l'g*81"2"^— 5VT 1 if^T
sin-^— sm"4-
c'est à dire
. n . 2ti . Zn.
3 smT sinT smT 3 JL.1 1. i.
* — 2"""7r3^* — 77T^— . 9;r — 2 2 t 2 2—*' 2sin-j- 2sin-x- 2sin-^-
et toutes les valeurs de x, qui résolvent l'équation 3x+l=4yj seront données par l'équation ;r=l-f-4s, comme ou le sait d'ailleurs.
La valeur de « peut en général se calculer à l'aide des tables trigonoinétriques. Il est vrai que par ce moyen on n'obtiendra, le plus souvent, que des valeurs fractionnaires approcbées, mais comme par supposition x ne peut avoir que des valeurs entières, on en trouvera la valeur exacte en substituant ù cette valeur approcbée, le nombre entier le plus voisin.
Ou peut observer que puisqu'on a
• (^i „\ " « • 2 b u n aun 2b un . aun
sin ( 25 — a) — sin cos cos sin——
.aun .aun
sm sin
et que d'ailleurs
. 2b un .aun 2b un = sin cot cos
"=c 2b un
X cos-—— = —1;
on pourra écrire
e-1 , 1 "f? . 2bun .aun, 1 1 / "=c . 2bun ^aun\
B = -f- Z sin— cot — +- = -(c+Zsin— cot—);
et cette expression servira, aussi bien que la précédente, ù résoudre la congruence proposée.
Il serait aisé d'appliquer ces principes aux conguences du premier degré ù plusieurs iuconnues: mais nous allons passer de préférence aux congruences du second degré: et à cet effet nous rappellerons quelques propriétés élémentaires des résidus quadratiques, que nons pourrions déduire de nos formules générales, mais dont nous omettons les démonstration à cause de leur simplicité.
1°. Si n est un nombre premier, en élevant successivement au carré tous les nombres 1, 2, 3 .... n — 1 ; et divisant chaque carré par n , on aura — ^— restes différens (que M. Gauss a nommés résidus quadratiques de n) répétés chacun deux fois: et il restera, dans la série des nombres inférieurs à n, un nombre ^-x— de non -résidus quadratiques.
2°. Si l'on fait n = 2p-\-îf et que l'on représente par ci j °i > aa « • • • Qu , • • » • Qp , les p résidus quadratiques de «, et par
"i) "21 "3 1 •••• "ul . ... Opi
les p non- résidus quadratiques, on aura les équations
Zcos = 2 Z cos ; Z sin = 2 Z sin — — ;
Z [cos f-cos2 — ) = Z cos -^— ; Z (sin — ■ hsm )=Zsin-^— .
„=l \ n ni j-, « „=1 \ n n / y=x n
3°. En multipliant successivement un résidu quadratique quelconque
cr, par tous les autres, on aura la série
aralt ara2, ara3i .... arapf
qui fournira de nouveau, en divisant tous ses termes par n, p restes dif-
férens, qui seront tous les résidus quadratiques de n disposés dans un
ordre quelconque; d'où l'on déduira
(*=? 2arx*7t -»=p* 2aTauii "=£" 2aun
1 Z cos =2 Z cos = 2 Z cos — — ;
__ I x=i n usa w u=i *
\ Z sin = 2 Z sm — --=— = 2 Z sin — — .
Vx=i « u=i n «SX B
4°. En multipliant le résidu quadratique ar, successivement par tous les non -résidus quadratiques
"jj "2} "3> •••• Ou, .... Opi
on aura de nouveau, après avoir divisé tous les produits par n, p restes différens, qui seront tous les non -résidus quadratiques de n, et on trouvera
5°. En multipliant le non -résidu quadratique bri successivement par tous les résidus quadratiques
&z9 ^21 **3J •••• Qui •••• Opf
et divisant tous les produits par n, on aura pour restes tous les non -résidus quadratiques; et par conséquent on obtiendra
1 Z cos s= Z cos ;
I Z sin = Z sm .
\ ara n u=» "
6°. Enfin en multipliant successivement un non -résidu quadratique quelconque bri par tous les non -résidus quadratiques
"l } "2 1 "il •••• Oui •••• "pi
on aura pour restes, après avoir divisé chaque produit par n, tous les résidus quadratiques, et partant on trouvera
"=^+l 2brbu7i "=P+l 2ann Z cos = Z cos ;
"*g* . 2brbun u=^+t . 1aun Z sm = Z sin .
Maintenant si l'on représente par N le nombre des solutions entières et moindres que iz, de la congruence
x1 -f- c = 0 (mod. ri) , dans laquelle n est un nombre premier, on sait par ce que nous avons démontré précédemment, que TV ne peut qu'être égale ù zéro ou ù 2, et en partant de la formule (24.), on trouvera
n N z= z"(l + cos 2 (ar2+ c) -^ + cos 4 (a?+c) £ . . . . + cos2 (n— 1 ) Or'+c) £) == Z Z cos2j(.r2-fc)- = n -f Z cos^-^ + Z Z cm2y(xi+c)—
x=o y=o n nps» n x=i y=i n
= i2-|-Zcos — ^Z Z(cos — cos — sin — sin — — 1.
r=i » ' x=x y=i V n n n ni
Si l'on substitue dans cette formule les valeurs de
>S 2yx*n 2ycn u=Ç+7 2auarIn: 2cau;i . 2bux*a n 2cbun\ Zcos— cos — — = Z (cos — - cos — — 4- cos cos 1,
y=, n n „=1\ « n ' n ni
"=" . 2yx*a . 2ycit u=^"1/ . 2aux*7i . 2caun . . 2bux1rt . 2cbun\
Zsin — sin — — = Z (sm sin 1- sm sm 1,
y=l n n «si > n n ' n ni
on obtiendra
&, * *=»«=*!» COS— £- COS— -2- + C08— COS-^j—
niV^+Zcos^ + Z Z * " __" „" >;
n x=i u=i 1 • 2aux*n . 2cau7i . 2bux* n » zcbun\
r=l I — sm — - sm sm sm \
ou bien, en séparant les intégrales,
l/z+Zcos-^ \- Z (cos — — Zcos— 1+ 2. (cos Zcos — - — j
I — Z (sin — Zsm — - ) — Z (sm Z sm — - — 1
et cette équation, à l'aide des équations (30.), (31.), (32.), se transformera
dans la suivante
(«+Tcos2-^ +2!T(cos2-fï T'cos2-^) +2"r (cos2^ ^cos2^) i I — 2 Z (sin Z sm ) — 2 Z (sm Z sin-— J
Maïs comme les quantités
*¥** 2aun "=p+ 2bun
Z cos — — . Z cos ,
u%+1 . 2aun u=p.+1 . 2bun Z sin , 2. sm ,
qui sont des intégrales définies, deviennent indépendantes de u et égales à des constantes, on pourra les transporter en dehors de la première intégration dans l'équation (33.), et on aura
!, r=n 2cyn , ''^ 2aun ^+1 2caun , 0"^+' 2bun »=p+» 2cbun /z-4-Zcos— \-2 Z cos . Z cos {-Z Z cos . Z cos — — — 2 Z sm- . Z sm - 2 Z sin . Z sm — ,
et cette équation devra exister en même tems que les suivantes
Z (cos ^cos — — ) = Z cos -J— = Z cos — — - = — 1,
"S**/. 2wî , . 2bu*\ J2? . 2r7r ft
Z (sin t-sin l=Zsm — — =0.
A présent supposons <? = ± 1 ; « = 4 ra -J- 1 ; et chacune des con-
gruences
x- -f 1 = 0 (mod. n) ; a;4— 1 = 0 (mod. n)
aura deux solutions: par conséquent N sera égale à 2, et l'équation (34.)
se transformera dans la suivante
U — 1-|-2 ( Z cos-^-j+2^ Z cos— ^-J
d'où l'on tirera
-2 = ( £ cos— ) + V £ cos— ) '
^in^)2+rrsin^)2= 0; et puisque, par les équations (35.), l'on a
v i cos— ) = ( £ cos— + V :»
fï^b^^rTsin^)2;
"« + 1=4 (T cos2^y+ 4"I+XcoS^ + 2;
on trouvera
et partant
/ "^+l 2aun , .y
d'où l'on déduira les équations
Z cos — — = — ^-±T/Vïj Z cos — - = — -+ — /a;
S "=P+> On n *=P+« 9 7, t
sin = 0 ; Z sin = 0.
Lorsque n est un nombre premier de la forme 4m-f-3, si l'on fait c = ±1, la congruence x2 — 1 = 0 (mod. n) aura deux solutions, tandis que l'autre x1 + 1 he 0 (mod. n) ne sera pas résoluble ; alors on aura les deux équations
+ 2( Z sin — — ) + 2( Z sin— — )
In =
.+ >( Z cos— )+2( Z cos--)| - 2 ("T sin Sfctf- 2 (T siu^V f
qui, étant combinées avec les équations (35.), donnent
Z cos = — — ; Z cos = — — ;
Z sui = +— -//z; Z sin — — = + -r-fn.
Ces intégrales déGnies ont été données pour la première fois par M. Gauss dans ses Rechercbes Arithmétiques; et il les a trouvées en partant de sa théorie de la division du cercle en parties égales. Cet illustre géomètre a repris le même sujet dans un mémoire particulier, où il les a démontrées de nouveau. Mais les deux démonstrations de M. Gauss, qui sont les seules connues jusqu'ici, quoique très -ingénieuses, nous paraissent moins directes que celle que nous venons d'exposer, qui se déduit tout simplement de la formule fondamentale (24.), avec beaucoup d'autres résultats. Cependant comme les équations (36.) et (37.) sont la base de tout ce que l'on sait sur les congruences du second degré, nous allons reprendre la démonstration que nous avons donnée, pour la rendre plus simple et plus claire.
On sait que lorsque /i = 2/j-f-l est un nombre premier de la forme 4m-j-l, les congruences
a?2-f-l =0 (mod.n), a:2 — 1 == 0 (mod. «), seront résolubles toutes deux, et auront chacune deux solutions : alors par la formule (24.) on obtiendra l'équation
(cos — +/"(— l)sin— ) +(cosv + /-(— l)sin^) /
■ / 2tn . rf ... 2/st\*2±i / 2fn— i)n . i>C,1ïJt\*,+i ^ '
+ (cos+^(l)sm__) .... + (cos^L i^+vr(I)sin^^ j
et par conséquent l'autre
(cos — + ^(— l)sin) Z (cos ^^(—ijsjn )
+(cos ^ ± v^(-l) sin *$ T(cos^ + /-(!) sin^) v n ni jc=o \ n ni
ffcos ±iT(— l)sin ) Z (cos h v^( — 1) sin )
V n n / x-o \ n ni
-H cos ±/\— l)sin — -) Z (cos ^v^(— l)sm .
» . n ni x=a \ n ni
Si l'on effectue les multiplications indiquées dans cette équation, en observaut que les imaginaires doivent se détruire entre eux, ou trouvera
0n*=? 0x27t 2nx=n 2x2n 2t:tx=n 2tx*n , 2(n-l)nx=n 2(n-l)x2n cos — 2. cos [-cos — Zcos ...-f-cos — Z cos ...-J-COS Z cos
'±[sin — 2. sin (- sm— Z sm ...+ sin — Z sin ...-fsin Z sin )
x n Jr=0 n n x-o n n x=0 n n x=0 n I
et partant
(' , 2nx=n 2x2n , 2t7ix=n 2tx2n , 2(n-l)nxE» 2'n-i)x27T. i >n = n-\.cos — Z cos ...-f-cos — Z cos ...-f-cos Z cos ;
J n n 1 • 2îr^" • 2r2;T 1 • 2/jrr=* . 2tx27i , . 2(n-i)sr:*=.n . 2(n-l)x2x
I U = U-f-sm — Z sm ...-{-sin — Z sm ...-(-sin Z sm— — ;
\ n -r— ,i n n * — rt n n > — n n
Il faut observer ici que t doit prendre successivement toutes les valeurs 1, '2, 3, .... n — 1 , dont la moitié sont des résidus quadratiques du nombre n et l'autre moitié des non -résidus quadratiques du même nombre: si l'on suppose donc t égal à un résidu quadratique quelconque cr, ou aura
cos-
2<nTE" 1tx*n 2arnx=n 2arx3n
