ou aura de nouveau les nombres

bl5 b2 , b3 , .... br, •••• bpj disposés dans un ordre quelconque et répétés chacun a fois: de manière que Ton obtiendra

Z cos = 1 + a. Z cos ;

x=n . 2brxa7i a^+1 . 2*B« 2- sin = o z. sin .

3°. On pourrait de même obtenir les' séries Ci» c? , c3 , . . . . cr , .... cp ; di » d2, d3 , •■•• ur, •••• Opi

r, ; r2 , r3 , . . . . r, , . , . . rp ; toutes composées de p termes différeus, et qui jouissent de propriétés

analogues aux séries

Si 5 aa> a3> .... Qr> •••• ap ; bi 5 b2 , b3 9 .... l)r | • • • • Dp }

et le nombre de toutes ces séries serait égal à «,- de manière qu'en réunissant les nombres qui les composent, on aurait de nouveau tous les nombres

1, 2, 3, .... ap,

4°. Il serait aisé de démontrer que parmi les a séries que nous

avons trouvées, il en existe un nombre b (qui est égal au nombre des

nombres entiers plus petits que c, et qui n'ont pas de commun diviseur

avec a) de la forme

®i > ^2 » ®3 j « « • • er , .... Gp ;

*1 > *2 J *3 5 •••• *r } .... *pî

. . etc.;

qui jouissent de cette propriété, qu'en multipliant un terme quelconque e, d'une de ces séries, par tous les autres termes de la même suite, on aura lune des a séries que nous avons trouvées précédemment; puis en multipliant par e?, la même série, on aura une autre de ces séries, et ainsi de suite jusqu'à e" i mais cette proposition est tout à fait étrangère aux recherches suivantes.

Maintenant, si l'on fait, pour abréger,

l + o E (cos Hv(— l)sin = 1 + cA;

„, \ n ni

"=£+'/ 2bun . . .. . 2fcu<-r

-f- c E (cos f- v^( — 1)sid ) = 1 +ûB;

1 + e E (cos-^- + >T(— l)sin^i^ = 1 +«R;

u=l V rt 71 /

et que l'on considère la congruence

x" -f- 1 =0 (mod. «), on sait que le nombre N, de ses solutions entières, positives et moindres que n, est exprimé par l'équation

«N,= T z" (cos 2y(xa + 1) — + vT(— 1) sin2 r (xa + 1) — )

qui se réduira à l'autre

«N, = rc + A(l-f-ffA) + B(l + «B) +R(1 + «R);

en distribuant les nombres 1, 2, 3, .... «/>, en groupes, comme nous l'avons indiqué précédemment.

Si Ton cherche à présent le nombre N2 des solutions entières, positives et moindres que n, de la congruence à deux inconnues

xa + ua -f- 1 = 0 (mod. n), ou aura l'équation

«N8 = T T'e (cos2y(xa + ua+l) — -f-»r(— l)sin2r(^+«° + l)— ),

qui se réduira à l'autre

«N = "2 + A(l + «A)2 + B(t -\-aBf + R(1 + «R)\

De même eu cherchant le nombre N3 des solutions entières, positives et moindres que //, de la congruence à trois inconnues

X" 4. U" J v* -}- l ==0 (mod. n), on aura une équation de la forme

/iN3 = «3 + A(l + «A)î + B(l +aBf +R(1 + «R)3;

et ainsi de suite jusqu'à la congruence (qui renferme a — 1 inconnues)

xa + ua + va + ztt +1 =0 (mod. n),

dont le nombre Na, des solutions comprises enlre zéro et n, fournira l'équation

n N0, = «M + A(l -f « A)""1 + B(l + ûB)"- .... + R(l + a&y \ De cette manière on obtiendra un nombre a — i d'équations, qui étant combinées avec l'équation connue

serviront » déterminer, par l'élimination, les valeurs des a inconnues

A,, c>, • . « • li,

en fonction des nombres

Au lieu d'effectuer cette élimination, il sera plus commode de chercher une équation

dont les a racines soient les quantités

-V , £>, •••• li i

et les coefficiens de cette équation se détermineront avec la plus grande facilité; puisqu'on déduit des équations que nous avons trouvées A -}-B + R = —1;

A" + B8 . . . . + R3 = ^LZLlL±l..

et ainsi de suke pour les autres sommes des diverses puissances des racines de l'équation {43.). Maintenant les quantités

A, ÎS, .... XI,

sont les diverses racines de l'équation (43.); et si l'on suppose que l'on a résolu complètement cette équation, on aura une racine z = A; et partant en fesant

r = eos h /(— l)sin — ,

on obtiendra

r' + r"* .... + r*P = A, et l'équation

X, = x°* + x* + xrp— A = 05

aura p racines communes avec l'autre

Donc en cherchant le plus grand commun diviseur entre X et A',, on trouvera une équation du degré /; qui aura pour raciues les quantités

et qui sera de la forme

X2 = Xt + sxP-1 -f tx>'~2 .... + / = 0. Pour trouver les autres facteurs de X = 0, l'on prendra la racine z = B,

de l'équation (43.) et on fera

/•"'+/'.... + A = B; puis l'on cherchera «ne transformée de l'équation .X=:0, telle que ses racines soient la somme de p — 1 racines de X = 0, prises négativement et augmentées de la quantité B; alors en appellant X, = 0, cette transformée, il est clair qu'elle aura p racines communes avec l'équation X=0et en cherchant le plus grand commun diviseur entre X3 = 0, et X = () on aura une équation du degré p, qui aura pour racines x = r*1 ; x = rh' ; ...,x= A • On voit comment l'on pourra trouver, par une procédé analogue à celui dont nous venons de faire usage, les autres facteurs de l'équation X = 0. On ohtiendra de cette manière a équations du degré » qui étant multipliées entre elles, donneront de nouveau l'équation X == 0. On peut encore observer qu'ayant trouvé l'équation X2 = 0, les autres facteurs du degré p, de l'équation X = Q, se formeront en changeant A, en B dans tous les coefficiens de X2 = 0; et ainsi de suite. Partant, étant donnée l'équation

x = SEr = °.

dans laquelle n = ap-\- 1, est un nombre premier quelconque, ou pourra toujours la décomposer en a équations du degré p, au moyen «l'une équation du de»ré a.

Lorsque a et p, sont deux nombres premiers, l'analyse précédente suffît pour trouver tous les facteurs de l'équation xn — i =={)■ niais si a est un nombre premier, et p est un nombre composé, en supposant pssàcd t (les nombres b, c, cl, t, étant tous les facteurs premiers de p, égaux ou inégaux entre eux) on trouvera d'abord les équation*

r% qs n + A(l + sA) + B(l + «B> . ... + R(i + aR) .

«-N. = *' + A(l + «A/ + B;i +<iB/ + R l+air-;

/-'Nn 1=«"-+ A (1 + cA)-'+ B;l +aB)°-. . . . + R 1 +aR)<~d'où l'on déduira, comme auparavant, l'autre équation

Z= ^+^y,i« ..„,.+ ?m =ç 0; qui fournira les valeurs de

puis l'on cherchera les valeurs de

en exprimant en général par JVq le nombre des solutions entières, positives et moindres que n, de la congruence à g inconnues de la forme

et l'on aura les équations

nl\\ = n + z"T(cos2y(^ + l) — 4- y^(— 1) shi2yOo5-f 1)-);

n N9 = /r + " E T T (cos 2y (xab+ zab+ 1 ) — + /■(— 1 ) sin 2y (a^-J-^-f 1 ) -) .

/i^^ssn^-'+'Ê' "e""E 'E...(cos2y(j7"5+ca6+7;o5...+l)— + ^(— l)siu2y(:rn6,+:="Hi/^. + l;-r7) Eisu décomposant eu plusieurs séries les nombres

-J j ^j Dj • • • ■ il ~~ ~ J-j

et en classant les résidus et les non -résidus de l'ordre ab,. par rapport au nombre n, comme nous l'avons déjà fait relativement aux résidus et aux non-résidus de l'ordre a, on pourra donner aux équations précédentes, la forme suivante

'1 -j- Al -f- At . . . . -f- Ah

Rt -J- Rz . . . . -f- R.J , n 4-^,(1 î-abJ,) + A2(l+abA2)....+ Ah(l + abAb)

+/?,( 1 ^abB^-^Bli +abB2yh-\... -|-2?6(1 +aABi)"6- f

+/?1(i+«è/oa6-,+^2(H-«6/?2rê-....+/?i(i+

«àfl6)a*-y

Il est clair qu'à laide de ces équations l'on pourrait former 1 équation

Z, = z°b + s, **-> + sa z°b~* + sal = 0,

<le la même manière que nous avons dejïi formé 1 équation Z = 0. Cette équation Z1 = (), aura pour racines toutes les quantités

et il faut observer que l'on aura

-4 + Ai + ^3 + ^4 = A ;

Bx + 2Î, + Z?3 . . . . + Bb = fi;

les quantités A, B, .... R, étant les racines de I équation Z = 0.

Maintenant si l'on cherche une transformée de l'équation Z, = 0 telle qu'elle ait pour racines la somme de i — 1 racines de l'équation Z, = 0, prises négativement et augmentées de la quantité A; et si Ion appelle Z2 = 0, cette transformée, il est clair qu'en cherchant le plus «rand commun diviseur entre Z, = 0, et Z, = 0, on aura une équation de la forme

Z3 = zb + fcz*"' + t2 z!~\ . . . +/, = 0; qui aura pour racines les quantités

Si l'on fait à présent u = q^ , et que l'on exprime par

f'o fl:j ff3, .... att,

les u restes difrérens que l'on obtient en divisant par n successivement

toutes les puissances

1"\ T\ 3ab, (n — 1)"*;

il est clair qu'en fesant toujours

r = cos— + y^(— l)sin— ;

on obtiendra

r ' + r 3 . . . . r " = Ax.

D'où il résulte que l'équation

aura u racines communes avec l'équation X=^— ^- = 0. Mais comme

on peut former d'autres équations semblables en prenant une autre série au lieu de la série alf «2, . . ,.aui en écrivant l'une des quantités A2, Aiy . ... Abi au lieu de Ax et en cberchant une transformée de l'équation X=0, comme nous l'avons fait précédemment, on aura enfin b équations semblables, qui serviront à décomposer en facteurs l'équation -X = 0. Nous n'avons considéré que les deux facteurs a , b , du nombre n — 1 ; mais on voit que pour les autres facteurs, il n'y aurait qu'à répéter les mêmes opérations; de manière qu'étant donnée l'équation

xn—l = 0,

dans laquelle n = am b r c* . . . . , on la résoudra complètement ù l'aide de m équations du degré a, de r équations du degré b, et ainsi de suite.

L'analyse précédente suffît pour montrer l'esprit de notre métbode; on voit quelle est très -générale, et que pour être appliquée aux cas particuliers, elle n'exige pas la connaissance des racines primitives. D'aillieurs il est clair que pour résoudre l'équation / — 1=0, il n'est pas nécessaire de décomposer la série des nombres 1, 2, 3, .... n — 1, en plusieurs séries comme nous l'avons fait, afin que l'on pût bien saisir le principe de notre tbéorie. En effet pour décomposer l'équation xn — 1 = 0, dans ses facteurs, il suffit de déterminer en nombres les valeurs de

..... etc.; ce que Ion pourra toujours faire à posteriori pour toute valeur numérique de n.

Lorsqu'il s'agit de résoudre les congruences des degrés supérieurs au second, on rencontre beaucoup de difficulté; et l'on ne connaît aucun théorème sur les résidus cubiques, ou bicarrés. Nous allons montrer maintenant les premiers élémens de cette théorie, que nous traiterons avec plus de détail dans une autre occasion. On sait que la congruence

x3 + 1 = 0 (mod. n)r dans laquelle n est un nombre premier de la forme 6p-{-l, a toujours trois solutions entières, positives et moindres que n, et partant on a par la formule (24.)

(i + (cos2 (x> + 1) £ + A- 1) si" 2 (.r3 + 1) -J-) 3»=T)

( +(cos2(«-l)(^ + l)f-+ A-lsîn2(/:-l)(^+l)^)) Maintenant si 1 on décompose la série des nombres

dans les trois séries

0jj ■ » t a U 2p y

Ci} .... f 2/) ,

dont la première est la série des résidus cubiques de n, tandis que la seconde se forme en prenant un nombre quelconque de la série

qui ne soit pas compris daus la série des résidus cubiques de n, et après avoir multiplié ce nombre successivement par tous les résidus cubiquej de n, en divisant chaque produit par aj car les restes de ces divisions fourniront la série

et la troisième série sera composée des 2p nombres qui sont compris dans

la série des nombres

siins être compris ni dans la première, ni dans la seconde périe. A présent l'équation que nous avons trouvée précédemment, pourra se mettre sous la forme

( ( T(~ ^ +«-» »»^))(1+3T(- ^ +^-')sta ¥))

'+( £ (cos— + /"(-l)sm — -))(i+3 Z (cos-^+A-l^--^-)) et eu posant, pour abréger, les trois équations

S (cos j-/X— l)sm ) = 4T

2 (co8 '+vA — l;sin = B,

2 (cos r v ( — l)sm ) = ^,

on obtiendra

2/2 = ^(l + 3^) + B(l + 3B)+C(l + 3C)." Mais si l'on exprime par N2 le nombre des solutions entières, positives et moindres que n, de la congruence

a? -f- y3 4- 1 == 0 (mod. n), on trouvera

nNî= /22 + ^(l+3^)2+7?(l + 3B)2+C(l+3C')2; et si l'on combine ces deux dernières équations, avec l'équation connue

1 + A + B -\- C = 0, on aura l'équation

qui aura pour racines les trois quantités J, B, C.

On sait que lorsque n est un nombre premier de la forme 6/3 + 1,

r équation

pourra toujours être résolue en nombres entiers, mais n'admettra qu'une seule solution; de manière que le nombre n étant donné, a et b seront déterminés , et l'équation Z = 0 , pourra recevoir l'autre forme

Z — z>+-*-(l^)z+±7((n-iy-n(n + l±a)) = 0;

et partant en égalant les coefiîciens de ces deux équations Z = 0, on aura

l'équation

qui exprime un rapport fort singulier entre Na et a.

Puisque

7Va = n±a — 2,

et que la valeur de a est comprise entre zéro et /"(4/2 — 27), le nombre A',, ne pourra jamais avoir une valeur moindre que

"— Vr(4«— 27) — 2; et par conséquent le nombre 7V4 pourra augmenter indéfiniment avec la valeur «le n. Il résulte de là que passé une certaine limite, la congruence

a-î+^-f 1 =0 (mod. n), sera toujours résoluble sans faire ni x ni y , divisible par /2.

Une autre conséquence assez importante que l'on déduit de l'analyse précédente, c'est que lorsqu'on aura déterminé le nombre 7Va des solutions entières, positives et moindres que n, de la congruence

x3 + v' + l = 0 (mod. n), on trouvera le nombre 7V3 des solutions entières positives et moindres que n, de la congruence

xz +y + u3 + 1 =0 (mod. n), par les formules

nN3 = «3 + ^(l + 3^)3 + 7?(l+3Z?)3 + C,(l+3C')3; A + /? + C = S, ; ^ + B* + C2 = 5,;

^3 + fî3 J ^ Si . ^4 + £4 | C4 „ ^ .

les quantités Sl9 S2, Ss, avant été déjà déterminées lorsqu'on a formé l'équation .Z = 0. En général étant donné le nombre N2 , on pourra déterminer le nombre des solutions d'une congruence du troisième degré, contenant un nombre quelconque d'inconnues et ayant des coei'ficiens quelconques, pourvu qu'elle conserve le même module n.

Eu fesaut n = 7 , on trouve a = 1 , Nt. =7 — 2 -f- 1 = 6 ; et la

congruence

a?-\-f + 1 = 0 (mod. 7),

aura toujours six solutions; ce qu'il est aisé de vérifier.

Maintenant soit n un nombre premier de la forme 6/j-f-l, et tel

que l'on ait l'équation

dans laquelle a est un nombre entier connu, et x un nombre entier indéterminé, mais tel qu'il satisfasse à la condition que n soit un nombre premier de la forme bp-\-\\ il est clair que le nombre des solutions de la congruence

-3 + y3+l = 0 (mod.«), sera toujours n + a — 2, indépendemment de la valeur de x. Ainsi lorsqu'il s'agit des congruences du troisième degré, il ne suffit plus, pour trouver le nombre de leurs solutions, de connaître la forme linéaire d^s nombres premiers qui servent de module, mais il faut connaître aussi l'un des nombres de la forme quadratique à laquelle ces modules peuvent se réduire; et l'on doit observer qu'à l'aide de la relation IV2 = n + a — 2, on pourra toujours assiguer la valeur de a de manière que IV2 ait une valeur d'une forme donnée; quoiqu'il y ait certaines valeurs que N2 ne pourra jamais prendre: ainsi on ne pourra jamais avoir les équations

iVt = ru Na = n — 3; etc.

Si l'on exprime toujours par A, B, C, les trois racines de l'équation JZ = 0, que nous avons trouvée précédemment, on pourra déterminer trois fonctions entières de x, que l'on exprimera par p, 9, r, telles que l'on ait toujours

17X = 27(^Er) = Q>+47 + Br)(j> + B9 + Cr)(p + C9 + Ar)=0.

Maintenant si l'on effectue les multiplications, et que l'on opère les réductions nécessaires., on trouvera

27n = < + gir^+2^-1) ±nb + (*-»*+**«))

en supposant toujours 4« = fiî + 27i2. Et cette équation offrira le premier exemple d'une forme cubique à trois inconnues à laquelle on pourra réduire un nombre premier quelconque n, de la forme (>p-\-l. Ou voit que l'on pourrait faire

dans la formule précédente, et elle prendrait alors une autre forme.

L'analyse que nous venons d'exposer fournit le théorème suivant. Lorsque n t -\- 1 est un nombre premier quelconque, et que n est un nombre premier de la forme 0^ + 1, la con«ruence du troisième degré à (ïe:!X inconnues

sera toujours résoluble.

On pourrait déduire do co théorème, de la r*luioii ,V, a= « + a — 2, et de quelques autres propositions que nous omettons ici, un grand nombre «le propriétés nouvelles des résidus cubiques des nombres premiers qui ont la forme (jp -\- 1 ; mais nous ne pouvons pas les exposer, dans ce mémoire.

Cependant nous ferons observer que puisque l'on a toujours <f<i$ri, l'équation, que nous avons déjà trouvée,

tombera dans le cas irréductible, et que par conséquent ses trois racines, que nous avons nommées A, B, C, seront toujours réelles ; d'où il résulte que lorsque c est un nombre entier quelconque, est que n est un nombre premier de la forme G p -\- 1 , on aura toujours l'équation

J. sjn = v,

On trouvera de même en général

*=" . 2cxma 2- SJU = O,

toutes les fois que m sera un nombre impair, et que n sera un nombre premier; c étant d'ailleurs un nombre entier quelconque.

Supposons maintenant que n soit un nombre premier de la forme S m -J- 1 ; on sait que l'on pourra toujours résoudre 1 équation

n = c2 + 16i2, et qu'elle n'aura qu'une seule solution. Si l'on cherche le nombre des solutions entières, positives et moindres que n, des congruences «•+1=0 (mod.n), .t4+j44-1hee0 (mod./z), x'+y'+u'+l =0 (mod. n), on sait que la première de ces trois congruences aura cpiatre solutions, que la seconde en aura un nombre 2Vt , et que la troisième en aura un nombre Nz ; I\\ et J\7. , étant deux nombres entiers inconnus. A présent si l'on décompose la série des nombres

en quatre séries, de la même manière que nous avons décomposé la suite

en trois séries, quand il s'agissait des congruences du troisième degré, on aura, après les réductions convenables, les équations

4« =/z 4-^(14-4^) +B(1+4B) +C(1+4C) + Z)(1-J-4D), niV2 = /z2 + ^(i +4^)2 + B(l +4JB)'2+ C(l +4 C74-D(i -f-4Z>)2, niV3 = /23-|-^(l4-4^)54-JB(l + 4JG)3H-C'(l+4C)3 + Z>(l+4JD)3, qui serviront à former l'autre équation

qui aura pour racines les quatre quautités

J, B, C, D, et dans laquelle le coefficient <P(N2) exprime une fonction de N2, et le coefficient F(Nt , N3) représente une fonction de 2V2 et iV3 ; fonctions qu'il sera très facile de déterminer en effectuant le calcul. Mais comme l'on

a aussi par l'équation

n = a? -\- 16 Z.2, l'autre équation

Z = ^+c3-3^+(4^-^lZ^^)~+^-/2(|l i^1-±2) = 0;

on trouvera d'abord, en égalant ces deux équations Z = 0? une équation entre Nt et a, et puis une autre équation entre A*3 et «, ce qui donnera une équation entre Na et 2V3 ; d'où il résulte que lorsqu'on connaît le nombre des solutions de la congruence à deux inconnues

^*+74+l = 0 (mod./O, on aura tout de suite le nombre des solutions de la congruence à trois inconnues

*■* + y* + "4 + i = 0 (mod. n), et par suite le nombre des solutions d'une congruence du quatrième degréy contenant un nombre quelconque d'inconnues , pourvu que le module n soit toujours un nombre premier de la forme S m -f- 1. On aurait pu établir a priori le rapport qui existe entre Nz et N3, en observant que dans les quatre équations qui nous ont servi à déterminer les coefficiens de l'équation

Z = z* + z'Smz* + Ç(N2)z + F(IV2, N3) = 0, on peut négliger la dernière équation qui contient N3f puisque la première équation

l + ^ + Z? + C+Z) = 0, peut se décomposer dans les deux autres

A + B = \±\f*i C + D = —£+£/■". Une simplification semblable pourra s'effectuer chaque fois que le degré de la congruence que l'on considère ne sera pas un nombre premier; et l'on voit que dans le cas actuel l'équation Z = 0, pourra se dé-

composer en (Toux équations «lu speond degré, dont les coefficiens ne contiendront d'autre radical que ^n.

En effectuant les calculs que nous n'avons fait qu'indiquer, on trouverait (par la comparaison des deux équations <lu quatrième degré Z = 0 que nous avons trouvées précédemment) la relation

eu indiquant toujours par N2 le nombre des solutions entières, positives et moindres que n, de la congruence

x*+yl + ! = ° (m°d- »);

et par o le nombre entier nui est donné par l'équation // = a2 -{- 1 G b*. Il résulte de ce qui précède qu'au delà d'une certaine limite, 7V2 ira toujours eu croissant. Et en général on pourrait démontrer qu'étant donnée la congruence à deux inconnues

à? + y" + 1 = 0 (mod. p), dans laquelle p est un nombre premier quelconque, on pourra toujours assigner une limite de p telle, que passé cette limite le nombre des solutions de cette congruence ira toujours en augmentant. Ce tbéorème n'est pas sans importance pour parvenir à. la démonstration de l'impossibilité de résoudre l'équation

«" -\- vn = s",

en nombres entiers. Car il prouve que l'on tenterait envain de démontrer cette impossibilité, en voulant établir que si cette équation était résoluble, l'une des inconnues serait divisible par un nombre infini de nombres premiers. Nous basons cette observation, pareeque nous avons motif de croire que plusieurs analystes on tenté ce genre de démonstration, et puis pareeque nous avons vu qu'un géomètre distingué, n'a pu démontrer dans aucun cas le tbéorème que nous avons découvert, et dont nous avons démontré par une méthode particulière les deux premiers cas.

Ce que nous venons de dire sur les congruences du troisième et du quatrième degré, ne renferme que les premiers élémens d'une théorie très -étendue sur les congruences de tous les degrés, théorie que nous exposerons dans une autre occasion; et nous donnerons ici renoncé d'un théorème général sur les congruences de tou3 les degrés; ce théorème est le suivant.

On peut toujours résoudre la congruence

x' -f- (t, y" + c„ fc" + an = 0 (mod. p),

qui renferme n inconnues et qui est du degré n; le module p étant d'ailleurs un nombre premier quelconque, et les coefficiens

«u <**, cr3, . . . . an, étant des nombres entiers quelconques non divisibles par p.

On voit que ce théorème renferme comme cas particuliers les deux cougruences

ax -f- b = 0 (mod. p),

x% + aïi + b = 0 (mod. p), qui peuvent toujours se résoudre, lorsque le nombre premier p ne divise ni a m b.

On passerait des congruences aux équations indétermiuées, en observant qu'étant proposé de résoudre en nombres entiers l'équation à plusieurs inconnues

9 (*» ft z, ■ • • • etc.) = 0, elle pourra se réduire à la congruence

<p (x, y, z, etc.) = 0 (mod. u),

dans laquelle le module u est un nombre entier indéterminé, ou même une fonction quelconque des inconnues x, y, . . . . z, etc. On peut résoudre par cette méthode plusieurs équations indétermiuées, et même on peut trouver avec facilité les facteurs rationnels d'une équation numérique a une seule inconnue, pourvu que l'on détermine convenablement la forme de la fonction représentée par u. Mais cette méthode exige de longs développemens qui ne sauraient trouver place dans ce mémoire.

Tous les résultats obtenus dans ce mémoire, se trouvent exposés dans deux mémoires présentés en 1S23, et en 1825, à l'Académie Royale des sciences de Taris.

MÉMOIRE