icos hv(— l)sm ) = *+•* *■ c°s r-2/^(— 1) Z sin

n ni u=.\ n u=l n

Zlcos j-»T(-l)8in ) = l + 2 Z cos f-2/-(i) z sin — —

tandis que lorsque n est de la forme 4 m -f- 3 , on trouvera Z(cos f-yT(— l)sin ) = l-f-2 Z cos j-2y^( — 1) Z sin — —

r=o' n ni n— i n u— , n

f»# 26raîaîi 2ftra:a«v »=2+> 2M l*.,, «*"p?*ï 26u« Z (cos f-y^(— l)sin ) = l-f-2 Z cos J-2^(— 1) Z sin — —

x-o^ n ni «=i n a=1 n

= 1 + 2 (- 1) + 2 /•(—!) (?!/■«) = + ^-")î de sorte que l'on obtiendra en général les équations

Z (cos— J-^(— l)sin ) = ±KU(— 1)- /;

Z (cos \-f(—l)$m ) = + V \n(— 1) - /.

*=o \ n ni

Maintenant soit proposé de trouver le nombre TV des solutions entières et moindres que n , de la congruence

ar -f- a y2 + b = 0 (mod. /z), dans laquelle n est un nombre premier, et a, b, sont des nombres entiers nou divisibles par n ; il est clair que par la formule (24.) on obtiendra l'équation

x=ny=r/ . %n 2n\xl+ay*+b I n 5T\x,+°*, + *\

«A= Z Z( l + (co8-+/-(-l)8in-) ...+(co82(n-l>-+/-(-l)8in2(n-l)-l } =

x=o )— \ * n rt / \ i ni j

+iT(—1)sin ) Z (cos +/Y-l)sin ) Z (cos + v^(-l)sm )

r, n /x=o' n n /y=0^ n ni

30s — +vr(-l)sin — ) Z (cos + /X— l)sm J Z(cos — — + /Y— l)sm— - — )

1,-7 h^T\xr=n / 3C*7l T^tO"7*/ at'a5T rtv'

,2(/i-l)-+/"(-l>in2(i2-l)-) Z (cos2(/*-l) — +vr(-l)sin2(/2-l)^-) Z(cos2(/2-l)-^— +/(-l)sin?'/?-1)-^