J'p* + Bp* + Cp + D = 0, daus laquelle
A =c am3 -j- ùm-n -}- cmri1 -f- ^«3 = 0;
et si l'on fait # = 0, on pourra résoudre l'équation (52.) et Ion aura » — — ; et en éliminant ç entre les équations
ou obtiendra une équation de la forme
p = -F(r), (dans laquelle F(r) exprime une fonction rationnelle quelconque de /•) qui fournira une infinité de solutions de l'équation proposée lorsqu'on donnera à /' des valeurs rationnelles quelconques.
Il est clair que l'on parviendrait à un résultat semblable, si l'équation proposée contenait un plus grand nombre d'inconnues ; car si l'équation
F3 (x, y, z, u, etc.) = 0,
peut être résolue en nombres rationnels, l'autre équation F3 (je, y,z,u,.... etc.) -f F2 (x, y,z,u,.... etc.) -f- F, (x, y,z,u,.... etc.) +/= 0, aura uu nombre infini de solutions rationnelles. Maintenant si dans l'équation précédente on fait
f= —m, F3 C=P, y, z,u,.... etc.) = x3 + y3 — z3 — u\\
Fa (r, y,z,u, etc.) = F, (x, y, z, u, . . , . etc.) = 0,
(m étant un nombre rationnel quelconque) puisque l'équation
peut se résoudre en fesant jr = y=z=«; on pourra résoudre aussi
l'équation
s3 + y3 — z3 — u3 ss m , et l'on aura l'identité
dans laquelle ç est un nombre quelconque rationnel. De cette manière ! on a décomposé le nombre rationnel m en quatre cubes rationnels, dont deux seront positifs et deux négatifs. Mais on peut, lorsque m est un nombre positif, réduire le second nombre de cette équation à ne contenir que des cubes positifs, et c'est ce que nous allons prouver à présent.
Supposons (/ positif et tel que l'on ait bf<^m; il est clair qu'alors les deux premiers cubes du second nombre de l'équation (52.) seront positifs, tandis que les deux autres seront négatifs. De plus dans l'identité
le second membre est la somme de deux cubes positifs lorsqu'on a c3>2A3, car à plus forte raison on aura 2«3>£3; si l'on fait donc
l'équation (53.) se transformera dans la suivante:
,. /w-f-6g»\' / m\' p &V / \ (m+Oî'j'-f-m3 ){
daus laquelle les deux cubes qui composent le second membre seront positifs lorsqu'on aura
Supposons maintenant que cette inégalité soit satisfaite, et reprenons l'identité (53.) en y fcsant
/,„.f 6?n /fm4-6g»)' — 2m»\ . jtt
° : = ^ 67^ / Kwi-j-Gg3/ + m* h 67»'
il est clair que nous aurons l'équation
5. fa+jW /(^ + 673)' -2i»»\« __ (m y \ bq* ) V(m-j-bg3)l + mJ / Vbç/V
(/m + 6g'\'/(W + 67»)'-2m'\' 0/w vy i + Gq^Y/fo+fyqif— 2 m'V j\ 6?' / \m + 6?')1 + wi / ~ VbqV (
63* / Vfm+GsO'+m1 i Um-f-6fy'y/(/n + 673)' — 2>w3\' ■ / m \'(
L/m-HVy /fw + riy'V — 27»3y /^
, /m\' *\ 67» / V/n-f')?3)3-}- m3 / \tj <j
(\ 67" / \(m4-b73)' + //.3 / ~*~ MSgV 1 dans laquelle le premier cube du second membre pourra s'écrire de celle
manière
V 6g1 / V^rt-f62')3+mJ / \(m+62!)3(('"+ti23)1— ^3)*+ m^^Y+m'jV et afin que ce cube soit positif il suffira que l'inégalité
56. 0 + 673)3((m + 673)3— 2w3)3>2™3((™ + 6?3)3 +m3)3, soit satisfaite; et l'on voit que cette inégalité renferme l'autre
(puisque les deux nombres m et (/, sont positifs . par supposition) et que lorsque l'inégalité (56.) sera satisfaite, le second cube du second membre de l'équation (55.) sera positif aussi, puisque si l'inégalité (56.) est satisfaite l'autre
2(™-f-6r/3)l((m-r-6?3) — 2ffl3)'> w3 ((/* 4- 6?3)3 + w3)3, sera satisfaite aussi. Il suffira donc de satisfaire à l'inégalité (56.) pour que les deux cubes du second membre de l'équation (54.), et les deux cubes du second membre de l'équation (55.) soient positifs.
Soit, pour abréger, 6çz—z} l'inégalité (56.) deviendra, en extrayant la racine cubique,
(z + m) ((z + mj -2 m*)- m ((a + m? + ™3) ^2 > 0, d'où l'on déduira, en ordonnant le premier membre par les puissances de z,
On a supposé /«^>6^3, ou bien m^>z; en fesant donc m — ^z, on aura ^>1, et en substituant cette valeur de m dans l'inégalité (57.), ou aura, après avoir divisé par z*, l'autre inégalité
l+(4/2M + (6 — 3^2)^- + (2-3^2)^3 — (14-2^2)^4>0, et celle-ci, eu y fesant A=.l-\-x, se transformera dans la suivante
58. 12-9/-2 + (18-24^2> + (6-24^2)^-(2 + ll/"2)^3-(l + 2^2>4>0, dans laquelle il sera toujours possible de trouver pour x un nombre ra-
tionnel positif qui lui satisfasse; en effet puisque l'on a 126^> 100^2, on aura aussi . 0 Q V0 ». , ■,
et x devra être un nombre tel que la somme de tous les termes qu'il multiplie dans l'inégalité (58.) soit moindre que |§. On fera à cet effet
100 /~2 = 126, car tous les termes qui sont multipliés par x dans l'inégalité (58.) étant négatifs, on ne devra craindre aucune erreur en prenant
pour </~2 un nombre un peu plus grand que la valeur exacte de ce radical. Par cette substitution l'inégalité (58.) se transformera dans la suivante 33 — 622* — 1212*- — 793 x' — 22(ix4 > 0;
d'où l'on déduira, on fesant x ■= — ,
y 7 — ït.) — jj y — -wy — jj ->";
et comme — -'y3 est le plus grand coefficient négatif de cette inégalité, elle sera toujours satisfaite en lésant
/ — jj r l — ut
et à plus forte raison en lésant
y = Vr + ", (« étaut une quantité positive quelconque) d'où il résulte que la valeur de
satisfera à l'inégalité (58.).
Maintenant l'on a
m = ^ = c +■*» = (.+îi^ri-> = f>(i±^:)?',
et partant
mais comme par bypothèse y3<-r, il faudra trouver un nombre rationnel positif (] , tel que (f soit compris entre
-s- et
et il est clair qu'on pourra toujours trouver une infinité de valeurs de çs comprises entre ces limites, valeurs qui satisferont ù toutes les inégalités de condition que nous venons de trouver. Maintenant puisque le binôme
/« + 6glV (JUX \ tîq1 J \6gV '
ce réduit à la somme de deux cubes positifs, à l'aide de l'identité (54.),
et que d'après l'analyse précédente on peut réduire l'autre binôme
fm + fiqiy/Çm + Sq*)' — 2m*\' t m \l \ 6^ /Mm+eï'J' + i»1/ Kbq1)' A la somme de deux cubes positifs à l'aide de l'équation (55.), il est clair que l'on pourra réduire le second membre de l'équation
- - ■•v3£)f+ (=iH- (»tW
à la somme de quatre cubes positifs; er*^>artant on aura pour résultat, qu'un nombre quelconque rationnel positif peut toujours se décomposer, d une infinité de manières, en quatre cubes positifs, en nombres rationnels
Lagrange en cherchant les formes cubiques qui se reproduisent, lorsqu'elles sont multipliées entre elles, trouva la formule
j +(A2— 2ac)xz2 + cy3+acy2z + bcyz'i + c,2zi ]' qui étant multipliée par une formule semblable donne un produit de la même forme. D'après les principes que nous venons d'exposer on peut trouver un grand nombre d'expressions nouvelles, de la même espèce que la formule (59.), et qui ne sont pas comprises dans celle-ci. En elFet étant données les deux équations,
F = F, (a;, y, z, u, . . . . etc.) + A, F, = F3 fo, ylt zlt «,,... . etc.) -j- A, on pourra toujours faire
FF, = F3(r, s, t, v, etc.) fJ,
(les quantités r, s, t, v, . . . . etc. , étant des fonctions rationnelles des quantités A, x, xiy y, ylt z, z, . . . . etc.) pourvu que l'équation
F,(X, T,Z,U, etc.) = 0,
puisse être résolue en nombres rationnels. Ainsi par exemple en fesant
F = x>+f + z> + u\ F^.X'+V+zi+p3, on aura l'identité
//FF,4(r+J-r/)'-r'-5»-/» . \', /F^-HH-s-t-Q'-r'-s»-/» , V
FF—) 3(C'-+H0î+ri-5s-<^ r 'i+U^+O'^1-^2) I
J A- (s FF^Jr+t+rf-r'-s'-t'y ■ / FF,+(r+S+ty-,3-s>-tH< ( TV Z^r+s+tf + r2-*1-^) J "T \ 3((,+s+t)*+r*-s2-t1) ) dans laquelle r, s, t, sont des quantités indéterminées.
Euler a démontré pour la première fois, qu'un nombre quelconque rationnel positif est toujours égal à la somme de quatre carrés en nombres rationnels; il a démontré aussi, que le produit d'une somme de quatre carrés, par une somme de quatre carrés, est semblablement la somme de quatre carrés: l'analyse précédente montre que l'on peut généraliser ces deux théorèmes, et les étendre aux troisièmes puissances.
La méthode que nous avons exposée n'est plus générale, lorsque les formules que l'on considère passent le troisième degré ; et c'est à ce degré qu' Euler et Lagrange se sont arrêtés dans leurs recherches. Cependant on peut trouver des formides de tous les degrés qui se reproduisent lorsqu'elles sont multipliées par des formules semblables. Ainsi, par exemple, pour le quatrième degré on a les deux formules 3x*+y*—z*—3u2, 30x* + 2y*—'20z*—12u\
qui représentent rationnellement tous les nombres rationnels, et chacune desquelles se reproduit lorsqu'elle est multipliée par une formule semblable.
Lagrange en partant de la formule (59.) a trouvé une infinité de solutions entières de l'équation
F, (a-, y) = a *' + b x'y + exf + dy> = s' ; et il a cru que cette équation offrirait beaucoup de difficultés si on voulait la résoudre autrement que par sa métliode: nous allons voir maintenant qu'elle est un cas particulier d'une équation générale dont on peut toujours avoir une infinité de solutions entières.
Soit proposé de résoudre en nombres entiers l'équation
60. JF«^''^'-'"-'etc-) + F'"('r2'^'-'""etc0j = F,(^,yocJ....etc.), } +FP G1*»-, .TV» zr,....etc.)\
dans laquelle on exprime toujours en général par
FpO**.-, /'->-'-> ....etc.), un polynôme homogène, rationnel et entier, du degré p (p étant un nombre entier positif) à coefficiens entiers entre les variables
xr , yr , zr , .... etc. ; si l'un quelconque des exposans n, m, .. . . p, ç, n'a de facteur commun avec aucun des autres exposans, on pourra toujours résoudre d'une infinité de manières l'équation (60.). Eu effet, soit </ l'exposant qui n'a de facteur commun avec aucun des autres exposans n, m, .... pi on mettra u à la place des inconnues xs) ys, zs, .... etc. dans le polynôme
et en supposant que la somme des coefficiens du polynôme
*q\.x»i y* > ~s> • • • • etc.), soit égale à A, on aura
F, (m, U, u, .... etc.) = bun',
puis en fesaut, pour abréger, le nombre a égal au produit n X m X • • • • X P>
on écrira dans l'équation (60.), (4X)" ù la place de x, (bY)n ù la
place de y, (bZ)" à la place de z> ... . etc.; puis on écrira (b Y,)m,
n la place de x,, (b Y,)"' à la place de yt, (J>Zy* à la place de zti .... etc.; et ainsi de suite jusqu'au dernier polynôme du premier membre dans le-
quel on écrira (bXry A la place de xr, (b Yry à la place de yr, (b Zr)p à la place de cr, .... etc.; où il faut observer que les quantités
-A. j X j /i 9 ■ • • • OtC» y
-^■î j i? ^ij •••• GtC« ?
•^r) 3 ^<r J • • • • GlC» •
expriment «les nombres entiers quelconques.
Maintenant pour déterminer la valeur de u, Ion fera
j.Fn((bX>f,t (bYf, (bZf, .... etc.)j '+ I^t41')". (ÙY>f> (bZfn> •••• etc-)> = »,
'+±Fr((Ax/, (A1V)p, (*z/, ....etc.)]
et il est clair que u sera un nombre entier. A présent si l'on multiplie tous les termes de cette équation par u"1, (t étant l'un des nombres entiers et positifs qui résolvent l'équation ù deux inconnues at-\-i =<fv) et que dans l'équation (60.) l'on fasse
x =^X^)% y = (bYu'y, z = (b'Zu'Y, etc.,
^1 = (AXl«7", 7, = (à !>')'% zl = (6Zlu'f, .... etc.,
xr=z(bXru1)T yr = (£J><)^, Zl.^{bZ,.uiy, .... etc., on aura résolu l'équation proposée d'une infinité de manières, et l'on obtiendra l'identité
Y„(ibXui% (bYu'f, (ùZu'f, etc.)]
!+f.(c*W, (bryf, (bzyf, ....etc.) LFy(w,,v,5....etc0.
'-f-Fp((6A>y, ft&fltft (^r«0l etc.))
Il serait facile de généraliser cette méthode, et de l'appliquer à beaucoup d'autres équations composées de polynômes qui seraient toujours homogènes, mais qui pourraient être fractionnaires et même transceudans ; néanmoins comme ces recherches ne présentent aucune difficulté, nous croyons ne pas devoir nous y arrêter plus long teins.
Ce mémoire fesait partie d'un travail sur la théorie des nombres prcsenle eu 1823 à l'Académie Royale des Sciences de Paris.
MÉMOIRE
