'un théorème plus général que nous allons démontrer. En effet la congruence

*" -f Ax xr~l + Ari, x + AM = 0 (mod. p),

dans laquelle p est un nombre quelconque, équivaut ù l'équation à deua inconnues

xn + ax *»- ..... + ^u * + (A-py) - 0,

dont les racines sont exprimées par une formule de la forme x = <p (A, , A% , An x, An — py\

qui se réduit à l'expression des racines de l'équation

xn-\-AiX"~l + An xx+ A„= 0,

lorsquon y fait y = 0. Si donc vice -versa Ion ajoute des multiples de

p sous les radicaux compris dans l'expression des racines de cette équa-

tion (en écrivant partout An — py, au lieu d'Jn), ou aura les racines de la congruence proposée.

En applicpiant aux congruences ce que nous avons dit en général des équations à plusieurs inconnues en nombres entiers, on trouve que toutes les solutions iuégales et moindres que p de la congruence

<P (x, y, s, etc.) = $ = o (mod. p),

sont comprises parmi les racines des congruences

X = x\x— l)(a?— 2) O — (/) — 1)) = 0 (mod./)),

Y = y (y— 1) (y - 2) (y — (p — 1)) == () (mod. p),

Z = z(z—l)(z—2) (z—(p—l)) = o (tnod./>),

etc.;

et qu'en éliminant toutes les variables entre les cou^gruences <I>=0 (mod./)), X=0 (mod./;), Z=0 (mod./)), Z ee?0 (mod. p), .... etc., on obtiendra une congruence de condition qui devra être satisfaite afin que la congruence proposée soit résoluble: de manière qu'au lieu d'avoir l'équation de condition C = 0, comme pour les équations, on aura la congruence de condition C = 0 (mod. /)) , et l'expression qui aurait dû se réduire à zéro dans le premier cas, devra être divisible par /; dans le second. Lorsque p est un nombre premier, la question se simplifie beaucoup, car par le théorème de Fermât on aura

x(x — \){x — 2) (x — (/) — 1)) = xp — x = 0 (mod./)),.

y(r— i)(r— 2) (y— (/>—!)) = yp — y = o (mod./)),

z(z — l)(c— 2) (z — (/> — 1)) = zp — z =0 (mod./)),

.... etc.,

et l'on devra éliminer les inconnues entre les congruences

$ = 0 (mod. /)) , xp — x = 0 (mod. /;), yp — y = 0 (mod./)),

zv — c=0 (mod./)), etc.,

pour avoir la congruence de condition.

Si dans la congruence

0 = 0 (mod. p) on cherchait seulement les racines différentes de zéro, on devrait éliminer les inconnues entre cette congruence et les suivantes xv~l— 1 = 0 (mod./)), yP1— 1 = 0 (mod./).), s7"1— 1 =0 (mod./)), .... etc., et comme les racines congrues à zéro peuvent se trouver séparément avec facilité, nous supposerons, dans ce qui suit, que l'on cherche les racines différentes de zéro; ce qui simplifiera beaucoup nos recherches.

Il est clair, d'après ce que nous avons démonti-é sur les fonctions symétriques des congruences, qu'étant proposé d'éliminer les inconnues entre les congruences

<î> = <p (x, y, z, etc.) = 0 (mod. /;),

*, = frfa Y,*» etc.) = 0 (mod. p),

®2 = <Pz(x, Y, ~> etc.) = 0 (mod. p),

etc. ,

on pourra effectuer l'élimination entre les équations

<D = 0, O. = 0, <ï>2 = 0, etc.,

pourvu qu'au lieu de léquation F = 0, qui résultera de cette élimination. oa écrive F = 0 (mod. p).

Pour faire quelques applications de ce principe, soit proposé de résoudre la congruence

Ax + B = 0 (mod./>); il est évident que si A et p ont un facteur commun, qui ne divise point V. cette congruence ne pourra pas se résoudre; et comme lorsque ce facteur commun existe et divise Bt on peut toujours l'ôter, on pourra supposer que A et p sont premiers entre eux ; et en faisant x = B s, on aura

B(Az+l) = 0 (moà.p); et il faudra* résoudre la congruence

Az-\-\ = 0 (mod./;).

Maintenant si l'on décompose p dans tous ses facteurs premiers, égaux ou inégaux, de manière que l'on ait

p = a .b.c nf

on devra résoudre la congruence

Az 4-1 = 0 (mod. a .b ,c «),

qui se change dans la suivante

Ay — 1 = 0 (mod. a ,b .c «),

en faisant z = — y.

En considérant la congruence

A y — 1=0 (mod. a), il faudra éliminer entre celle-ci et la suivante ya l — 1= 0 (mod. «), qui

équivaut à l'autre

A"-1 y"-1— 1=0 (mod. o);

puisque par supposition a est un nombre premier qui ne divise point A:

alors en divisant Aa~x y°~2 — 1, par A y — 1, on obtiendra un quotient

exact; doù l'on déduira que la congruence

Ay — 1 = 0 (mod./>), est résolue en faisant

y ss JT* s*-1 = Yx ;

eu indiquant par s un nombre entier quelconque: on trouvera de même que toutes les congruences

Ay — 1 = 0 (mod. b), Ay — 1=0 (mod. c), ...... etc.,

seront résolues en faisant successivement

y = Ab-* tb~l — T2 ; y = A™ ue~l = F3 ; etc.

11 résulte de là que la congruence

(AT1 — i)(ATa/-rî)(AYi^i) . = 0 (mod.o.ô.c n),

et par suite l'autre

Y = (AT, — l)2 (AY2— lf (AY, — l)5 = 0 (mod. p),

seront toujours satisfaites: mais la valeur de Y étant composée d'uu nombre pair de facteurs, pourra se réduire à la forme

Az-\-l = 0 (mod./;); et puisque cette congruence est résoluble, ' l'autre

Ax-\- B ~ 0 (mod./)), le sera de môme, et on aura

a- = 4 ((^a-1 s°-l — iy-(Ah^ th-1 — 1)? (jPJ v^ -il)1 — 1),

pour une de ses racines; en observant que l'on peut prendre pour syt, . . . . . . v , des nombres entiers quelconques. Eu général toutes les solutions possibles de la congruence proposée seront données par la formule

dans laquelle u est un nombre entier quelconque.

Soit proposé maintenant de résoudre la congruence du second degrd x~ -\- r/x -\- r = 0 (mod. 2 p -f- 1) , 2/>4"l étant un nombre premier; il est clair que si elle a une racino x = A, il y en aura une autre x = B~ — q — A, et partaut si elle est résoluble il faudra qu'en divisant xv' — 1, par x1 -f- ç x -j- r , le reste soit divisible par 2/>-j-l. A présent on doit remarquer que si a et (3 sont les deux racines de l'équation

on aura

et par .conséquent

â' + qx + r == (or— «)(x— p) " {§— «)(x— /»)"*■ {a— p) \x—èif En effectuant la division, on trouvera généralement

a^ + gx + r ~" (fi— a, (x — fi) ~ {a — fi) (x — a)

= ^+^>+^.... + ^ + ^(ê^) + ^{-ÇEl),

les coefficiens u4t1 J^, .... etc. étant toujours des nombres entiers. H faudra, par conséquent, qu'en réduisant les deux derniers termes au même dénominateur, la quantité

qui sera le reste de la division, soit divisible par 1p — 1, et partant fpv—eflf\ //J«p-» «v-»v .a — fi ...

d'où l'on déduira les deux congruences de condition