SLR LA RÉSOLUTION DE QUELQUES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES

Introduction.

Il existe un grand nombre d'équations indéterminées qui n'admettent qu'un petit nombre de solutions entières : mais quoique dans ce cas le problème devienne beaucoup moins compliqué, que lorsque le nombre des solutions est infini, les géomètres n'ont pas cherché à résoudre par une méthode spéciale le cas le plus simple, comme il paraissait naturel de le tenter. En généralisant une méthode que nous avons publiée pour la première fois en 1820, nous sommes parvenus à résoudre complètement un grand nombre d'équations indéterminées, algébriques ou transcendantes, de tous les degrés, contenant deux ou un plus grand nombre d'inconnues.

Lorsqu'on doit résoudre en nombres entiers une équation à plusieurs inconnues, si l'on peut trouver des fonctions de ces inconnues, telles que ces fonctions doivent toujours être comprises entre deux limites numériques données, quelle que soit la valeur que l'on attribue aux variables, il sera toujours possible de réduire l'équation proposée ù une autre équation, dans laquelle le nombre des inconnues sera égal au nombre des inconnues de l'équation proposée, moins le nombre des fonctions dont on aura déterminé les limites. Ainsi lorsque le nombre de ces fonctions, augmenté de l'unité, sera égal au nombre des inconnues de l'équation proposée, on aura résolu complètement le problème.

Dans le mémoire publié en 1820, nous avons traité aussi des formes cubiques et de celles du quatrième degré, qui se reproduisent lorsqu'elles sont multipliées par des formes semblables. Maintenant nous reprenons la même matière en l'augmentant considérablement, et nous parvenons à démontrer qu'un nombre quelconque rationnel positif, est toujours la somme de quatre cubes positifs en nombres rationnels. Enfin nous résolvons dans ce mémoire, une classe assez étendue d'équations indéterminées de tous les degrés, dont Lag range avait considéré les plus simples.

Analyse.

Soit proposé de résoudre en nombres entiers l'équation à deux inconnues

\A bn vn±Afyn-\- Fn, {v, y) + F„2(", y) .... + Fn m (v, y)....\

dans laquelle F„m (v, y) représente en général un polynôme homogène en v et y, du degré n — m, ù coefficieus rationnels. On pourra d'abord supposer que tous les coef/iciens sont entiers, et que l'on cherche seulement les solutions eutières et positives ; car tous les autres cas se rapportent à celui-ci, en réduisant les fractions au même dénominateur, et en changeant les signes des variables lorsque cela est nécessaire. Puis on mettra l'équation proposée sous la forme

+ V (am-\-bmy +cmy Jrpmyn-*) \ = 0;

±Af f+Gy^+Hy-1 + £y + T= Oj

et en multipliant tous les termes de cette équation par çn &", et en fesant qy=.z, bv — x, ou la transformera dans la suivante

i4"yV+By"^M+iy-2(«y"+^/"^)+iV-3(e, f+h f~x ~+<\ f*#)\ ....+b»-^(amf+bm9^z....+Pmfzn±Aù"fz»-\-G9b^^ ■ >

dans laquelle les coefficiens de x" et de y", seront égaux : si à présent l'on suppose x^>z, et que l'on fasse x = z-\-u, on aura, en développant,

44« ) ....+ Gr/b"z'-'.... + Tr/!/' |-0'

Maintenant le premier terme de cette équation, est un polynôme homogène du degré n, en z et u, ayant tous ses coefficiens positifs; et tous les autres termes sont tels, que les mêmes puissances de z, qui dans le premier terme sont multipliées par des puissances données de u, seront multipliées dans les autres termes par des puissances moindres de u. De sorte que l'on pourra toujours trouver une valeur entière et positive de u=zL, telle qu'en fesant u = L-{-8, ($ étant un nombre quelconque positif) tous les coefficiens de z, dans l'équation (44.), restent toujours positifs; et comme par supposition z ne peut avoir quo des valeurs positives, l'équation (44.) dans laquelle on a fait «>L, ne saurait subsister. Par conséquent on devra faire

et en substituant successivement ces valeurs dans l'équation (44.) on aura une série de L -\- 1 équations à une seule inconnue, dont les facteurs rationnels, s'il en existe, fourniront toutes les valeurs positives de z qui résolvent 1 équation (44.).

Nous avons supposé x>z, si Ion avait au contraire z~>x, on ferait c =*• + «,, et Ion obtiendrait la limite de u, de la même manière que l'on a trouvé la limite de u.

De cette manière nous avons trouvé toutes les solutions entières et positives de l'équation proposée; pour trouver les solutions entières et négatives, l'on n'aurait qu'à changer les signes des variables, comme nous l'avons déjà indiqué.

Soit proposée l'équation à deux inconnues

f(x,y).F(x,y) = Fx(*jf)i on pourra toujours en avoir toutes les solutions entières et positives, lorsque les trois fonctions

ft*,f), H*, y), F,(*,yh

étant rationnelles et entières, les signes des termes qui contiennent les plus grandes puissances de x et de y dans le polynôme f(x, y) seront tous égaux, et que les exposans de ces puissances ne seront pas moindres que ceux des puissances les plus élevées contenues dans le polynôme F,(x, y); et on aura de même toutes les solutions entières et négatives, lorsqu'eu changeant les signes des inconnues, les puissances les plus élevées de x et de y, comprises dans le polynôme f(x, j), seront toutes du même signe ; ou du moins pourront se réduire, à laide de quelque artiilce de calcul, à n'avoir que le même signe. En effet, en fesant

ar = xt + u, y = y, + t, la fonction f(x, y) , se réduira aisément à avoir tous ses termes du même signe, et l'on déterminera les limites de u et de t} qui deviendront de cette manière des coefûciens numériques: alors on pourra trouver un nombre entier et positif A, tel que l'on ait toujours, pour des valeurs entières et positives des inconnues, en prenant /(.r,, yt) avec tous les fermes positifs, l'inégalité

(r étant une quantité positive quelconque) et l'on pourra toujours déterminer un autre nombre entier B tel que l'on ait (pour des valeurs entières et positives des inconnues, et eu prenant encore la fonctionnai,, yj po-

sitivement) 1 Inégalité

(B-r)f(x1,y1)<Fl(xlfy1)i d'cù il résulte que F^x^ y\), ne pourra avoir qu'un nombre limité de valeurs comprises entre B et Ai de manière qu'en fesant successivement

I\{xt, y.) = B, F,(xiy y,) = B + 1, F.fo, yj = ^,

on aura un nombre -^ — jB-J-1 d'équations qui, étant combinées avec l'équation proposée, fourniront par l'élimination un nombre égal d'équations à une seule inconnue, d'où l'on tirera toutes les solutions de l'équation proposée.

Il est facile d'appliquer ce principe aux équations contenant plus de deux inconnues, de la forme

f(x, y, z> •••• etc<) A (X>X>Z) •••• etc0 ••••/» (x> y-> z> •••• etc0 = F(x, y, z, .... etc.), pourvu que le nombre des facteurs qui composent le premier membre soit égal au moins au nombre des inconnues; et l'on voit que la forme des fonctions

J) Jlf • • • • Jn J * }

peut être algébrique ou transcendante.

Soit proposé, par exemple, de trouver toutes les solutions entières et positives de l'équation transcendante

x?(x*-f) = 2 y3, que l'on pourra réduire à la forme suivante

(x — y~) (l + y loga: + ^ (log*)2 + ^4^ (log xf . . . . + etc.) = 2 y3 ;

il est évident que les deux inégalités

x>2, x« — f>\\, ne pourront pas subsister ensemble, parceque si elles pouvaient exister en même tems, le premier membre de cette équation serait toujours plus grand que le second, tant que les nombres x et y resteraient positifs. Alors il faudra que l'on ait l'une des équations

x = 0, x—lj x=2; x't-y' — O, x*— yc = l, x* — y* = 2, a*— y'==3, a*— y2 = 4, x* — y* = 5, x* — y>= 6, ^y« = 7, ^—^ = 8, «*— y* = 9, *•' — ya = 10, a^4— ya = H.

Mais les équations

se*— ya=2, .t3— y' = 6, rr'— y'=10, ne peuvent avoir aucune solution entière; et parmi les 12 équatirîhs qui restent, il n'y a que les deux équations x = Q, x* — yB = 0, qui étant

combinées avec l'équation proposée servent ù la résoudre: on déduit de lu que l'équation

xy(x%— y") = 2 y3, ne peut se résoudre en nombres entiers et positifs , qu'en fesant x = 0, y = (). On pourrait, de la môme manière trouver les solutions entières et négatives de l'équation proposée.

L'équation

Abnx»— Af y" = F„, (*, y) + F„, (x, y) . . . . + T, qui est semblable à celle que nous avons déjà considérée, peut se résoudre assez facilement par la méthode que nous venons d'exposer; car cette équation peut se réduire à la forme

ffa y) • F(*j >') = £ (*j y), en fesant F(x,y) = A{bx—9y)>, f(x,y) = l>"-'x»-* + Vx»->7y.... + f->y'->i

F, (x, y) = Fn, (*, y) + FM (.r, y) . . . . + T -, et on pourra de cette manière trouver toutes les solutions entières et positives de l'équation proposée. Si l'on voulait résoudre l'équation

^A\r» + Aff = Fn, (x, y) + F„2(.r, y) . . . . + T9 il faudrait multiplier tous ses termes par Vx* — </" y" , afin de rendre le premier membre décomposable dans les deux facteurs

A(bx—</y), P-*t&** + V****** ?y . . . . -f f~ y2-1, le second desquels a tous ses termes positifs. De de cette manière l'on trouve toutes les solutions entières et positives"; les solutions entières et négatives, s'obtiennent en changeant les signes des variables.

En général, étant proposé de résoudre en nombres entiers une équation à n inconnues, si l'on peut former, avec ces mêmes inconnues, m fonctions entières, chacune desquelles, pour des valeurs quelconques des inconnues , doive être moindre que h -+- 1 , et plus grande que Lx , (L et Z/, étant deux nombres entiers) en égalant successivement chacune de ces fonctions aux nombres

L, + 1, h\ + 2, .... L, on aura m(L — L%) équations; et les solutions entières de l'équation proposée, devront se trouver parmi les racines entières de ces dernières équations; et si la nature des fonctions que l'on a trouvées est telle, qu'en combinant les divers systèmes d'équations qui en résultent avec l'équation proposée ou puisse éliminer m inconnues, on obtiendra une équation plus

simple qui ne contiendra que n — m inconnues; et lorsque m=n — I, l'équation proposée sera résolue complètement.

Soit proposé de résoudre en nombres entiers l'équation à coefilciens rationnels

45. fl^r'+i^ + c^ + c/x + er:;5; ou pourra toujours supposer que les coefficiens de cette équation sont entiers, car s'ils ne l'étaient pas, ils deviendraient tels en les réduisant au même dénominateur, et en multipliant toute l'équation par le carré de ce dénominateur. De plus on supposera que les inconnues x et z, sont positives; car si elles sont négatives, ou pourra changer leurs signes et les rendre positives; et l'on admettra que tous les coefficiens du premier membre sont positifs ; car s'il y en avait de négatifs, ou les rendrait tous positifs en posant x = xl -f- //, et en déterminaut h convenablement.

Maintenant si l'on multiplie par 4 c2 tous les termes de l'équation (45.), et que l'on fasse 4«2c2 = (^2àix'l-\-bx-\-vYi on aura en développant: j 4û4^ + 4r/2Z-.r3 + 4«V^-[-4û2^x+ 4a2e 1 ( — 4û4x4~ ^albxi — (4«2y-{-Zr).r2— Ibvx — v"\ = °' et partant

46. (4û2z;4-£2 — 4a*c) x* + (2bv — !>- a* d) x + v* — 4«2é? = 0. Dans cette dernière équation v peut être positif ou négatif; si on le suppose positif, il ne pourra jamais surpasser un nombre L qui, substitué pour v dans l'équation (46.), rendrait tous ses termes positifs; alors on devra faire successivement

et on obtiendra par l'élimination toutes les solutions entières et positives qui correspondent à l'hypothèse de v positif. Soit v négatif et égal à — /, et soit t<dx; en substituant cette valeur dans l'équation (46.), elle deviendra

47. (i2 — 4e2e — $ a2 1) x2 -\- {— 2bt — 4«^)ï + (^- 4c2<?) = 0: maintenant si l'on suppose que s soit la plus petite des valeurs entières de t qui satisfont à l'inégalité

4«2(/ + c)>£2, en substituant s-\-ia} pour t dans l'équation (47.), (w étant un nombre positif quelconque) on en déduira une autre équation de la forme

Ax> + Bx -f 4û2c = (.9 4- wf, qni a tous ses coefficiens positifs, mais qui est absurde parceque l'on a par supposition

S'il existe donc une valeur de v, négative et moindre <pio .r, qui Ratisfasso à l'équation proposée, elle devra se trouver parmi les nombres — 1, -2, — 3, .... (.*— 1).

Si dans l'équation (46.), on a V = — « ot «>.r, Pn divisant u par x, on trouvera le quotient n et le reste r<^x, et en posant

4 û' s? = (2 e' x* + A a? — « a? — /•)' = (2 fl« .r2 ■£ h -i- /î) î — r)\ on obtiendra

J 4*4x4 + 4«V,j3 + 4«Vxî4-4«V:r + 4ft2<? |

j 4«4a-4— 4fl2(A — ^).r,+ (4aV — (6 — rijz)x*+2(b — n)rx — r\ = 4a*/?jrï+ (4oV+ 4 ff' c — (A— «)•)*•+ (2 (&— «) r + 4<iarf)* + 4«V — /■» — (); mais puisque 4«2~'>4a4:r4, on aura toujours b~>n, et par conséquent on fera successivement

et en substituant toutes ces valeurs dans l'équation précédente, on déterminera, comme auparavant, la limite de r.

De cette manière nous avons réduit l'équation proposée à dépendre d'un nombre donné d'équations à une seule inconnue, dont on sait trouver tous les facteurs rationnels.

Soit proposé, par exemple, de résoudre en nombres entiers et positifs l'équation à deux inconnues

en fesant z — x1 -\- '2x-\-r, on aura, après les réductions,

(4 + 2r)x" + 4rxH-/'2— 11 =6; si r est un nombre positif, on voit qu'on ne saurait avoir r^>3} si r est é»al à un nombre négatif — p et que l'on ait p<^x, on obtiendra

(4 — 2/»)a:' — 4/> ar-f/»»— 11 = 0;

et en fesant p = 3, ou p^> 3, on trouvera une équation de la forme

ax2 + bx + \l — p%

qui est absurde pareeque par supposition x*^>p2.

Lorsque r est un nombre négatif, et que l'on a — r^x, on fera

/• = — (x-\-t,; en supposant — ^<C-r> et on obtiendra

>'.4'4V "+ 11 = ^Çae* -f fr — «)■ et par suite

2a7J + (2*— lV + 2fa? + 11 = *%

et puisque x"'^>t'i, on ne pourra pas avoir t^>0.

II serait absurde de supposer r = — (nx-{-t)f et /2>1, parceque l'on aurait alors l'équation

qui ne saurait jamais s'accorder avec l'autre

z* — a74 + 4x5 + ll>x4.

Par conséquent l'on obtiendra le système suivant d'équations

z = x2-\-2x+l, s = x' + 2x + 2, z = x9 + 2x, z = x* + 2x + 3, z — x2 + 2x—l, z=zx*+ x, qui étant combinées avec l'équation proposée doivent servir ù déterminer les valeurs des inconnues. Maintenant si l'on effectue les éliminations, on ne trouve que les valeurs x = 1, z = 4, qui résolvent l'équation proposée, et qui donnent , . , 1 ' 1 l4+4x 13+11 = 4*.

L'équation que nous venons de traiter sert à résoudre l'autre 48. Ax* + (Z?y2 + Cy 4- D)x + Ey3 + Fy" -f Gy + /i = 0, lorsque I? n'est point égal à zéro; en effet on trouve l'expression

— (By* + Cy+D)+xr[(Br'-\-Cr+D)-4A(Er*4-FY2 + Gy + H].

dans laquelle la quantité comprise sous le signe radical doit satisfaire à une équation de la forme

z2 = à1 y* + b y3 -\- c y* + dy + e s et lorsqu'on aura obtenu toutes les solutions de cette équation, on aura résolu complètement l'équation proposée.

Si dans l'équation (48.), l'on fait

y = x + t, H=a, G = e, F=f, E = êr,

on la transformera, après les substitutions, dans la suivante

0 = a + bx + cx7+dx>+et-\.ft1+gii+hxt + (d+2g)xii+ (2d-\-g)x'tf

qui est assez générale, et dont on pourra trouver toutes les solutions entières.

Si au lieu de l'équation (48.) on avait considéré la suivante Ax*'+ (B+ Cy... .+Zy f-Ey»+'. . . .+Fy»+P)x+Gy*n-l+Hyi"-t. . . .+/= 0, on aurait pu la résoudre de la même manière, pourvu que tous les coefficiens Dt Et . . . . F, ne s'évanouissent pas à la fois; et l'on en aurait déduit de nouvelles transformées plus générales que celle que nous venons de trouver; car la méthode dont nous avons fait usage pour résoudre l'éqnation (45.), peut s'appliquer également à l'autre plus générale Aa"xmn + bxmn~l + ex™-*. ,.. + px + ç = Ac"z\

On a déjà vu que par F„ (x, y)'t nous désignons uno fonction homogène, rationnelle et entière, du degré n, entre x et y; en généralisant cette notation, nous représenterons dans la suite par F„ (x, y> z,.... etc.), une fonction homogène, rationnelle et entière, du degré n, entre les inconnues

Maintenant, étant donnée l'équation

F8(x,y) + F,(x,r) -f/ = 0, si l'on peut trouver une solution rationnelle de celle-ci *.(?,?) ^ox' + bxy + cf = 0, la première sera résoluble aussi en nombres rationnels. En effet, si les valeurs x = m, y — n, satisfont à l'équation F, (x, y) = 0, en fesant

x = mp + g, r = n/>-f-r, et en substituant ces valeurs dans l'équation

F*(xyy) + Fl(x,y)+f = ax* + bxy + cy* + dx-{-ey+fz=0, on aura

!(o m2 -f- i rn r -\- c n 3) p1 -f- ( 2 a m g -\- b (mr -f- n g) -f 2 c n r + d m -f- e n) p 1 1 + c?î + ^r+crî + ^7 + er+/ ( = :°;

et puisque par hypothèse on a om2-f im/î-f t"3 = 0, on obtiendra

l'équation

aq*-{-bqr-\- c r* -f- c?ç + er "f"/ ' 2amq-\-bn q^-bmr-\-2cnr-\-d m-\-en *

dans laquelle les inconnues g, r, peuvent prendre des valeurs rationnelles quelconques, et en substituant cette valeur de p, dans les valeurs de x et de y, on obtiendra toutes les solutions rationnelles de l'équation proposée.

Il est clair que la même chose arriverait si l'on avait l'équation 49. F» (x, y, z, . . . . etc.) -f- F, (x, y, s, ... . etc.) +/ = 0; qui renferme un nombre quelconque d'inconnues. Et il faut observer qu'étant donnée une solution x==/, y = m, z = n, .... etc., en nombres rationnels, de l'équation

F, (x, y, z, . . . . etc.) = 0, on peut trouver toutes les solutions rationnelles de l'équation (49.) en fesant

x = Ip-\-g, y = mp-\-r, s = np-\-s, .... etc., (les quantités g, r, s, . . . .etc., étant des nombres rationnels quelconques) et l'on voit que ces solutions seront toujours en nombre infini.

Par exemple, on sait qu'un nombre entier quelconque A est toujours la somme do quatre carrés en nombres entiers, on aura par conséquent

A = o2+i2 + c2+ «F; mais si l'on voulait connaître toutes les solutions rationnelles de l'équation

A=x- + iS+y+z\ on ferait

An- = (*/;+?)2+(^ + >f H-^+^+C^ + O2,

et l'on aurait et la formule

., = („+fy+(s+fy+(c+1i)'+(^y,

(dans laquelle on peut donner ù ^, r, s, t, des valeurs rationnelles quelconques) exprimera toutes les manières de décomposer le nombre A en quatre carrés rationnels.

Il faut observer qu'étant donnée l'équation

50. aar + bxy -\- c y1 -\- d x z -{■ eyz-\-fz?-\-gx-\-h y -f- iz -\-k = 0,

si l'équation

e'àr-j- bxy-\- cy2-l- dxz -f- eyz -\-fz2 = 0,

est satisfaite en lésant x = n, y=r, z = m; on substituera dans l'équation proposée les valeurs

* = nP + 7> y = rp-\-s, z = mp + t, et on aura

a q2 -\-h g s -\-c s* -\- d g t -\- e * t +ft2 -{- p ç -\- h s -\-i l -\- k

?' L> (anq -\- ers -\-fmt) -\- b {sn -j- qr) -f- d (rit -j- qm ) -j- e (/■ l -f •> m) -y- p n -\- Il r -\- i in '

où il faut observer que l'orsqu'on pourra résoudre en nombres entiers

l'équation

Ç2an + ùr-{-drn)y-\-(2cr-\-ùn-\-em)s±(2fm-\~ dn+er)t-\-gn-\-hr-\-im — l,

qui confient les trois inconnues f, s, t, on pourra résoudre aussi l'équation (50.) en nombres entiers, d'une infinité de manières.

Si l'équation proposée se réduisait à la forme cr- + cy2+./V4-£ tas <>, pour tAcber de la résoudre en nombres entiers i! faudrait faire

anq -f- ers -\-fmt = + ï.

Cependant il y a des cas dans lesquels l'équation proposée ne saurait être résolue en nombres entiers, quoiqu'elle puisse avoir une infinité de solutions fractionnaires.

Lagrange a démontré que lorsqu'on multiplie ensemble les deux formules

x'i — ay-—bz':-\-abui = F,

Xl—aY%— bZ> + abU2 = F,, ou aura toujours l'équation

FF, = d* — aTT- — bC + abD\ dans laquelle les quantités Ay Z?, C, D, sont déterminées; maintenant si l'on fait

J~, — a y] — az] -+- ab u\

" ~ 'liAoc.^TBY. — bCz.+ abD,,,)

( les quantités x, , y, , ~, , «, , étant des nombres rationnels quelconques) on aura

FFt = (j + ^)-a(B+n)-b(c+j:y+cb(D + ±)\

et cotte formule comprendra toutes les manières dont on peut réduire le

produit Fl<\ à la forme

n2 — a (j1 — br- -\- abs-.

Notre analyse fournit beaucoup de nouvelles formules semblables, car en fesant F = F2(jt, y, zy u, .... etc.) -\- A} F, = F2 (X, r, Z, #, . . . . etc.) + A, ou trouvera aisément que Ton a toujours

FF, = F, {p, ?,r,s, etc.) + A,

(les quantités p, y, r, s, . . . . etc., étant des fonctions rationnelles des quantités A, x, X, y, Y, z, Z, . . . . etc.) pourvu que l'on puisse résoudre l'équation

Ft (•*"»> J. » *ïj ". > etc.) = 0,

en nombres rationnels. Ainsi, par exemple, si l'on fait ■*

F = ar + 41/- — 113 z- + c /4, Fâ = A'2 + 41 F2 — 113Z2 -f c T%

on aura

FF, r=

4 11 /4(FF, + 113r'-p»-4tg'-aQ V

~ \ . 2 (I9p-j-l04ry — 339 rj "J

j.inf3(FF, + 113rI-p'-41^-a^) y

T \ 2(l9p+lb4</ — 339 rj "f /

les quantités p, (/, r, s, étant des nombres rationnels quelconques.

Ce que nous venons de dire par rapport aux formules du second degré, peut s'appliquer aux équations indéterminées du troisième degré, et si l'équation à deux inconnues •

est résoluble en nombres rationnels, l'autre

sera résoluble aussi: eu effet étant proposée l'équation 51. axi+bxny + cxy- + df + ex,1+fxy + gf + hx + iy + kz=Oi si l'on peut trouver deux nombres entiers m, n, tels que l'on ait

a m3 -f- h nr n -J- c m rr -\- d n3 = 0, on pourra faire x^=mp-{-Ç, y = np-\-r, et en substituant ces valeurs dans l'équation (51.), on aura une équation de la forme