rsin — a

Si l'on voulait exprimer la somme et le nombre de tous les diviseurs de n, en représentant par I {ri) la première de ces fonctions, et par è(n) la seconde, on aurait

{ri) = 2

2 cos

2nyn

d {n) = 2 2 — cos — - — .

Ou sait que lorsque n est un nombre premier, on a

J\ri) = «-f-1; ${n) = 2;

nous aurons donc, en changeant les limites des variables, les deux équations

»"" r=x 2nya . x=* %x i 2nyn ,

2 2 cos — — = 1 ; 2 2 — C09 — * — = 1 ;

qui renferment deux propriétés spéciales des nombres premiers.

On a vu que, n et m étant deux nombres entiers, la formule • o ( " \ i • " B

8in -lin : — ) 71 + sin

\ J ml m

■ mi

2 Sin

a pour valeur m, si /z est divisible par my et qu'elle se réduit à zéro lorsque cette condition n'est pas satisfaite. Nous avons démontré do plus, que p étaut un nombre premier, l'expression

P ne peut devenir un nombre entier que lorsque p est un nombre premier ;

en faisant donc

m=pi et fl = 1.2.3 (/> — 1) + 1,

dans la formule (21.), elle se transformera en celle-ci:

,.2(,.2.3....,^i)+i-i^4cii+i).+sin(^3i;-"+V

qui devient p lorsque p est un nombre premier, et qui se réduit ù zéro dans le cas contraire. Ainsi cette formule représente exclusivement tous les nombres premiers. Si l'on voulait exprimer analytiquement la somme des nombres premiers compris dans la série

ou aurait la formule

*±„+b sin2 ^1 2.3.. .. (x— 1)+ 1 — J 7i+ sin ^ — ) n

Sa p.. (l.'2.3....(x-l) + l\ '

2au,\ 2* r

On peut générab'ser beaucoup ces expressions, et les appliquer aux séries périodiques, aux fonctions discontinues et à d'autres recherches: mais ce que nous en venons de dire suffît pour le moment.

Puisque la formule

± ^cos^+ /-(-l)sm— ) + («» — + ^(l)sin-j ....

(.......+ (cos — -J- + /"(-l) sin — — j )

a pour valeur l'unité ou zéro, suivant que — est un nombre entier ou

fractionnaire, il s'en suit que le nombre N des racines inégales de la congruence à plusieurs inconnues

<p (x, y, z, etc.) = 0 (niod. m),

(que nous exprimerons pour abréger par <p = 0 (mod. m)) dans laquelle on considère pour x, y, z, .... etc. , les valeurs entières

y = c, c-\- 1, c + 2, tf;

a = <?, « + 1, e + 2, fs

sera donné par l'équation

~iî£*,,'| + (cos2^fr+vr(1)s;11^ .... + (cos2(^!)^+^(1)s;n2(^^j

qui peut servir dans plusieurs cas à trouver la valeur de l'intégrale définie

x^ >'S* z^ aw{x,y,z,.... etc.) n S S 2 cos y ^- — ,

x~a jcrc *— e fl

comme nous le montrerons dans la suite.

De même la somme des racines de la congruence <p = 0 (mod. m), comprises entre les mêmes limites que celles qui ont servi ù déterminer la formule (22.), sera donnée par l'intégrale

/ . , / 2<pit , rt ... 2cpn\ . *=* ,=£*=/ \ l+Vcos-^-+/-(— l)sin-^-;