COS
et la valeur do iV dépendra des nombres a et ù.
Supposons d'abord que o et i soient tous les deux des résidus quadratiques de n, et nous aurons, en substituant dans l'équation précédente les valeurs déjà trouvées,
n N = f + ("" h ~ l ^<~1^ (± ^t(— lfT)) (± ^(«(-1)^))] ( + (- i + i Ani-lf*1)) (+ ^G(-1)V)) (+ V(n(-lj?))\
Lorsque a et ô sont tous les deux non- résidus quadratiques de /?, on obtiendra
niV= /22-f n(—l)~.
Lorsque a est un résidu quadratique de n, et b un non-résidu quadratique du même nombre, on aura
nN sss /22 rc(l)~.
Et enfin lorsque a est un non -résidu quadratique de n, et A un résidu quadratique du même nombre, on trouvera
nN — /22-f «(1)~
Il résulte de là, que la congruence
a?2 -f- a y1 -f b = 0 (mod. /*), dans laquelle n est an nombre premier, aura toujours un nombre n +1 de solutions.
Lagrange a démontré pour la première fois que la congruence xz -f- o yz -{- b = 0 (mod. n), était toujours résoluble, lorsque le nombre premier n ne divisait ni a ni b. Cet illustre géomètre est parti de ce tbéorème pour démontrer qu'un nombre entier quelconque est toujours la somme de quatre carrés en nombres entiers: mais sa méthode ne saurait servir à déterminer le nombre des solutions de la congruence proposée, comme nous l'avons fait en partant de notre formule fondamentale (24.). Il est clair que l'on pourrait appliquer les mêmes principes aux congruences du second degré, qui renferment un plus grand nombre d'inconnues. Mais nous allons nous occuper de préférence de la résolution des équations à deux termes.
Ou a vu que lorsque /i = '2p-\- 1 est un nombre premier de la forme 4/w -j- 1, on trouve
Z (cos — — + /(— 1) sm — -) = — \ ± \ fn ;
2+*/ 2*a7I . -, ... 2<a7TVi« I — I a
Z (cos — + /"(— 1 ) sin — — ) as —| + \ >fn ;
en indiquant toujours par au un résidu quadratique quelconque de rt, par bu un non -résidu quadratique de /z, et par £ un nombre entier non divisible par n. Si l'on fait maintenant
cos hy( — l)sin = r .
r exprimant la racine
de l'équation
In . -, 4N.2ji x = cos H / ( — 1) sin —
ou aura, par ce qui précède:
et cette équation , qui sera satisfaite par la valeur x = r , le sera aussi par toutes les autres valeurs
x = r2*; # = r3*; . . . . a? = r(n-l)' ; dont le nombre se réduira à la moitié, puisque rs = r(n-s) . Mais comme ces raciucs résolvent l'équation .X = 0, elles seront communes aux deux équations X = 0, Xx = 0. Les autres racines qui résolvent l'équation X = 0, sans résoudre l'équation X1 = 0, seront de la forme
et ne pourront pas résoudre l'équation A", = 0; car si l'une d'elles, r°l par exemple, pouvait résoudre cette équation, comme on a toujours
fi.
en substituant cette racine supposée ar = r', dans l'équation X, = 0, elle deviendrait de la forme
mais cette équation est absurde, puisque l'on a
/'+ rU .... + r6'-f § + £^ = 0, Donc les deux équations X = 0, .X, = 0, auront les /; racines communes
et en cbercbant le plus grand commun diviseur A entre X et X, , on aura
l'équation A = 0, qui sera du degré ~-, et qui contiendra toutes les racines de la forme x = r"< .
Si n = 2p -f- 1 était de la forme 4/w -f 3, au fieu de 1 équation (41.) on aurait trouvé lautre
X2 = x"1 + *» . . . . x"» + \ + I PT-r-*) = 0; et en cherchant le plus grand diviseur commun entre
X = ^-5| = 0, et X: = 0;
on obtiendrait l'équation qui a p racines de la forme
et 1 équation X = 0 serait encore décomposée en deux autres du de-
gré -g-.
Il faut remarquer ici que lorsque n est un nombre premier de la forme 4 m -f- 1 , les coefficiens des diverses puissances de ^ dans l'équation A = 0j sont des fonctions de — \±\yfn en général, tandis que
les coefficiens des puissances correspondantes dans l'équation — = A r-rQ
sont des fonctions semblables de — l + i/"72- E" eilét, si Ion lait
A S J»P + ^fl6^« -f- ^p = ();
Al== ^ + B.apP- + Bp= 0;
les coefficiens ^,, ^/,, ,...Jp, pourront s'exprimer exclusivement par la somme des puissances des racines de l'équation A = 0, somme que nous indiquerons en général par Pr; et les coefficiens #,, />,,.... J3 s'exprimeront de la môme manière par la somme des puissances des racines de l'équation A1 = 0, somme que nous indiquerons en général par Pr; et comme, lorsque r n'est pas un multiple de fl, on a toujours
*-«»•— i±*/*J iJr+Pr=-l; Pr=~l + ^n, il n'y aura d'autre différence entre Pr et Pr, que dans le si»ne de fyOz,par conséquent si l'on désigne par Y la somme de tous les termes de l'équation A = 0, qui ne contiennent pas yfn, et par Z fn la somme de tous ceux qui contiennent }fn, on aura
A = Y+Zfn; A, = Y—Zfrii et partant
X = ^=4 = AA, = T~ — nZ\ œ — 1
Si n était de la forme 4m + 3, on trouverait
X == T- + nZ7 et en général on obtiendra
X = T-—nZ-(— 1) '•",
« étant un nombre premier quelconque, et T, Zy étant des fonctions entières et rationnelles de x. Ou trouvera aisément, par la comparaison des coefficiens dans l'équation
