y = é 0* + ^ l'+ A W' • * • + ^ (|)'r + Ai W* etc

dans laquelle la valeur du rapport —r*- ne peut jamais surpasser une limite

Zj, on poussera la série jusqu'au terme ^ -f- l,n% (en prenant pour t le plus petit nombre entier qui satisfait à l'inégalité pt-\-m^>rt-\- «, laquelle sera toujours possible puisque p^>r) et on aura, après avoir effectué les divisions et après avoir multiplié par le dénominateur commun Z>, une équation de la forme

Dy = ax™ + a^— .... + an m +'&,

dans laquelle la fraction ■/ représente une série convergente, dont la

valeur pourra se réduire aussi petite que l'on voudra, en donnant à x des valeurs qui ne soient pas comprises entre deux limites /, /,, que Ton déterminera aisément. Ou voit par là que l'équation proposée sera résolue complètement, par les principes que nous avons exposés précédemment, quelle que soit la nature de la fonction, algébrique ou transcendante, qui est exprimée par le second membre de l'équation (62.).

Soit proposé maintenant de résoudre en nombres entiers l'équation 63. Aa"x<m+bx'"-'....-}-dx + e = Afym'l + bly»"<-\... + dly + el, on pourra d'abord multiplier tous ses termes par A""1, et eu fesant ensuite

A"-\b x^-1 . . . . + dx + e) = r, An~x (fr, ymn~x . . . . + dxy -f e) = j, on aura „ *

et partaut

^«*P 0 + ;r^^ - etc-) = ^"O +;^4^~etc-)'

et cette équation étant traitée de la même manière que l'équation (62.), nous conduira nécessairement à la résolution de l'équation proposée, puisque les séries qu'elles contient sont toujours convergentes, lorsqu'on donne à x et y des valeurs plus grandes que des quantités données.

Si l'on exprime en général (comme ou l'a déjà fait dans le mémoire précédent) par F,(:r, y), un polynôme homogène et entier en m et y, du degré /', on pourra résoudre aussi l'équation

a" y- = b" *"" + Fn, (*, y) + Fn, (*, y) .... + c = A»*»» +/(x, y) ; car en extrayant la racine nm% on aura

■ or= 4x^(l+fez)) = ixr(1+/^|)ctc.), ou bien

>* = .*■ |/'(! - &£) = .y- (l-|gjâ- e.c),

et il faudra faire usage de la première ou de la seconde série, selon que l'on aura i>y, ou J">ï; et dans les deux cas on pourra déterminer deux limites de x et y, telles qu'en prenant pour ces inconnues des nombres entiers hors de ces limites, on ait l'équation

F(x,y) = *;(*, y), qui devra exister en même tems que l'équation proposée, dont on pourra, de cette manière, trouver toutes les solutions entières.

Ou peut résoudre par les mêmes principes l'équation

y = -ÏE

. , V(.anxmn4-bxmn-l.... + c)

qui donnera

Xp

a se» + at a?"-' . . . . + am + ^±i + etc.

d'où l'on déduira une équation de la forme

Dy = X„m + ^p,

qui servira à trouver toutes les solutions entières de l'équation proposée. L'équation

V(a" xmn + b xm"-» . . . . + c)

peut se résoudre aussi en observant que Ion a

' a* x™" -\- bxm"~l ....-{- c*

et il est clair que l'on pourra résoudre de la même manière les équations de la forme

pourvu que l'on ait £>f, et que le rappport de deux coefficiens consé-

cutifs quelconques, de la série comprise dans le second membre, ne puisse jamais devenir infini.

L'équation (63.) renferme la suivante

A* a* = a-y*m 4- by*m~l + py + ç,

qui sert à trouver la résolution complète, en nombres entiers, de l'équation 64. xXayn+byn-\...+cy+d) + x(eyr+fyr-l....+g-y+/l) + iym+kym-\...+ 1=0, lorsque 2r^>n-\-m, et lorsque 2r étant moindre que n -4- m on peut faire en nombres entiers — aiym+n = p2y2\ En effet, en résolvant l'équation (64.) par rapport à xy on trouve

2x(ay»+by"-> . . . . + c y + d) + ef +fy™ . . . . 4- g- y 4- h =

\r({ey+jyr-l--+gy +/0 — 4(«r +Âyn~'-.+^+^Cjm+%m-1-.. + /)),

et puisque le premier membre de cette équation est un nombre entier, le second devra l'être aussi, et il faudra résoudre en nombres entiers l'équation

(Y+/f'-+^ +/,)2-4(«jn+^-.... +cy+d) [iy* 4-*/"-'....+/) = z\

ce qu'on pourra toujours faire par notre méthode lorsque on aura 2f~>n-\-m,

et lorsque on aura 2r<^n -f- m et — iayn+m = p*y2s. Il faut observer

ici que puisque de l'équation

Ax2 + Bx-\- C = 0, ou déduit

2Ax-\-B = ±f(B7 — 4-AC),

la résolution (64.) dérive, dans le cas de 2r>'i4-/n, de la forme des racines des équations du second degré qui admettent sous le radical le coefficient B élevé au carré, sans qu'il soit nécessaire de satisfaire à aucune autre condition; tandis que dans l'autre cas il faut satisfaire en nombres entiers aux équations — ia = p2, m-\-n = 2s. Lorsque 2r<^n -\-m, et que le produit ici est positif, on pourra toujours avoir toutes les solutions positives de l'équation (64.); tandis qui si le produit ici est négatif, on pourra avoir toutes les solutions négatives de la même équation. Mais si l'on a 2 r<^n-\- m, m -\- n = 2s, et que le produit ai soit positif, on pourra résoudre complètement l'équation (64.). Et l'on voit que toutes les conditions précédentes ne regardent que les termes qui, dans les coefficiens des diverses puissances de x comprises dans l'équation (64.), contiennent les plus grandes puissances de y.

Soit proposé maintenaut de résoudre en nombres entiers l'équation du troisième degré à deux inconnues