SUR LA RESOLUTION DES EQUATIONS INDETERMINEES À L'AIDE DES SÉRIES

Introduction.

J jes formules qui servent à résoudre en termes finis les problèmes analytiques sont si peu nombreuses, qu'il n'y aurait que des questions trèssimples que l'on pourrait traiter dans le calcul des séries. Cependant jusqu'à présent on n'avait jamais tenté d'appliquer ce calcul aux équations indéterminées, que l'on tâchait de résoudre par des transformations, en «aidant des propriétés spéciales des nombres, que le génie de quelques grands géomètres avait pu découvrir; quoique dans le seul cas de l'analyse indéterminée, les méthodes d'approximation fournissent des solutions exactes. Car comme, lorsqu'il s'agit d'équations indéterminées, les inconnues doivent avoir des valeurs entières, il est clair qu'ayant trouvé deux limites entre lesquelles doit être comprise la valeur d'une inconnue, cette valeur ne peut être que l'un des nombres entiers compris entre ces deux limites. D'où il résulte qu'en égalant successivement à tous ces nombres entiers 1 inconnue dont il s'agir, on pourra, par 1 élimination, ôter cette inconnue de l'équation proposée, qui se réduira de cette manière à un système d'équations dans lesquelles le nombre des inconnues sera diminué de l'unité.

Dans ce mémoire nous appliquons le calcul des séries aux équations indéterminées. Notre méthode est fondée sur ce théorème très -simple, que lorsqu'ou a une équation dont chaque membre se compose de deux termes , l'un desquels est un nombre entier, et l'autre est une fraction moindre que l'unité, il faudra que les deux nombres entiers soient égaux entre eux, de même que les deux fractions. Il résulte de là que lorsque d'une équation indéterminée à deux inconnues, on aura déduit la valeur d'une fonction donnée des inconnues développée en série convergeute, de manière qu'une partie de la série soit une fonction entière des inconnues,

et l'autre partie soit mie fonction fractionnaire telle qu'on puisse la rendre plus petite que l'unité, en donnant aux inconnues une valeur plus grande que des limites données, il faudra que ces inconnues soient comprises entre ces limites, ou bien on pourra égaler à zéro la partie fractionnaire, et la partie entière de la série fournira de cette manière une nouvelle équation :\ deux inconnues qui devra exister en même tems que l'équation proposée et qui servira à résoudre celle-ci complètement.

Nous appliquons d'abord ces principes à des équations indéterminées très -simples, en montrant comment, par le développement en séries, on peut les décomposer en deux autres équations, dont l'une en termes finis ne renferme que des quantités entières. Puis nous résolvons des équations plus compliquées algébriques ou transcendantes. Nous montrons ensuite comment l'on peut résoudre les équations dans lesquelles il faut extraire les racines, d'un ordre quelconque, de certains pobynomes donnés, et nous fesons voir que daus ce cas, afin que notre métbode soit applicable, il faut satisfaire a la condition que l'on puisse extraire la racine de l'ordre dont il s'agit, du terme qui contient le plus grand exposant. Enfin nous résolvons l'équation proposée par rapport à l'une des inconnues, lorsque cette résolution est possible, en fesant observer que daus ce cas, lorsque, en donnant aux inconnues ou a l'une délies seulement des valeurs plus grandes qu'un nombre donné, les racines deviennent imaginaires, il faudra nécessairement prendre pour les inconnues des valeurs moindres que ce nombre, et l'équation proposée sera résolue complètement.

En traitant de cette manière les équations indéterminées qui sont du second degré par rapport à l'une des inconnues, nous montrons quelles sont les conditions auxquelles on doit satisfaire afin de pouvoir résoudre complètement ces équations. Nous trouvons aussi les conditions auxquelles doivent satisfaire les équations qui sont du troisième degré par rapport à l'une des inconnues, afin qu'on puisse les résoudre complètement à l'aide des formules qui donnent les racines des équations du troisième degré. On pourrait faire les mêmes considérations sur les équations qui sont du quatrième degré par rapport a l'une des inconnues, quoique dans ce cas ces recherches se compliquent beaucoup. Mais comme passé le quatrième degré ou n'a aucune méthode pour trouver les racines des équations algébriques , nous ne pourrions pas aller plus loin par des formulés fiuies, et nous avons dû recourir aux méthodes d'approximation.

Si Ion cherche, par le théorème de Lagrange, I expression en séries des racines d'une équation algébrique quelconque, on obtient plusieurs développemens, parmi lesquels il faut choisir ceux qui deviennent convergens lorsqu'on y substitue les valeurs des coefficiens. En général ces développemens contiennent des radicaux, mais quelquefois ils en sont délivrés, selon le degré de l'équation proposée et le nombre des termes qu'elle renferme. Maintenant, si l'on suppose qu'il s'agisse de résoudre une équation indéterminée a deux inconnues, il est clair que l'on pourra la résoudre, par le théorème de Lagrange, par rapport à l'une des inconnues, en considérant les coefficiens comme des fonctions de l'autre inconnue. Alors lorsque la série sera convergente, et que l'on pourra faire disparaître les irrationnels qu'elle contiendra, on obtiendra une équation composée d'une partie entière et d'une partie fractionnaire; et si l'on rend celle-ci plus petite que l'unité (en donnant à l'inconnue qu'elle renferme une valeur plus grande qu'une limite donnée), ou aura une nouvelle équation qui devra subsister en même tems que l'équation proposée, ou bien il faudra donner a l'une des inconnues une valeur moindre que la limite dont on vient de parler: et dans les deux cas l'équation proposée sera résolue complètement.

En traitant de cette manière les équations qui sont du second ou du troisième degré par rapport à l'une des inconnues, nous retrouvons les conditions que nous avons déjà obtenues en considérant la forme des racines; et même nous trouvons de nouveaux cas de solution. Enfin nous montrons de quelle manière on peut résoudre les équations plus générales, et nous exposons quelques artifices analytiques qui peuvent servir à la résolution de plusieurs équations indéterminées.

Lorsque la série dont on doit faire usage pour avoir la valeur de la racine cherchée contient des quantités irrationnelles , notre méthode exige pour être applicable, que l'on puisse résoudre une nouvelle équation indéterminée avant d'obtenir la résolution de l'équation proposée; mais lorsque l'irrationualité ne se montre pas, il suffira d'obtenir une série convergente qui fournira la résolution complète du problème; et il faut remarquer que les conditions qui doivent être satisfaites dans tous les cas, afin de résoudre par cette méthode les équations indéterminées a deux inconnues, ne regardent que les termes qui dans chaque coefficient de l'in-

connue, par rapport à laquelle on a résolu l'équation, renferment les plus grandes puissances de la variable.

En général au lieu de chercher le développement en séries dune racine de l'équation proposée, on pourra chercher une fonction quelconque des inconnues, et si la suite que l'on obtient de cette manière peut devenir convergente, on aura résolu complètement l'équation proposée.

La méthode que nous exposons dans ce mémoire sert à trouver la résolution d'un infinité d'équations indéterminées de tous les degrés, que l'on ne saurait résoudre d'aucune manière par les principes connus. On peut aussi l'appliquer aux équations contenant un plus grand nombre d inconnues, en les résolvant successivement par rapport à toutes les inconnues l'une après l'autre.

Analyse.

Etant donnée l'équation

61. A + « = B + &, dans laquelle A et B sont deux nombres entiers, et « et (3 sont deux quantités positives quelconques (eu observant qu'on peut toujours les rendre positives) plus petites que l'unité, il est clair que l'on aura

H résulte de là que si d'une équation à deux inconnues Ç>(j7,y)=0, on peut tirer, d'une manière quelconque, une équation de la forme (61.), ou pourra déterminer, par l'élimination entre les deux équations

Ç(x,y) = 0, A = B, les valeurs de x et de y. En général étant proposé de résoudre en nombres entiers l'équation à n inconnues

Ç (x,y, z,) . . . . etc.) = 0, si l'on en peut déduire, par des opérations quelconques, les m équations

Jt-^«l = B1 + &, ^a + a2 = fi, + /3„ ....^m + «m = £ro + 3m, dans lesquelles les quantités

Ai , A2 , . . . . Am , ifl , r>2 , .... -Dm , sont des nombres entiers, et les quantités

«,a «,, .... «,„, (3,, (32, .... pm, sont des fractions positives (ce qu'on peut toujours supposer), plus petites que l'unité, on trouvera les équations

■™i == *>i i -"i == "2 > • • • • -dm = "m . qui étant combinées avec l'équation

<P(*>r> z> etc.) = 0,

donneront, après l'élimination, une équation qui ne contiendra plus que n — m inconnues.

Nous répéterons ici la remarque que nous avons déjà faite précédemment, que si par un procédé quelconque, on est parvenu à tirer de

1 équation

<P(x, y, z, . . . . etc.) ss 0,

une valeur approchée <5 de x telle, que l'on sache seulement que la valeur de ^ doit être toujours comprise entre M et TV, on trouvera la valeur exacte de x en l'égalant successivement à tous les nombres entiers compris entre M et iV,

Maintenant soit proposé de résoudre en nombres entiers l'équation

a-\-alx-\-a1xz -{-0,0?"

y 6+6jX-j-6aora -\-bmxm*

on fera d'abord

a-\-alx.... + anx* = Xn, b + blx.... + bmxm = Xmy et en général Xr représentera un polynôme eu x du degré /• à coefficiens rationnels : par conséquent il s'agira de résoudre en nombres entiers l'équation

Xn y = y-

dans laquelle nous distinguerons trois cas dilférens, selon que l'on aura

Soit m^>ni on poura déterminer facilement un nombre entier L

tel qu'en substituant pour x dans la fraction ~ la valeur L-f «(« étant

une quantité quelconque réelle et positive) on ait toujours (abstraction faite des signes) Xm>Xn; on pourra de même déterminer une seconde limite inférieure L, telle que si l'on fait x = Lt — a, on ait encore Xm > Xn •

et comme si l'équation proposée est résoluble il faudra que la fraction —

soit un nombre entier, on ne pourra donner ù x que les valeurs suivantes

x = Li , x = Ll -\- \} . . . . x = L ; de sorte qu'en éliminant x successivement entre l'équation proposée et l'une des équations précédentes, on aura un nombre L -f- 1 — Ll d'équations en y. dont les racines entières, s'il en existe, fourniront toutes les solutions de l'équation proposée.

Lorsque m = n, on divisera Xn par Xm et on obtiendra un quotient r2 plus un reste qui sera de la forme "— , en indiquant toujours

bm ^in

par X„, un polynôme en x du degré m — 1 à coefficiens rationnels. Maintenant on aura, lorsque n = my

et partant

bmy = 0m + 6m^n,

d'où il résulte qu'en fesant bmy — am = zi on devra résoudre en nombres entiers l'équation

dont nous savons déjà trouver toutes les solutions entières.

Lorsque n^>m, on fera n = m-{-pi et en effectuant la division on trouvera l'équation

dans laquelle les coefficiens A, At, .... Ap, sont des nombres rationnels, et -Xm i est un polynôme en x du degré m — 1 à coefficiens rationnels. A présent si l'on réduit tous les coefficiens de cette équation au dénominateur commun D, on aura

Dy = D(Axr + Aiar-1 .... + Ap)+ ^gf,

et par conséquent

Dy — D(Axr + A1xr-l....+Ap) = !^=!,

et comme le premier membre de cette équation est un nombre entier, si on l'égale à s, on devra résoudre l'équation

-Am

dont nous savons déjà trouver toutes les solutions entières. A l'aide de l'équation

y b + bIac + bix*.... + bmxm ' ' Xmy

on peut résoudre l'autre plus générale

<?(*,y) = ïT>

en indiquant par Ç>(x, y) une fonction rationnelle et entière des nombres

entiers x et y ; car puisque le premier membre de cette équation est un nombre entier, ou pourra trouver toutes les valeurs de x qui rendent entier le second membre, et comme le nombre des valeurs entières que peut prendre le second membre est toujours limité, si on les représente par »,, f2, .... vrJ on aura les équations

<P(*,y) = Vu <P(.*>y) = v*> $(*>y) = «>r,

qui devront exister en même tems que l'équation

et qui serviront, par l'élimination, à trouver toutes le solutions de celle-ci. L'équation, que nous venons de traiter en renferme un grand nombre d'autres plus générales. Aiusi par exemple étant proposé de résoudre en nombres entiers l'équation

dans laquelle F, Fl , f, flt expriment de fonctions entières et rationnelles, ou fera d'abord

F(x) = A'„, f(x) = Xm, F^y) = Yp, l(y) = Yq, en exprimant toujours par X„ et Xm des polynômes en x, entiers et rationnels des degrés n et m, et par Yp et Yq des polynômes eu y, entiers et rationnels des degrés p et r/t et l'on aura

F (g) Xn fi(y) . ^2 .

/(x) Xn ¥JJ) Y/

d'où l'on déduira une équation de la forme

et par conséquent on pourra trouver pour x et y, des limites telles , qu'en prenant pour ces inconnues des valeurs hors de ces limites, on ait toujours, après avoir réduit tous les coefficiens fractionnaires au même dénominateur Dt l'équation

DXn m = DYp^, qui étant combinée avec l'équation proposée fournira toutes les valeurs des inconnues, qui ne sont pas comprises entre les limites dont on vient de parler; et comme les valeurs comprises entre ces Umites peuvent se déterminer séparément avec facilité, on aura toutes les solutions entières de l'équation proposée. Dans l'analyse précédente nous avons suppose n>>/72, mais si Ton avait n = m, ou «</«, on renverserait la fraction, et l'on aurait

■Am ■^mm *p ,

A» Iq

et en général il serait facile de résoudre cette équation dans tous les cas. Soient Xny Xm, Xn Xp, des polynômes quelconques en x entiers, des degrés n , m, r, p, et supposons que l'on ait />>•/*, n^>m; si l'on doit trouver toutes les solutions entières de l'équation