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que les coefficiens numériques des diverses puissances de x dans les équations A = 0, A, = 0, ne peuvent admettre d'autre diviseur que le nombre 2; et l'on déduira de là que l'équation
l^"".1) == Y2 + nZ2 a? — 1
(dans laquelle Y et Z sont deux pob/nomes en x entiers et rationnels, à coefficiens entiers) aura toujours lieu.
Pour donner une application de ce théorème à la théorie des congruences, nous observerons que puisque la congruence
xa — 1 = 0 (mod. n),
a toujours a solutions, lorsque n est un nombre premier de la forme a r -}- 1 ; et puisque, si a est un nombre premier impair on a aussi
il s'ensuit que + « est résidu quadratique de ar-\-\t où il faut prendre le signe +, si a est de la forme 4/vz -\- 1, et le signe — , si a est de la forme 4w + 3. On déduit aussi de ce qui précède que lorsque a est un nombre premier, on peut toujours résoudre l'équation
en nombres entiers, quel que soit l'exposant n, pourvu qu'il reste toujours entier et positif, dans laquelle il faut prendre le signe -{-, si a est de la forme 4/72-J-3, et le signe — , lorsque a est de la forme 4/VJ-f-i. Ou trouve de même que l'équation
5" = x2 ± «y2-f- 1 est toujours résoluble en nombres entiers, lorsque a est un nombre pre-
BÛer quelconque: et il serait facile de trouver un grand nombre de propositions de la même nature.
Dans l'équation
A= 17cos^-f-^(-l)sin— ) = ±\/(n(-if?),
trouvée précédemment, on n'a pas déterminé le signe du radical; cependant en observant que l'on a
A— (2|T(— l^sin— sin— sin— sin2(/2 — 2)-.
et en cherchant combien de sinus positifs et de sinus négatifs il y aura dans le second membre de cette équation, on trouvera que, quelle que soit la forme du nombre premier n, il faut toujours prendre le radical avec le signe -f- dans la valeur de J. Maintenant en faisant n =2p -\~ l et en exprimant toujours par au un résidu quadratique quelconque du nombre premier n, et par bu un non -résidu quadratique du même nombre on aura les deux équations
X (cos hv^C— l)sin ) = — — + -\T(±n)\
\~=p*', 2bun . 2busi\ 1 1
( £, (cos — + /-(-l)Un— ) = — j- y/(±«);
dans les seconds membres desquelles il faut prendre le signe -j-, lorsque n = 4/n + 1, et le signe — , lorsque /z = 4 m -f- 3.
Dans f équation
i^— -li — r + nZ2
il y a plusieurs manières de trouver les coefficiens de x dans les polynômes Y et Z s et ce manières sont tout à fait indépendantes, comme l'on sait, de la considération des résidus quadratiques. Maintenant, parmi les deux équations
Y + Zf(±n) = 0; Y— Z /"(± n) = 0,
que nous avons déjà trouvées, il y en a toujours une qui a toutes ses racines de la forme
x = cos Y v (— 1) sin 3
en prenant pour ar successivement tous les résidus quadratiques de nj tandis que l'autre de ces deux équations aura ses racines de la forme
ïhrn , , 26r«
x = cos f- / ( — 1) sm — — ,
en prenant successivement pour 6,. tous les non -résidus quadratiques de n. Il résulte de là une méthode directe pour savoir si un nombre quelconque est résidu quadratique, ou non -résidu quadratique d'un nombre premier donné.
En effet si l'on ordonne l'équation
par les puissances descendantes de x, on pourra, par les formules connues, trouver la somme des puissances de ses racines; alors en appellaut Pa la somme des puissances ames des racines de cette équation, on aura en général Pa = P,, si a est un résidu quadratique de n, et Pa= 1 — F, dans le cas contraire.
On doit remarquer ici que comme les coefficiens de a-, dans les polynômes Y et Z, se déterminent d'après la forme de n, et non d'après sa valeur numérique, on pourra transporter à tous les nombres premiers d'une forme donnée, les théorèmes qu'on aura trouvés par induction pour des petits nombres. Cette proposition, qui est de la plus haute importance, mériterait de longs développemens que nous réservons pour un travail particulier. Ou en peut déduire des conséquences fort singulières sur la manière de vérifier les résultats de l'observation dans l'analyse pure, en suivant la route tracée par Euler dans cette branche de l'algèbre, route qui a été quittée trop tôt par les géomètres. On pourrait tirer aussi de là la démonstration de la loi de réciprocité énoncée d'abord par 31. Legendre; mais comme 31. G au s a déjà donné cette démonstration, en partant des équations (42.), nous ne nous arrêterons pas plus long temps sur ce sujet, puisque ce qui précède renferme toute la théorie des congruences du second de«ré, déduite de la seule équation fondamentale (24.). Mais en partant de cette môme équation nous allons reprendre la résolution générale des équations à deux termes : en commençant par énoncer quelques propositions sur les résidus de tous les degrés, dont nous omettons les démonstrations qui sont très, faciles à retrouver.
1°. Supposons que n = ap-\-i, soit un nombre premier quelconque, et que l'on élève successivement ù la puissance a tous les nombres
1, 2, 3, .... ap;
si l'on divise toutes ces puissances par /?, on obtiendra /; résidus du degré a, difl'érens entre eux et plus petits que n, qui seront cbacun répétés a fois. Eu appelant
*i } "« j 83 y . * . . ar , • • . . ap ; les résidus trouvés de cette manière, et en multipliant l'un quelconque a, de ces résidus par la suite des puissances
1\ T, 3% .... {paYi
on obtiendra de nouveau, après avoir divisé par ny la série des nombres
8i» 32, aj, .... ar, . ... ap;
disposés dans un ordre quelconque et répétés chacun a fois; et par conséquent l'on aura
*S" 2a,xan *=" 2x",7 «=/>+» 2o„îi T. cos = Z cos = 1 -j- a z cos ;
x^1 . 2arxan *=? . 2a?arr "=M-» ' 2aun
Z. sin = 2. sin = a Z sin — — .
2°. Si à présent l'on ôte les p nombres-
«*ij 3j> ^3> • • • . ar, .... apy de la série des nombres
et que l'on prenne un nombre quelconque br parmi les (a — l)p nombres qui restent, on aura, en multipliant br successivement par toutes les puissances
1% 2% 3°, .... '{paTf et divisant chaque produit par /?, un nombre p de restes divers entre eux et plus petits que «, répétés chacun a fois et qui seront tous diffcrens des nombres
Si l'on appelle
"l) Oj, D3y .... Dr, .... U^,
ces nouveaux restes, en multipliant l'un quelconque d'entre eux br, sue-
cessivemeut par toutes les puissances
