E COS- = COS Z C

n x=o ■ n xr=o n

2arnx=" 2x'n 2aTn, .S=px 2au*\

— cos — L E cos = cos U + 2 E cos );

et l'on trouvera de même, lorsque t est un non-résidu quadratique égal à br,

2brax=n 2brx*n 2brn t . , ."H** 2tu>-rv cos E cos = cos (l + ~ *- cos 1.

On voit pourtant que la valeur de

2/71^'* 2txan cos E cos »

ne saurait être que l'une de celles-ci:

2arft,t , „"^+l 2aun\ 2brni. nu^1 2bun\

cos (1+2 E cos ); cos (1 + 2 E cos );

n V ' u=l ni n \ u-\ ni

selon que / est un résidu quadratique ou un non-résidu quadratique de«i et comme parmi les nombres 1, 2, 3, .... n — 1, représentés par t, il y en a p qui sont résidus quadratiques de n , et autant qui ne le sont pas, on pourra les réunir eu deux groupes dans les équations (38.), et on aura les équations

(1+2 E cos — — Hcos— ^ — \- cos — ^— . . . . + cos —£- j

+ (1 + 2 E cos — — ](cos — - — hcos — — .... + cos — '— 1 l ' \ * «=» n/V n ' n ni

2( E sin — — ) (sui — h sin — — .... + sin — '— I

f+2( E sm )(sm — 1- sin — — ....-f-sin — ^— 1 .

L > us? n l\ n ' n ni

Mais comme l'on a

COS s f- COS —.... + COS ' — = *- COS — ;

Tl ' 71 ' 7t u-j 71

cos — ! r- cos — =— . . . . + cos — ! — = 2. cos — — ;

sin — \- sin — — . . . . + sm — ! — = 2- sin — - —

. 2btn, . 2bzn , . 2bva "=g- ... 2bun

sin — - f- sin — =r- . . . . + sm — ! — = E sin — - —

les deux équations (39.) deviendront

« = (1+2 Z cos ) Z cos- Ml + 2 Z cos ) Z cos ;

0 = 2( Z sm ) + 2( Z sm );

\ u=i ni \ u-, n /

et puisque l'on a aussi

"=£-+' 2au7i . '«=C+« 2fcM?r "=p+> . 2a„)i *=*+» . 2bun Z cos 1- Z cos = — 1; Z sm \- Z sin = 0;

on trouvera, en éliminant entre les quatre équations précédentes:

"=P+l 2aun 11. "^+* 2bun 1 1 ^

Z cos— = — T±y/«,- 2- cos-— = — -. + — /*,•

u=£+l . 2«urr ■%*» . 2&„:r rt Z sm = Z sin = 0.

Si n était de la forme 4 /« + 3 , on aurait à la place des équations (38.), les deux autres

1(14-2 Z cos ) Z cos Ml-f-2 Z cos ) Z cos

I V u=i n I u-i n \ u=l n I It=i n

((1+ 2"I+,cos^ "T'cos^ + (1+ 2UI+lcos^ "Tcos^ I — 2( Z sin J — 2 Z sin ),

\ V «=i n I \ uzzi ni

qui étant combinées avec les équations (35.) donneraient

«=p+i 2au7l u=P+>- 2bu7t 1

Z cos ■ = Z cos = — — ;

"=%+l 2aun , 1 "=H"1 2bun 1

Z cos = ±— yn-, Z cos = + — //7.

Ces dernières équations coïncident avec celles que nous avions trouvées précédemment.

II résidte de l'analyse précédente, qu'étant proposée la congruence x1 + c = 0 (mod. n), (dans laquelle n est un nombre premier égal à 2/>-f-l), si l'on représente par TV le nombre de ses solutions, on aura

l/z+(l4-2 Z cos ) Z cos bU+2 ^ cos' ) *■ cos

«=*+« m 2aun u-p+i . 2caun ''^l+l . 2bun »=2+* . 2c&urc — 2 Z sm . Z sin 2 Z sin . Z sin .

Mais comme, lorsque n est de la forme 4m + 1, on a

"=£+' . 2auTt »=p4-« . 2bu7t

Z sin = Z sm = 0,

uzzi n u=i n

on trouvera, dans ce cas,

iV=l-| — ( 1+2 Z cos ) Z cos 1 — (1+2 Z cos ) Z cos—

n \ u=i n I et n n\ u=l n I „=l ;

et la valeur de N restera la même quand on changera + c en — c. Donc si la congruence

x2 + c = 0 (mod. n),

(dans laquelle n est un nombre premier de la forme 4m + 1) est résoluble, celle-ci

y2 — c = 0 (mod. n)

le sera de même; et si l'une d'elles n'est pas résoluble, l'autre ne le sera pas non plus.

Si /z = 2/>+l, est un nombre premier de la forme 4m +3, on aura

1+lT-ÎS = 1 +2"-T'coS^ = 0;

et le nombre iV des solutions de la congruence

ar + c = 0 (mod. n) sera donné par l'équation