fc^=0(mod.2H-l); aP^~^-)+l==0 (mod.2/>+l
On voit ici qu'après avoir effectué la division par (3 — a, les premiers membres de ces deux congruences pourront toujours s'exprimer ù l'aide des quantités (/ et r, puisqutils ne renferment que des fonctions symétriques des racines « et (3: et d'ailleurs il est clair que l'on pourra toujours substituer au lieu de a et (3, les quautités . .
— ç-fVY?»— 4r) — ?-y(y— 4r).
Si 8ans la congruence
x2 + çx + r=0 (mod. 1p -f- 1), on fait 7 = 0, r= — *; on devra dans les congruences (16.) faire a-{-3 = 0, et partant a = — (3 ; mais l'on a aussi (3 = />, a = — /"«?, (3 — a = 2 /"j, |3« = — •?; par conséquent les deux congruences (16.) se réduiront aux suivantes
^=^-P = 0 (mod.2,+1); -sfs {f^Ç) + 1 = 0 (mod.2/>+l);
dont la première est toujours satisfaite, et la seconde se réduit ù l'autre
17. *p — 1 = 0 (mod.2/j + l); qui est la condition déjà connue pour la résolution de la congruence
x1 — s == 0 (mod. 2/j + 1).
Soit proposé, par exemple, de trouver la condition qui doit être satisfaite aOn que la congruence x*-\- L =0 (mod. '2p-\-î)y dans laquelle On-J-1 est un nombre premier, soit résoluble; on devra faire <s = — 1, dans la congruence de condition (17.), et on aura
(l)p— 1 == 0 (mod. 2/> + l); ce qui- montre que p doit être un nombre pair.
En appliquant aux congruences du second degré les mêmes principes dont nous avons fait usage pour résoudre celles du premier degré, on pourrait trouver la résolution générale de la congruence
x2 + yx -\~ r — 0 (mod. p), dans laquelle p est un nombre quelconque, pourvu que l'on connût tous les facteurs premiers de p.
Eu général étant proposée une congruence d'un degré quelconque
A — x" + «, V~l + at xn~2 + «M x -{- an = 0 (mod. p),
dans laquelle p est un uombre premier, on divisera x1^1 — 1 par A (en faisant usage de la même méthode dont nous nous sommes servis pour les cou"ruences du second degré) et on obtiendra un reste de la forme
A, — K xn-x -f bx x"'2. + V-i *'+ bn •
Maintenant si la congruence proposée a n racines entières, on devra avoir les n congruence de condition
ôj = 0 (mod. p), b2 = 0 (mod. p), bn = 0 (mod. p),
et on sera assuré que si elles sont satisfaites, la congruence A = 0 (mod./>), aura toutes ses racines entières; mais si cette congruence n'avait qu'un nombre n — m de racines entières, alors on devrait chercher de nouveau le plus grand commun diviseur être A' et A, , et on trouverait enfin pour reste une congruence de la forme
A2 = ct x"-™-1 + c2 xn -"'-* +^ = 0 (mod. p),
qui donnerait les congruences de condition
ct == 0 (mod. p), ca = 0 (mod. p), ' c„m == 0 (mod. p),
dont le nombre sera toujours égal au nombre des racines entières de la congruence proposée. On voit par là que la résolution d'une congruence du degré «, qui n'a que n — m racines entières, se réduira à la résolution d'une congruence du degré n — m, en cherchant le plus grand commun divisenr entre A et xp~l — 1 .
Soit proposé, par exemple, de résoudre la congruence xa — b == 0 (mod. ap -\- 1),
dans laquelle ap-\-\ est un nombre premier, on dirigera xap 1 par
x" — b, et on trouvera un quotient N et le reste bp — 1; d'où il résulte que si la congruence
18. Ap— 1=0 (mod. ap + 1) est résoluble, la congruence proposée aura toutes ses racines entières.
Les deux congruences de condition (17.) et (18.) avaient été trouvées par Fermât, n>ais avec sa méthode on ne pouvait pas trouver les conditions qui devaient être satisfaites, lorsque les congruences proposées n'étaient pas binômes: ce qu'on peut toujours effectuer par les principes que nous venons d'exposer.
La congruence de condition (18.) montre que la congruence
x3 — l = 0 (mod. 6/;+l),
a toujours trois racines entières lorsque 6p-\-l est un nombre premier;
mais comme il est évident qu'une de ces racines est x = 1 , on pourra
diviser par x — 1 , et on obtiendra la congruence du second degré
x2-{-x-\-l = 0 (mod. 6/>+l), qui aura ses deux racines entières; il faudra par conséquent que les deux congruences (16.) soient satisfaites quand on substitue pour « et 3 les deux racines de l'équation x" + x -f- 1 = 0, et que l'on change 2p-\-l en 6/j-j-l. Maintenant on a
P=-l(l + Vr(— 3)); « = 4(i/-(-3));
fîfp c/'P
et partant, la congruence R — = 0 (mod.6/?-(-l) deviendra la suivante:
2Fv\=3} (C1 + v"(-3))6"- (1 - /-(-3))60 = 0 (mod. 6/> + 1), qui donnera en développant
li6pV(-3)-§E^L> ,3-^fgI2-W3) -r Wf W-3),3Helc,
et par conséquent
19. 6P 6Py )(6p-q 3 + 6P(6P-l)r6p-2)(6P-3)(6p-4) ^ 3,^ ^ Q (mo(J ,p+t)
Si l'on substitue les valeurs de a et 3 dans la congruence
"Pl-^lf") + * — ? <m0(1' 6^ + 1)? "
on aura, après avoir développé, la congruence
Les deux congruences (19.) et (20.), que nous venons de trouver, et qui doivent toujours être satisfaites en même teins, lorsque 6/)+l est un nombre premier, renferment un théorème exclusif et assez curieux, sur les nombres premiers de la forme 6/j + I.
A présent si l'on effectue l'élimination de 6p, entre la congruence 6- Mgr y ) , 3 -f 6p(6p-l)f6p-2)(6p-3)(6p-i) ,3, -etc. = 0 (mod 6p+l);
et l'autre, qui est toujours résoluble:
6/j-j-l = 0 (mod. 6/9+I)
on trouvera, après les réductions,
1 1 1-2.3 o 1.2.3.4.5 02 1 x Vp~'
= — l+3 — r-.... + Vr-1 = (~8)*~i= (— 3)3P— 1 = 0 (mod.6/> + l).
Lorsque p = 2 n , cette dernière congruence deviendra
36" —1 = 0 (mod. 12/2 + 1), et celle-ci sera toujours résoluble d'après ce qui précède: d'où il résulte, par la congruence de condition (17.), que la congruence x2 — 3 =0 (mod. 12/2+1) est toujours résoluble lorsque 12/2+1 est un nombre premier. On pourrait appliquer les mêmes principes . ù des congruences de degrés plus élevés, et on obtiendrait un grand nombre de théorèmes nouveaux, du même genre que ceux que nous venons d'énoncer; mais ces recherches nous écarteraient trop de notre but, et nous allons exposer de préférence quelques applications de la théorie des congruences à la résolution d'une classe d'équations indéterminées dont Lagrange a considéré les plus simples.
Soit proposé de résoudre en nombres entiers l'équation
a + az x + a, x1 + a„ xn X >
? ~ e + ez x + e2 x1 + emxm X~l'
on voit facilement que ce problème se réduit à la résolution de la congruence X =0 (mod. .X,); mais comme on a aussi identiquement AT, = 0 (mod. A",), on pourra éliminer x entre ces deux congruences et 011 trouvera, après l'élimination, une congruence de condition D = 0 (mod. X,), dans laquelle D sera une fonction donnée des coefficiens
a, aiy a,, anj e, elt et, em;
ot il faudra que A, divise le nombre D, Maintenant supposons que tous les diviseurs, positifs ou négatifs, de D soient représentés par la série des nombres
1, </,, d,, d3, cl,, D;
on devra faire successivement
A, = 1; Xl=dli A, = r/2 ; .... Xi = da; Xl = D; et en cherchant les racines entières de ces équations, on aura toutes h»s valeurs de x qui résolvent la congruence A = 0 (mod. A,), et par suite l'équation
e -f- e, x-\- e^x1 -\-emxm A','
Etant donnée la même fraction ■==- , on peut trouver aussi tous les nomlires entiers qui, pour une même valeur de x, divisent à la fois le numérateur et le dénominateur. En effet si l'on représente en général par $ l'un de ces facteurs communs, on aura X ~0 (mod. $); À', = 0 (mod. è); et en éliminant x entre ces deux congruences (ou ce qui revient au même entre les deux équations X = 0, A', = 0), on aura la congruence de condition /J = 0 (mod. S), et le nombre 8 devra se trouver parmi les diviseurs de D. Il est clair que si A et A, avaient une racine commune a, il faudrait commencer par diviser ces deux polynômes par x — a, autrement on aurait toujours D = 0.
Etant données les deux fonctions à deux inconnues <p(x, y); F(x,y); si elles ont un facteur commun iï, ou aura toujours
<P(ar,jr) = 0 (mod. S); F(x,y) = 0 (mod. S)', et en éliminant x ou y entre ces deux congruences, on aura deux autres congruences de la forme
¥(*•)= 0 (mod. 5) ; % (y) = 0 (mod. #). Soit proposé maintenant de résoudre en nombres entiers les deux équations simultanées
<P fè y) = F(x, y) . yp (x, y, z) ; <D (x, y) = 0;
que nous exprimerons pour abréger par <p = F.-p; C> = 0; on pourra
les réduire aux congruences
<P ~ 0 (mod. F) ; 0 = 0 (mod. F) ; F == 0 (mod. F) ;
et en éliminant x et y entre ces trois congruences, on aura la congruence
de condition
D = 0 (mod. F),
d'où Ton déduira toutes les valeurs possibles de F: l'on aura ainsi trois équations et trois inconnues, et les deux équations proposées seront résolues complètement.
Etant proposées les deux équations simultanées <l>(x, z) = <(,(x, z).F(x,y, x); $x (*, z) =<p(x, z).Ft(x}ys s); que nous indiquerons, pour abréger, par
elles se transformeront dans les congruences
0 = 0 (mod. <p) ; O, = 0 (mod. Ç); Ç = 0 (mod. Ç) ; d'où l'on déduira, par l'élimination, la congruence de condition Z)=0 (mod.Çi), qui fournira toutes les valeurs possibles de <p ; et l'on aura résolu complètement les deux équations proposées. On pourrait appliquer ces principes à des équations contenant un plus grand nombre d'inconnues; mais nous traiterons séparément cette matière dans un mémoire particulier sur les congruences ù module variable.
En reprenant les congruences de condition, que nous avons données précédemment, il est clair que l'on pourra éliminer les inconnues entre îa congruence à plusieurs inconnues
<P (x, y, z, . . . . etc.) = 0 (mod. p), (dans laquelle p est un nombre premier) que nous indiquerons pour abréger par Ç = 0 (mod. p), et les suivantes
xp-i i == o (mod. /;) ; yp~l— 1=0 (mod. p) ; ~p 1— 1=0 (mod. p); ... etc. ; de la même manière que s'il s'agissait d'éliminer entre les équations
<p = 0; a^1— 1=0; ^-' — 1=0; s?-1— 1 = 0; . . . . etc.; et que le résultat sera de la même forme: à présent pour éliminer les inconnues entre ces équations, on peut substituer dans la première toutes
les valeurs de x, y, z, etc., déduites des autres équations, et
comme l'on a
*==1; a; = cos^ + ^(-l)sin45? ^ = cos^ + /"(-l) sin^J;
2(p— 2)*r , rl .s . 2(p— 2) tt a? = cos v^ty +Vr(— l)sin-^— — :
2ji . „, „ . 2n 4jt . rr 4s . 4«
r = l; J = cos— i+fi— ljsin^j; j ^os^-j -f-yTC— l^m^;
2(p — 2)n . re „s . 2(p— 2)7i y = cos-^=1T^- + /-(-l)sm— L-- :
etc.:
en substituant l'une après l'autre toutes ces valeurs dans l'équation <p = 0, et faisant le produit de toutes les fonctions semblables que l'on obtiendra de cette manière, on trouvera la cougruence de condition
= 0 (moil.p).
Cette congruence parait assez singulière à cause des fonctions circulaires qu'elle renferme ; cependant en observant le rapport qui existe entre la congruence a = a-\-px (inod./?), et l'équation cos — = cos <a+P:r'''^ lorsque
a, p et x, sont des nombres entiers, on pourrait se rendre compte aisément de la forme de cette expression. On pourrait déduire de là plusieurs théorèmes connus sur les congruences; mais cette route serait longue et pénible, et nous préférons de partir d'une autre équation fondamentale qui servira à retrouver directement tout ce que l'on savait sur la théorie des congruences, et à découvrir beaucoup de propositions nouvelles. En observant que quoique par notre théorie on ne trouve que les racines inégales de la congruence (p = 0 , on obtiendra cependant les racines égales par la méthode dont nous avons fait usage pour les équations indéterminées; et même on les trouvera directement en éliminaut entre les congruences
<p = 0 (mod./>); jf = Ô (mod./>); f^=0 (mod./>); .... etc.
Etant donnée l'équation à une seule inconnue
xm — 1 =0, si l'on représente par Pn , Pn m , Pn 2m , . . . . etc. , les sommes des puissances nmvi, (n — wi)mM, (fl-2m)nsi, .... etc. de ses racines, on aura
■* n ■* n—7n ~~ ■* n—zm .... == 1 n—ym —— etC J
de sorte que si n est un multiple de m , on obtient Pn = m ; et dans le cas contraire on trouve P„=0. En exprimant les racines de l'équation xm — 1=0, en fonctions circulaires, ou aura
(«S + n-» * !ff + (cosîf + / <-„ *'$■
!+ (-? + *M) * ?)"• • • • + (-Sçfl? + ^(-D * ssagr.
Si l'on transforme le second membre au moyen de la relation connue
(cos z + /"( — 1) sin z)" = cos n z -f- tf~( — 1 ) sin n z, et qu'on néglige les imaginaires qui, dans le cas actuel, doivent nécessai-
renient se détruire, on obtiendra
„ On-i . 2n7i , Ann , 2unn , 2 (m — i)ntt
P. = oos \- cos r- cos — . . . . + cos . . . . + cos — —
. sin — 2 un n \ z ml m
