iS2 2....Hy+:..,.+ etc.) , ™ m

?««*~ |.... + (coS2^;1^ + tr(-l)sin^^)

On pourrait trouver une infinité de formules du même genre ; mais celles-ci suffisent déjà pour notre objet; et même elles sont trop générales, de manière qu'il faut les particulariser pour les appliquer avec facilité aux diverses questions que nous devrons résoudre.

Nous observerons d'abord que, d'après ce que nous avons dit précédemment, il suffira d'intégrer entre les limites

0 = a?=j- = s = etc.,

m = xz=y = z — etc.,

[tour savoir si la congruence proposée est ou n'est pas résoluble ; et qu'ensuite les imaginaires devant se détruire entre eux, on pourra considérer l'intégrale

2*. — 2 2 2 ....(14-cos — t — hcos— — .... + cos — r— ...,-f-cos— — I,

au lieu de celle fournie par l'équation (22.), et l'intégrale

... 1 A="*^"tî=m , . . , ./. . 2<pn . ifpn . 2i#pn . 2(wik

25. — S 2 S....(^+y+i;....+ etc.)ll+cos—î— + cos—?—. ..,-f-cos — — ....+cos— -2—1.

à la place de la formule (23.).

Soit proposé, par exemple, de trouver le nombre TV des solutions entières positives et moindres que c, de la congruence

ax-{-b = 0 (mod. c), la formule (24.) se changera, dans ce cas, dans la suivante

26. i- sïl + cos2(ox+6) j . . . .+ cos2« (ox+ô) 7 . • • .+ cos2 (c^l){axU)~) , qui exprimera le nombre N cherché.

Si l'on considère le terme général de cette série, on aura l'équation

. , sin2u(b-\-ac £) — — sin2« (b — -£) —

— S cos2«(aar + 6) — = ,

J^° 2csin

dans le second membre de laquelle le numérateur est toujours zéro, mais dont le dénominateur ne peut se réduire à zéro, que lorsque a et c ont un diviseur commun plus grand que l'unité, puisque u est toujours plus petit que c. Il résulte de là que si a et c sont premiers entre eux, tous les termes de la série (26.) s'évanouissent, excepté le premier dont la valeur se réduit à

Mais si c et c ont un facteur commun gt on supposera a = mg; c = ng; et en faisant u — n, on obtiendra

2 cos2n(ax-\-b) — as

in2„(6+„i)i sIn2,(S f)f

2 c sin

2«g-sin —

Cette expression se réduit à §, en vertu de l'hypothèse a = mg: On devra donc differentier le numérateur et le dénominateur par rapport à a, pour avoir une valeur déterminée, et l'on trouvera après les réductions:

— — » = cos.

zngsia — °

Si au lieu de prendre u = n, on fait en général u = en, e étant un nombre entier quelconque, on trouve

-Zcosen(ax + b)- = cos2ffc?r;

et comme le nombre /2 est compris ^ — 1 fois dans c — 1, on pourra faire

successivement e = 0, 1, 2, 3, g— 1 ; et la valeur de l'intégrale (26.)

sera exprimée (dans le cas actuel où Ion suppose que c et c ont un commun diviseur g) par la série

1 4" cos \- cos . . . . 4- cos -£ -;— -,

dont la somme

sin 2 ( 6 — — - ) n -f- sin — ^ 2s/ tr

2sin — S

a pour valeur #, lorsque — est un nombre entier, et qui se réduit à zéro

dans le cas contraire.

De là résulte

1°. Que la congruence sx-fi = 0 (mod. e), a toujours une solution entière et plus petite que c, lorsque c et c n'ont d'autres diviseurs communs que l'unité.

2°. Que si c et c ont un commun diviseur g différent de l'unité, qui ne divise point b, cette congruence n'admet aucune solution entière.

3°. Qu'enfin si — est un nombre entier, on trouvera pour x un nom-

bre g de valeurs entières plus petites que c, qui satisfont à la congruence proposée.

Maintenant si l'on fait <p = cr-f- b, et m = c, dans l'intégrale (25.) on trouvera que la formule

27. Xï:x(l + cos2(ax+b) — .... + cos2«(cx+A)-.... + cos2(c— l)(ax+b)-),

exprimera la somme des valeurs de jc, entières et moindres que c, qui satisfont à la congruence aar + b = 0 (mod. c), lorsqu'elle est résoluble, et que lorsqu'elle ne l'est pas, cette intégrale se réduit à zéro.

Nous avons démontré que si a et c ont un facteur commun différent de l'unité, et qui ne divise pas b , la congruence a x -\- b = 0 (mod. c) n'admet aucune solution entière; et comme, si ce facteur commun divise aussi b, on peut toujours le supprimer, il sera permis, dans ce cas, de supposer que c et c sout premiers entre eux; et alors on sera assuré qu'il existe toujours une valeur entière de x, comprise entre zéro et c, qui satisfait A la congruence proposée; mais comme il n'existe qu'une seule de ces valeurs, comprise entre les limites que nous venons d'indiquer, la formule (27.), qui exprime la somme des racines de la congruence

a x -\- b = 0 (mod. c), aura pour valeur la plus petite de ces racines entières et positives.

Actuellement pour trouver cette valeur de x, on considérera le terme général de l'intégrale (27.), et on aura

(c— 1) sm2u (b+ca- y)-^- + sin2u(& — y) —1

.uan 1 *=' n 2csm

— Z xcos2u(ax-^-b)— = .

cos2n( ca-\-b — a) cos 2 u(b — a) —

c\2sm-r)

où il faudra faire successivement u = 1, 2, 3, . . . . c — 1 ; et ajouter an résultat le premier terme de la série (27.), qui est

LYx — c(c~1) - - 1=1

c x=0 ~~ 2c ~~ 2 » Puisque a et c sont premiers entre eux, et que u est plus petit que c, il s'en suit que le dénominateur 1c sin"° ne pourra jamais s'éva-

nouir; on obtiendra par conséquent, en faisant les réductions nécessaires:

(c— 1) sin2u (ac+b— ~)^- + sinlu (b— ^-j — cos2u (ac + b— aj -^- — cos 2k (b— a) -^•

~ . uan 2 c sm

iin2u(b-^)~

et partant:

/ . uan\2

' . uan 2sm

28. — *Zx (H cos2(ax+b) — .... + cos2u {axH) -....+ cos2 (c-IXaxib) — ) -1 , *»(»-f)T , »!°4(6-l)7

nr 71 *

2sin — 2sin

2sin^ 2sin(c l)^

= ~2- + y £t nraiz *•

* sin

Cette formule très -simple donne pour a la plus petite valeur de x qui satisfasse à la congruence ax-\-b=0 (tnod. c), en nombres entiers et positifs : mais toutes les valeurs entières de x sont données par l'équation

dans laquelle s est un nombre entier quelconque.

Il faut observer ici que la congruence

ax + b = 0 (mod. c), équivaut à l'équation du premier degré à deux inconnues

ax-\- b = cy ; et que la formule (29.) donnera toutes les valeurs de x qui résolvent cette équation.

Soit proposé, par exemple, de résoudre en nombres entiers l'équation 3a:+l=4j; en la comparant à l'équation générale ax-\-c~cy, on aura c = 3, 6 = 1, c = 4 ; et par conséquent

. /. 3 \ n .un