rp^+i>+ï» = o

dans laquelle ou a

Yr = af -f- a.f-' .... + ar ,

si l'on cherche les trois racines de l'équation (65.), ou aura par les formules connues

et si l'on suppose que l'on ait (ahstraction faite des signes)

4(yr)2->27(r,./'

ou pourra développer on série le radical

1/7 (y-)2 , (Yny v

par les puissances ascendantes de ~, et l'on obtiendra la série conver"(;ute

Y» ■ / (*'»)3 W2TA 2Fr + \2.2/-irrW teJ • • • • + efc. ,

qui, étant substituée dans la formule

V(r 2Yr + V\ÏT7^ + 27f iV?)) ' donnera

*(-&+£+$&)©+*•) = te) ©+-•).

et l'on voit que si l'on peut satisfaire à l'équation — = //', eu nombres rationnels, et à l'équation r — m = S s en nombres entiers, ou pourra extraire la racine cubique de la quantité ^; de même si l'on substitue la

valeur du radical

*U[ïr)î ^ 27 (YrJ\)> daus la formule

on trouvera

et si l'on pourra faire

£ = ^y3' + By3'-4-etc, il est clair que l'on pourra extraire la racine cubique de la quantité;

^/(^. + etc.),

et l'on voit que l'on trouvera les mêmes conditions que nous avons déjà obtenues, c'est à dire l'équation — = u*, qui devra être résoluble en nombres rationnels, et l'équation r — m = 3 s que l'on devra résoudre en nombres entiers.

Il résulte de l'analyse précédente , que lorsqu'en donnant à y des valeurs qui ne sont pas comprises entre deux limites données Là et Ll , on peut satisfaire (abstraction faite des signes) à l'inégalité

Yr(Ym)* 4 {¥„)' ^27' il sera toujours possible de trouver toutes les solutions entières de l'équation (65.), si l'on peut résoudre l'équation — = uz, en nombres rationnels, et l'équation r — m =3 s, en nombres entiers. En effet les valeurs de y qui ne se trouveront pas parmi les nombres entiers compris entre L et £y, , fourniront une équation de la forme

Dx = Ay> + By~....+C + f,

dans laquelle on pourra réduire la fraction -j- (qui est une fonction de y) aussi petite que l'on voudra, en prenant pour y des nombres entiers qui ne se trouvent pas compris entre deux nouvelles limites /, /, ; et partant il faudra donner à y des valeurs entières comprises entre ces limites /, /,, ou bien l'on aura l'équation

Dx = Ay* -f By°-X . . . . + C, qui devra exister en même tems que l'équation (65.); et dans les deux cas on pourra trouver toutes les solutions entières de l'équation proposée, par la métliode que nous avons exposée précédemment.

Si en donnant à y des valeurs non comprises entre deux limites Gnies l et ll} l'on avait (abstraction faite des signes)

Yr(Ym)' 4 {Tny ^27' on trouverait aisément (par une analyse semblable à celle dont nous venons de faire usage) que pour résoudre complètement dans ce cas par notre méthode l'équation (65.), il faudrait pouvoir résoudre 1 équation -- = «% en nombres rationnels, et l'équation n — r = 2 s, en nombres entiers.

On pourrait appliquer les mêmes principes aux équations qui sont du quatrième degré par rapport à l'une des inconnues; mais dans ce cas les calculs qu'il faudrait effectuer deviendraient très -longs, et d'ailleurs passé le quatrième degré l'on se trouverait arrêté par l'impossibilité de résoudre les équations algébriques des degrés supérieurs. Nous allons reprendre maintenant cette théorie dans toute sa généralité, à l'aide du théorème de Lagrange qui sert à exprimer en séries les racines des équations algébriques, et nous exposerons avec plus de détail ce que nous avons à peine indiqué dans l'analyse précédente.

Etant proposée l'équation

66. a — bx-\-cxn = 0, on sait, par le théorème de Lagrange, que lorsqu'on a (abstraction faite des signes)

co"-* (n — îy-1

une des racines de cette équation sera exprimée par la série convergente

b7' *Al+7*-H — 27b^-+ 2~37t^ +etc.;,

et les autres n — 1 racines seront données par la série convergente

RQ /, a nà* (n — l)2nai \

b8- rV~(^r ijî;-2(„-i)'iV-2. 3ôT=ïF^7î -etc->/>

dans laquelle il faut substituer pour r successivement les n — 1 racines de I équation

Lorsqu'on a (abstraction faite des sigues)

ca"-1 ^ (w — I)—»

les n racines de l'équation proposée seront exprimées par la série convergente

69. r ( l - *T + fc^ll! (4-*)(4-2*)^ + etc<) V na~ 2.rcaaa 2. 3. n'a* '

dans laquelle il faudra substituer pour r successivement les n racines de I équation

Il résulte de là, que lorsque (abstraction faite des signes) l'on a

b" ^ nn f

l'équation (66.) aura autant de racines réelles qu'il y en a dans les deux

équations

bz — a = 0, czn~l — b = 0,

et que lorsque (abstraction faite des signes) on a

ca"-1 (n — li"-' bn -^ n" '

il y aura autant de racines réelles qu'il y en a dans l'équation

czn -\- a = 0.

Maintenant si l'on suppose

a = —a, b = — 0, c —y, («, (3, y, étant trois quantités positives) et si l'on prend pour n un nombre impair quelconque, on aura les deux équations

yz»~> + (l = 0, yzn — ce = 0, dont la première aura toutes ses racines imaginaires, tandis que la seconde n'aura qu'une seule racine réelle; et par conséquent l'équation

70. yxn +/3.r — a = 0, (dans laquelle «, (3, y, sont trois quantités positives) aura toujours une seule racine réelle, quelle que soit la valeur des coefficiens «, 0, y. A présent si dans l'équation (70.) on fait, par exemple, a = pymn -f ç, (3 = rymn~2-\- s, 7 = t, (j>3 r, t} étant trois quantités positives) on aura, après les substitutions,

71. pymn + </ = (ry»1"-2 + s)x -f- tx% et par suite (abstraction faite des signes) la quantité

ca"-1 y (—a)"-1 t(— pymn— g)"-» bn (— 0)n [—rymn-^ — s)'1

sera plus grande ou plus petite que - -- — , selon le rapport de m à n.

Soit nm^>2n) alors on pourra trouver deux limites L et Lt de y telles qu'en prenant pour y des nombres entiers quelconques qui ne soient pas compris entre ces limites, on ait toujours (abstraction faite des signes)

72 *(— pr""1— g)""1 <- (« - i)""1

Lorsque cette inégalité est satisfaite, pour trouver toutes le» valeurs de .r qui résolvent l'équation (71.) , il faudra faire usage des deux séries (67.), (68.); et en substituant dans la première de ces séries les valeurs a = — « = —py'""-^9} Z/ = — j3 = —ry'""-2 — s, c — y = /,

on aura

( ! i *(— prmn — y)""' , 2m*(— pr™ — g)«»-t

'6' x ~~ \ry""-2-\-s/\ . 3»3w— 2)<3C— prmn — 7)3'-3 ,

f t 2.3( rym"-2 s)in ••..-!- etc.

Mais comme par hypothèse l'on a mn^>2n, ou bien w>2, et que chaque terme de la série précédente peut se réduire aussi petit que l'on voudra en donnant à y des valeurs entières qui ne soient pas comprises entre deux limites L, Z>,, facilement assignables, on aura toujours (lorsque y n'est pas compris entre ces limites) une équation de la forme

Nx = Af + By+C+l,

dans laquelle TV, A, B, C, sont des nombres entiers, et y- est une fraction

plus petite que l'unité; don l'on déduira l'équation

Nx = Af + By + T, qui devra exister en même tems que l'équation (71.), et qui servira à trouver toutes les valeurs de y non comprises entre les limites L, Lt; mais comme d'ailleurs les valeurs de y comprises entre ces limites peuvent se trouver séparément, l'équation (71.) sera résolue complètement quant à la série (67.); et si l'on suppose que les coefficiens de 1 équation (71.) restent toujours positifs, quelle que soit la valeur de y, il est clair que l'équation (71) ne fournira qu'une seule racine réelle pour x, qui sera représentée par l'équation (73.); ainsi dans ce cas l'équation (71.) sera résolue complètement, pourvu que l'inégalité (72.) soit satisfaite.

Si les coefficiens de l'équation (71.) ne sont positifs, que pour des valeurs de y comprises entre les limites Z/, Ll , on pourra, par l'analyse précédente, trouver toutes les solutions de cette équation qui correspondent ù des valeurs entières de y comprises entre L et Z/,.

Il est clair que si l'équation

py™ + ? = (ry"""* + s)x + tx\ est résoluble par la méthode que nous venons d'exposer, on pourra résoudre aussi l'équation plus générale 74. pynn*pxymn-x + ft/7"-2.... + 7iy + ? = (/y™»-» +/•,/""-*..« + sty + s)x +tx",

dans laquelle les coefficiens

piy ptf ... . ft, 7, r, r, . ... stJ s, t, sont des nombres rationnels quelconques. En effet l'on pourra toujours, dans chaque coefficient de x, rendre le terme qui contient la puissance la plus élevée de y plus grand que la somme de tous les autres, et alors les conditions d'inégalité ne porteront que sur les termes qui contiennent ces plus grandes puissances; et comme les autres conditions ne regardent que ces termes, il en résulte que si l'équation (71.) est résoluble, l'équation (74.) sera résoluble aussi.

Si au lieu de l'équation (74.), on voulait résoudre en nombres entiers l'équation plus générale

ay™ { hy7""-1 + cymn-2 .... -\-d = (eymn-P-\-fymn-P~l .... + g)x -\-hxn, dans laquelle les coefficiens e, h, sont positifs, il suffirait d'avoir m>p, pour en obtenir toutes les solutions entières, ou du moins toutes les solutions entières positives, par notre méthode.

Eu général étant proposée l'équation h coefficiens rationnels

ayn + £y-i + cy -f d + {ef +fyp~l +g)x + h xm,

on pourra, par la méthode que nous avons exposée, trouver toutes ses solutions entières pourvu que le produit eh reste toujours positif et que l'on ait (abstraction faite des signes)

h(ayn + byn-1.... + d)m-> (m — l)m-x (eyP+fyr-l.... + ë)m ** m» '

Ainsi par exemple on pourra toujours trouver toutes les solutions entières de l'équation

af + bf + cf + dy* -f- ef +/y* + gy + h = xiiyt + fcf + ly' + mf + ny' + py+ç) + rx\ pourvu que le produit ir. soit positif.

Lorsque dans l'équation (70.) le coefficient 0 est négatif, l'équation

7S-1 + 0 == 0, aura deux racines réelles, et alors si la condition

yi— t

est satisfaite (abstraction faite des signes) outre la série (67.), il faudra considérer la série (68.), qui fournira deux nouvelles racines réelles de l'équation (70.), en y substituant les valeurs des coefficiens. Mais afin que notre méthode puisse s'appliquer à la série (68.), il faudra que l'on ait

-£ == — (an~l ymn-m + 4y»»-"«-« .... -|- etc.), car alors l'équation o

donnera les deux valeurs réelles

z = ±(aym + £/n-,-t-etc.), et ces deux valeurs étant combinées avec la série (68.), fourniront toutes les solutions entières de l'équation proposée. Si l'on a, dans l'équation

a — bx-\-cxn = 0, (abstraction faite des signes)

ou ne pourra plus faire usage des deux séries (67.) et (68.) pour obtenir les valeurs de x, car dans ce cas ces deux séries deviendraient divergentes: alors il faudra recourir à la série (69.) qui renferme le radical

( — ") , et il est clair que l'équation proposée aura une ou deux racines réelles selon que le nombre n sera impair ou pair; en observant cependant que lorsque n sera pair, et que la fraction — sera positive, l'équation a — bx-\-cxn=.0, n'aura aucuue racine réelle, tant que l'inégalité précédente sera satisfaite.

Maintenant si l'on suppose que les coeffîciens a, b, c soient des fonctions de y, il faudra, pour appliquer les principes que nous avons exposés précédemment, que l'on ait toujours

ca"' {n — l)"-1

et ensuite

— ± = tfr"" + sgr'....+p.r + g = ^y«-+ /z>— « +etc,

car alors on trouvera

l/(ïr) = ér/" + ïym~l + /ym î • • • • + etc- >

et en substituant cette valeur dans la série (69.), on parviendra aisément à la résolution complète en nombres entiers de l'équation proposée. Eu général étant proposée l'équation à deux inconnues

75 \*n(*ym + bymr-i — ' + cy + d) + (ef+jf~\...+ hy + i)x\Q i -Vyp+iyp-l....?y + s) S

on pourra toujours la résoudre complètement en nombres entiers dans les cas suivans.

1°. Lorsque n étant un nombre impair, et les deux termes «ym, eyr, ayant le même signe, on peut trouver deux limites finies L, Lx , telles , qu'en prenant pour y des valeurs entières qui ne soient pas comprises entre ces limites, on ait toujours (abstraction faite des signes)

2°. L'équation (75.) sera résolue complètement lorsque (n étant un nombre entier quelconque, et l'inégalité (76.) étant satisfaite, mais les deux termes aym, eyr, n'ayant pas le même signe) on pourra résoudre l'équation — = a™-1, en nombres rationnels, et l'équation r — m = (n — ï)z, en nombres entiers.

3°. L'équation (75.) pourra être résolue complètement en nombres entiers, (quels que soient les signes des termes aym, eyri) lorsqu'il sera possible de trouver deux limites finies L, L%, telles qu'en prenant pour y des valeurs entières non comprises entre ces limites, on ait toujours

afc„-ij,m+Bp-p (n — l)"-1

et que l'on pourra résoudre l'équation — = a", en nombres rationnels, et l'équation p — m =nzy en nombres entiers.

4°. Lorsque l'inégalité (77.) étant toujours satisfaite, l'exposant n sera un nombre pair, et les deux termes hyp, aym, auront des signes difFérens, on 'pourra trouver toutes les solutions entières de l'équation (75.).

Il faut observer ici que souvent les conditions précédentes ne sont satisfaites, dans l'équation (75.), qu'entre des limites données des inconnues; alors au lieu de trouver toutes les solutions entières de l'équation proposée, on aura seulement, par notre métbode, les solutions comprises entre deux limites connues. Ainsi, par exemple, quelquefois on trouvera toutes le,s solutions positives de l'équation (75.), sans que l'on puisse obtenir les solutions négatives.

Si dans l'équation (75.) on fait n — 2, et si l'on suppose que l'inégalité (76.), qui dans le cas actuel se réduit à celle ci

4«£ym+''Oej2r, soit toujours satisfaite en donnant à y des valeurs non comprises entre deux limites finies L, Ll , il est clair que l'on pourra résoudre complète-

mont l'équation proposée à l'aide des deux séries (G7.) et (68.), car la seconde n'aura, dans le cas de « = 2, qu'une seule valeur qui sera toujours rationnelle.

Lorsque l'on a, au contraire (abstraction laite des signes)

4akym+r'>e2 y", en donnant à y des valeurs quelconques non comprises entre deux limites Finies /, /,, il faudra faire usage de la série (69.), et afin qu'elle ne contienne aucun terme irrationnel, on devra pouvoir résoudre l'équation — = z2, en nombres rationnels, et l'équation p — m — 2s, en nombres entiers. Il est clair que ces deux équations se réduisent aux deux suivantes ak = u2, p-\- m—2t, qui sont celles que nous avons déjà obtenues.

Les deux équations précédentes doivent être résolubles dans le cas que le terme akym+p soit positif, mais lorsqu'il est négatif, et que l'on a

4.akf'+i>>e2y2r, la série (69.) aura deux valeurs imaginaires; et partant les valeurs de x qui correspondent à des valeurs de y non comprises entre des limites finies L, Lx, seront toujours imaginaires; mais comme les valeurs entières de y comprises entre ces limites, se déterminent aisément, on aura résolu complètement l'équation proposée, sans qu'il soit nécessaire de satisfaire aux deux conditions que nous avons trouvées précédemment.

Soit maintenant n = 3 dans l'équation (75.), et supposons (pie l'inégalité (76.) soit satisfaite, dans le cas actuel elle se réduira à l'autre

t?y*r <~27> et il faudra faire usage des deux séries (67.) et (68.), pour obtenir les valeurs entières de x qui résolvent l'équation proposée. A présent si dans la série (67.), on substitue les valeurs des coefficiens de l'équation (75.), ou aura une série convergente qui fournira, à l'aide de notre méthode, toutes les solutions entières de l'équation (75.) qui correspondent à l'une des formes des raciues. Pour obtenir toutes les autres solutions entières, il

faut considérer les valeurs de x fournies par la série (68.); et comme

celle-ci, lorsque n = 2, contient le radical (—) qui, pour l'équation (75.), se transforme dans l'autre

\ aym + bym-1 -\-dt '

il faudra, pour y appliquer notre méthode, que 1 on ait l'équation — ==. u2,

en nombres rationnels, et l'équation r — m = 2s, en nombres entiers, et l'on voit que dans ce cas l'équation (75.) sera résolue complètement. Mais si la quantité comprise entre les crochets dans le radical (78.) demeure toujours négative, pour des valeurs quelconques de y non comprises entre deux limites finies L, Z/, , il est clair que le radical (78.) deviendra imaginaire dans les mêmes circonstances ; alors la série (68.) ne donnera que des valeurs imaginaires de x, excepté pour des valeurs entières de y comprises entre les limites L , Lr, valeurs que l'on considérera séparément. Ainsi dans ce cas l'équation (75.) sera résolue complètement à l'aide de la série (67.), pourvu que l'inégalité

27e/t2ym+2p<4ey soit satisfaite, et sans qu'il soit nécessaire de vérifier aucune autre condition. Si l'on avait au contraire

27«/t2jm+îP>4e3v3r,

il faudrait recourir à la série (69.), et comme celle-ci contient le radical

^— J qui, pour l'équation (75.), devient

/ftrP-f ZyP-'....+ s\~ \arm J èjm-l | d) '

on devra, afin que notre méthode soit applicable, pouvoir résoudre l'équation — = u3, en nombres rationnels, et l'équation p — m = 3s, eu nombres entiers; et si ces deux conditions sont satisfaites, l'équation (75.) sera résolue complètement.

L'analyse précédente montre qu'en appliquant la série deLagrange aux équations indéterminées qui sont du second ou du troisième degré par rapport à l'une des inconnues, on rencontre les mêmes conditions que la forme des racines nous avait fait découvrir, et que même l'on trouve de nouveaux cas de solution. En appliquant notre méthode aux équations des degrés supérieurs, on trouve la résolution complète d'un grand nombre d'équations indéterminées, qu'on n'aurait pu traiter d'aucune manière par les méthodes connues.

Si au lieu de léquation (66.) on avait l'autre a — ùxm + cxm+" = 0,

—) , et alors si a, b, c, étaient des fonctions de j, la première série aussi fournirait deux équa-

tioiis de condition de la forme

— = um, p — r-=//is.

dont la première devrait être résoluble en nombres rationnels, et la seconde en nombres entiers; et il est clair «jue ces équations deviennent identiques dans le cas de m = 1.

Eu général étant proposé de résoudre eu nombres entiers ['équation à deux inconnues

a -f- b x + ex2 . . . . -f- d x" = 0, dans laquelle les coefficiens a, b, c, .... d, sont des polynômes en y entiers et rationnels, à coefficiens rationnels, on réduira d'abord tous ces coefficiens au dénominateur commun, et puis on les multipliera par ce dénominateur pour les rendre tous entiers; ensuite on cherchera par le théorème de La «range les diverses séries qui représentent les n valeurs de x, et l'on trouvera toutes les conditions auxquelles doivent satisfaire les termes qui dans les coefficiens a, b, c, .... d, contiennent les plus graudes puissances de y, afin (pie l'équation proposée soit résoluble par notre méthode, en observant (pie lorsque ces conditions, qui regardent les termes contenant les plus grandes puissances de y, seront satisfaites dans nue équation donnée, on pourra changer dune manière quelconque les autres ternies, qui ne contiennent pas les plus grandes puissances de y, et toutes les équations que l'on obtiendra de cette manière seront toujours résolubles.

Pour résoudre en nombres entiers I équation

F(x,y) = 0, (dans laquelle F x, y) exprime une fonction quelconque entière et rationnelles des inconnues x et y, A coefficiens rationnels) il peut être utile de considérer quelques puissances de l'une des inconnues comme des coefficiens algébriques; de cette manière on réduit l'équation proposée à une antre plus simple, et lorsqu'en résolvant cette nouvelle équation par la série de Lag range, notre méthode est encore applicable, on obtiendra la résolution complète de l'équation proposée. On pourrait aussi dans plusieurs cas résoudre complètement de la même manière des équations contenant trois ou un plus grand nombre d'inconnues: mais ces recherches exigeraient de trop longs développemens, et ne sauraient trouver place ici.

En général au lieu de chercher par le théorème de Lagrange l'expression en série des racines de l'équation proposée, ont peut chercher le développement d'une fonction quelconque des inconnues. Ainsi, par exemple, étant proposé de résoudre en nombres entiers l'équation à

deux inconnues

si l'on peut trouver une fonction entière F (x, y) des mêmes inconnues telle, qu'étant développée par les puissances descendantes d'une autre fonction entière f(x, y) de cette manière

le rapport de deux coefficiens consécutifs demeure toujours positif, et ne puisse jamais atteindre une limite entière A, on trouvera 2B pour la limite de F (oc, y), lorsqu'on donnera à la fonction f(x, y), une valeur égale ou plus grande que 2 A; alors en éliminant une des inconnues entre l'équation

et l'une quelconque des suivantes

FOr,y) = 0, F(avy)==l, F(x,y)=2, .... F^y) = 2£-l,

ou bien entre la même équation

<P (x, y} = 0, et l'une des suivantes

/Or,y) = 05 f(x,y) = L, f{x,y) = 2, f{x,y) = 2A-\,

on aura un nombre 2{A-\-B) d'équations à une seule inconnue, dont les

racines entières exprimeront toutes les solutions entières de l'équation

Nous avons supposé que tous les coefficiens B, Bl9 Bzi .... etc. , avaient le même signe; mais s'ils avaient des signes alternatifs, en fcsant f(xyy)~>2A, on n'aurait plus F(x,y)<^2B. Cependant en fesant /(a;,j)>j!lB, la valeur de F(x,y) serait toujours comprise entre B et B — 1, et l'on serait assuré qu'il faudrait avoir en même tems

.. ,, F(x,y)=Bf <p\x,y) = 0,

ou bien (équation

<P(x,y) = 0, devrait exister en même tems que l'une des suivantes

/(x,y) = 0, f(x,y)=l, /(x,y) = 2, f(x,y) = AB,

et 1 équation proposée serait résolue complètement.

L'esprit de la méthoëe que nous avons exposée dans ce mémoire consiste en ceci, quêtant proposé de résoudre en nombres entiers l'équation à deux inconnues

ou devra chercher une fonction entière des inconnues f{pcty)y telle que l'on ait l'équation

dans laquelle /, (a-, y) est aussi une fonction entière de x et y, et S, St , sont deux fonctions des mêmes inconnues, telles qu'en prenant en même tems (abstraction faite des signes) pour x des valeurs entières non comprises entre les deux limites finies -\-L et — L, et pour y des valeurs entière? non comprises entre les deux limites unies -f- L et — Ll , on

ait toujours (abstraction faite des signes) -y- < 1.

Maintenant il est clair qu'en prenant en même tems pour x des valeurs non comprises entre -f- L et — L, et pour y des valeurs non comprises entre +£» et — L13 l'équation (79.) se réduira si l'autre

80. f(x, y) =/,(*-, y), qui devra exister en même tems que l'équation F (x, y) = 0, et qui donnera, par l'élimination, toutes les solutions de l'équation proposée, non comprises en même tems entre les limites trouvées précédemment. Mais gi les deux inconnues x et j, n'étaient pas comprises à la fois entre ces limites, l'équation (80.) n'aurait plus lieu; cependant alors comme l'on devrait avoir (abstraction faite des signes) x<^±L, ou y<C±.L%, on poserait les équations

x = 0, ar= + l, a? = ±2, .... jc = ±(L — 1),

ou bien les autres

et ou pourrait éliminer une inconnue entre l'une quelconque de ces équations, et l'équation

qui serait de cette manière résolue complètement, puisqu'ayant trouvé d'abord les valeur* entières de x non comprises entre les limites — L et -f- L , et les valeurs entières de y non comprises entre les limites — Lt

et | Lj , et puis les solutions comprises entre ces limites , on aura toutes les solutions entières possibles de l'équation proposée.

Les méthodes que nous avons exposées dans le mémoire précédent et dans celui-ci, contiennent les premiers élémens d'une théorie générale sur la résolution complète des équations indéterminées qui ont un nombre fini de solutions entières. Cette théorie présente de grandes difficultés lorsqu'on veut l'appliquer aux cas particuliers, et demande des recherches fort laborieuses qui ne sauraient trouver place ici, mais que nous espérons pouvoir exposer dans une autre circonstance.

MÉMOIRE

SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES DONT LES RACINES ONT ENTRE ELLES UN RAPPORT DONNÉ, ET SUR L INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DONT LES INTÉGRALES PARTICULIÈRES PEUVENT S'EXPRIMER LES UNES PAR LES AUTRES.

Lu à l'Académie Royale des sciences du Paris le 30. Septembre 1830.

J jorsque Mr. G a us s publia (en 1801) sa mémorable découverte de la résolution des équations à deux termes, il annonça que sa méthode pomait servir aussi à la dhisiou en parties égales de l'arc de la Lemniscate. Ce géomètre célèbre n'ayant jamais fait connaître son analyse, je pensai, il )" a quelques années, que la résolution de ce problème pourrait offrir quelqu'intérêt, et je ru'y appliquai. Dans un mémoire présenté en 1825 à l'Académie Royale des sciences de Paris, j'exposai une méthode nouvelle, fort simple, pour résoudre les équations ù deux termes, et pour trouver directement les équations auxiliaires. J'indiquai en même teins de quelle manière on pouvait généraliser ma méthode et l'appliquer à une classe d'équations algébriques qui comprennent celle d'où dépend la multisection de la Lemniscate. Le mémoire dont nous venons de parler est toujours resté dans les Archives de l'Institut, et doit paraître dans le Recueil des Savons Etrangers*).

*) La resolution des équations à deux fermes que j'avais trouvée en 1S25, a paru dans un mémoire précédent sur la théorie des nombres. Quant à la multisection de la Lemniscate, voici un passage que 3Ir. Arajo a bien voulu extraire de mon mémoire de 1825: passage qui prouve que à celte époque j'avais déjà résolu la classe d'équations dont je publie maintenant la résolution.

^Institut de France; Académie Royale des sciences" ,,Le secrétaire perpétuel de l'Académie pour les sciences mathématiques, certifie ,,que ce qui suit est extrait du mémoire que Mr. Guillaume Libri a présenté à ,, l'Académie le 13. Juin 1825 sur la théorie des nombres."

L'illustre A bel, dont les géomètres regretteront toujours la perte prématurée, publia en 1829 uu travail très - remarquable sur une classe d'équations résolubles algébriquement, mais il périt avant d'avoir pu appliquer son analyse aux belles formules qu'il avait déjà données pour la multiplication des fonctions elliptiques. Il est inutile de dire qu'A bel ne connaissait pas les recherches que j'avais faites précédemment sur le même sujet. Son génie n'avait pas besoin de connaître les idées des autres pour faire des découvertes. D'ailleurs la diversité de nos méthodes montre assez que nous avons travaillé indépendamment l'un de l'autre.

A l'époque à laquelle j'ai entrepris premièrement ces recherches, on ne connaissait pas encore les nouvelles formules d'Abel pour la transformation des fonctions elliptiques. Je suis donc parti des équations, que Fagnani avait trouvées le premier et dontEuler s'était occupé sans pouvoir les résoudre, et qui servent à la multisection de la Lemniscate. J ai montré que par la nature même de leur formation, ces équations sont décomposables eu plusieurs facteurs rationnels, chacun desquels sert à la division de la Lemniscate en un nombre différent de parties ; et j'ai prouvé que dans chaque facteur les racines ont entre elles un rapport donné. La multisection de la Lemniscate m'a) ant conduit à considérer des équations dont les racines avaient entre elles un rapport donné, j'ai généralisé ensuite la question, et j'ai supposé que ce rapport était quelconque. A laide de la méthode par laquelle La g range avoit résolu, après Mr. G a us s, les équations à deux termes, je suis parvenu à résoudre complètement les équations dont toutes les racines peuvent s'exprimer rationnellement par une seule d'entre elles. Si les racines ont des rapports donnés entre elles, sans qu'on puisse cependant les ramener toutes à être des fonctions d'une

,, Soit proposée Pér]uation ce" — 1=0, et soit s une racine primitive du nombre „ premier n.; si l'on exprime par r, , r, , .... r„! , les n — 1 racines de l'équation

,, t = 0, il est clair qu'on aura

» ri = r\ , r3=rs, , r, = r\ , etc. ;

„maintenant si l'on suppose que l'équation xm-\- o, arm 1 . . . . -\-am = 0, a les m'ra- „cines r, , r2 , . . . . rm , telles qu'en exprimant, par rp(y) une fonction rationnelle ,, quelconque de y, on ait toujours

»r%== (p [r%), rî=(p(rï), rt = (p(r,), etc., „on pourra encore résoudre complètement l'équation x'" -{-</, ccm~' ....-{- am = 0 „( lorsqu'elle n'a pas de facteurs rationnels) eu employant la même méthode dont

seule, alors en général le degré de l'équation proposée pourra être abaissé. On doit observer qu'il n'est pas nécessaire que le rapport existant entre deux racines soit linéaire par rapport à uue racine et rationnel par rapport à l'autre, comme Abel l'avait supposé. Ce rapport peut être aussi exprimé par une fonction irrationnelle des deux racines, et dans un grand nombre de cas la résolution s'effectuera de la même manière. Cette généralisation n'est pas une vaine spéculation; elle m'a été Indiquée par la question spéciale qui m'avait occupée d'abord. Car dans l'équation de Faguani, les racines sont liées entre elles par une équation qui, quoique très simple, contient des radicaux. D'ailleurs de cette manière on parvient à résoudre une classe d'équations qui échappaient aux méthodes connues.

Dans le problème qui m'avait occupé d'abord (la multisection de la Lemniscate) c'est d'après les rapports existans entre les racines qu'on formait l'équation; mais ordinairement c'est l'équation qui est donnée, sans que l'on sache s'il existe des rapports entre les racines. Il était donc nécessaire de pouvoir reconnaître a priori l'existence de ces rapports, d'après la forme et les valeurs des coefficiens de l'équation proposée. J'ai cherché, par conséquent, pour chaque degré, quelles étaient les équations qui admettaient des rapports rationnels entre leurs racines: et j'ai déterminé les conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficiens de ces équations afin qu'elles soient résolubles par les principes précédens. Ces conditions sont exprimées par des équations indéterminées qu'il s'agit de résoudre en nombres entiers. On voit que la détermination de ces conditions complète la théorie qu'A bel a publiée: car il n'avoit fait qu'indiquer une propriété des racines qui rendait résolubles les équations dans

„ La grange s'est servi (dans les noies de la IIe édition de la Résolution des c'qua- „tions numériques) pour résoudre l'équation à deux termes."

,, Certifié conforme ,,à l'original déposé dans les archives.

J. Arago."

On verra dans la suite de ce mémoire, que c'est précisément par la méthode de Lagrange, que je résous les équations dont je m'occupe ici. Taris le 7. Août 1S32.

Guillaume Li l>ri.

lesquelles elle se trouvait, mais (pour compléter la résolution de cette question) il fallait déterminer vice versa, quelles étoient les équations dont les racines jouissaient de cette propriété; et c'est ce que j'ai fait dans ce mémoire.

Les racines des équations, dont les coefficiens sont des nombres rationnels, doivent avoir de tels rapports entre elles, qu'en les élevant toutes à une môme puissance quelconque, leur somme soit toujours une quantité rationnelle. On peut satisfaire à cette condition de différentes manières: eu les discutant successivement, je trouve la résolution d'une classe assez générale d'équations algébriques, et plusieurs théorèmes nouveaux sur la comparaison des diverses puissances des racines irrationnelles des équations. Puis j'indique les conditions auxquelles les coefficiens d'une équation numérique doivent satisfaire, afin que ses racines puissent être déterminées à l'aide d'autres équations de degrés moins élevés. La recherche de ces conditions conduit encore à des problèmes d'analyse indéterminée.

Dans la seconde partie de ce mémoire, je considère les intégrales particulières des équations différentielles linéaires, comme des quantités analogues aux racines des équations algébriques, et j'en déduis une démonstration fort simple du Théorème de Lagrange. Je donne une formule générale pour exprimer l'intégrale d'une équation différentielle linéaire (dont le dernier terme est une fonction de x) en fonction de ce dernier terme, et des intégrales particulières qu'aurait cette même équation, si sou dernier terme était égal à zéro. Cette formule me parait utile pour obtenir l'intégrale cherchée sans effectuer les nombreuses éliminations successives qu'exige la variation des constantes arbitraires. Je montre ensuite comment on peut exprimer les coefficiens d'une équation différentielle linéaire en fonction de ses intégrales particulières, et je trouve des théorèmes analogues à ceux qui ont été donnés par Newton sur les rapports qui existent entre les coefficiens et les racines d'une équation algébrique. Enfin je fais voir comment on peut intégrer, ou réduire au moins à des équations d'ordre moins élevé, les équations différentielles dont les intégrales particulières ont entre elles des rapports donnés. Ces considérations trouvent une application importante dans l'analyse de l'action réciproque des corps semblables, soumis à des forces de la même nature; et spécialement dans l'action mutuelle des corps échauffés.

J'avais eu l'intention «l'ajouter ici une troisième partie, contenant l'application «les mêmes principes aux équations indéterminées; mais comme ces recherches exigent «le longs développeniens, je réserrerai pour un autre mémoire cette partie «le mon travail.

Premier article.

Equations algébriques.

Etant donnée une Lemuiscate, ou sait *) que pour la diviser en cinq parties égales, on devra résoudre l'équation qui résultera de l'élimination d'une des inconnues, entre les deux é«|uations

2zV(i — z*) 2hV71j-.,4)

En effectuant l'élimination et chassant les radicaux, on trouvera l'équation

Z = (zlh + 20^ — 26s? + 20 z* + 1)2 + 16(=2S— lia2* + 25 zw+'i~zw — 37 zl2 — Tjz" + Ils4— 1) = 0, «]ui peut se réduire au huitième degré, en fesant z* = v.

Si l'on voulait diviser l'arc de la Lemuiscate en un nombre 2"+l de parties égales, on aurait à résoudre une équation eu a, qui résidterait de l'élimination des inconnues entre les équations