nN—n — 2 Z sin Z sin 2 Z sin Z sm

qui se réduira, lorsque c est un résidu quadratique de n, à l'autre

nN — n — 2( Z sm \ — 2( Z sm ) = n = 0.

V*=, ni \u=l ni 22

Si l'on change +c en — c dans l'équation (40.), on trouvera que

le nombre N des solutions de la congrueuce

y~ — c = 0 (mod. />),

sera exprimé, lorsque c est un résidu quadratique de n, par l'équation

TV „io/"^' • 2a"a\2 , o/"^+1 • 26„«\a . n n

niV = /2 + 2[ 2 sm )+2( Z sin ) = n + — + — = 2/z.

* u=i ni V k— | ni 2 2

On déduit de là, que lorsque n est un nombre premier de la forme

4m + 3, l'une des deux congruences

xr-\- c =0 (mod. «); y2 — c = 0 (mod. n)

sera toujours résoluble, mais qir'on ne pourra jamais les résoudre toutes

deux à la fois.

xrrr

xzro

En partant des équations (36.) et (37.), on trouve, qu'en indiquant toujours par ar un résidu quadratique quelconque du nombre premier rt = 2/?-j-l, et par br un non -résidu quadratique quelconque du même nombre, on aura, lorsque n est de la forme 4/72+1,