s,Vd— aî) . 2z,V(i — z'3) 2z,V(l — z
On peut satisfaire aux deux équations (1.) en fesant «*== + «*, et on tirera de cette supposition les deux facteurs
qui diviseront l'équation Z — 0, laquelle prendra la forme
Nous avons obtenu l'éfjuation Z = 0, en éliminant u entre les deux équa-
*) Fagnani, produzioni matemaliche. 1750. 2 Vol. in 4/o. Tom. 1. ]> 363.
tions (1.)» raa'8 on aurait obtenu une équation de la même forme en u si l'on avait éliminé z entre ces mômes équations (1.). Il résulte de là que les racines de l'équation en u devront être égales aux racines de l'équation en s, et que si l'équation Z=Oa une racine s* = r4, elle en
devra avoir aussi une autre de la forme — .r , r4 — . Lorsqu'on suppose
que cette seconde racine soit égale à la première, on a l'équation
(1 +**)»— 16(1— r% qui donne les deux facteurs du huitième degré que nous avons déjà trouvés. Mais si l'on suppose qu'elle est différente de la première, alors ou a le rapport ^ îe^t-rtf-
qui doit exister entre deux racines z = r, , z = rx du facteur
zm + 52zn— 26c8 — 12z* + l = 0.
En général on voit comment on peut appliquer les mêmes principes aux équations (2.) qui donnent la division de la Lemniscate eu 2"+l parties égales.
Si au lieu des équations
on considère en général les deux équations simultanées
z = <p(ar), x = <p(s), on aura eu éliminant:
et il est clair que l'on pourra faire = = <P(s), x = <P(x), et que l'on aura
Ç((P(z))-z =(<p(z) — z)FL(z) = 0, 9(<P(x)) — jc = (Ç(x) — x)Fl(x) = 0.
Il faut observer ici que dans l'équation Ft (z) = 0, ou Ft(x) = 0,
s'il y a une racine z =ri} il y en aura toujours une autre z = r2 de la
forme r, = (p{i\).
Etaut données les deux équations
z = Ç(x), x = F(z), si fou a en général Ç(F(x)) = F(Ç(x)), on aura d abord les deux équations z = <P(x), z = F(z), qui devront diviser léquation z^=<P(F(z))i et puis l'équation y(g(a))-» __
sera telle quêtant donnée une racine z = rl} il y en aura toujours une autre dz = r2 telle qu'on ait r2 = q> (r^, et une troisième z = r3 qui donnera r3 = F(r,).
Si Ion avait les deux équations <p (x, y) = 0, $ (y, x) = 0 , on en déduirait deux équations de la forme y =^(x), x = \p(y), et on serait dans le cas que nous avons déjà considéré.
Il faut observer que tout ce que nous venous de dire, est vrai quelle que soit la forme des fonctions <p et F.
Maintenant nous allons voir comment on peut résoudre Péquation
Lagrange a démontré*), que si l'on représente par xnx2..m.xmt les m racines de l'équation
X = xm + «, x™-1 . . . . + «,„ = 0, et par 1, a, a1, .... am~l , les m racines de L'équation ym — 1 =(), on pourra exprimer les racines de X = (), de la manière suivante. D'abord on considérera la fonction
' = #i + «^2 + cfxi ....-{- am~l xm, qui est une fonction invariable des quantités
«"x,, ux2, a? x3 .... a.n>~lxm> et dans laquelle, par conséquent, le résultat des permutations des racines Xi , x2 , x3 , . . . . etc. entre elles , sera le même que celui des puissances de a entre elles. La quantité t est ce que Lagrange appelle lu racine de l'équation résolvante.
Il faut observer que at sera le résultat des permutations simultanées de Xi en x2 , de x2 en x3 , . . . . et de xm en xt à cause de a'" = 1 . De même u~t sera le résultat des permutations simultanées de x^ en x3, de xt en xiy et ainsi de suite. Donc si t est une racine de l'équation résolvante, les produits at, art, art, ... . aTO 1 t, seront aussi des racines de la même équation. Par conséquent une équation de la forme
F = P+jt^p-1 -f- Ap — 0,
dont les racines fournissent les valeurs de t, ne devra pas changer en y changeant t en at, t en art, t en a?t, et ainsi de suite. D'où il est fa-
*) Mémoires de Berlin pour lannée 1770. Traité de la résolution des équations numériques 2de édition. Note 12.
cile de conclure quelle ne devra contenir que des puissances de t dont les exposans soient multiples de m, ù cause de cim = 1. Par conséquent si dans l'équation F = 03 on fait tm = 9, on aura une équation en 9, dont les racines seront les différentes valeurs de 6 résultantes des permutations des racines x2, x3, .... xm, entre elles. Maintenant à cause de «'" = a '"' . . . . = 1 , l'expression de 9 sera de la forme
dans laquelle les quantités |„, £,, |2, .... etc., seront des fonctions inconnues de xt, x2, xs, .... etc. qui auront en général la propriété d'être invariables pour les permutations simultanées de xL en x2, de x2 en xiy et de xm en œtj puis de xL en jr3, de x2 en ;r4 et ainsi de suite.
Les quantités £„, ££, |2> etc. étant connues, on aurait tout de suite
les valeurs de xlt x2, x3, etc. Car puisque B = tm, ou a t = y^9, et si on dénote par 1, «, (3, y, etc. les racines de l'équation ym — 1 = 0, et cpie l'on représente par 9„, Si, 52, etc. les valeurs de 9 qui répondent à la substitution successive de 1, a, j3, y, etc. à la place de a. dans la valeur de 9, on aura (à cause de t = xx -\-ax2i . . . . -f- ara-1;rm) les équations suivantes »i
3*1 + x2 + JPj • • • • + ^m = V^9„ ,
Xj -j- ax2 -f- a,x3 + am ixm = /9, ,
Xt + |Sj?2 + &X3 + Ç-m-l^m = / h ,
etc.
qui par addition donneront
v^^+iro.+Vô + vom-,
et par suite on obtiendra les autres racines.
Maintenant soit proposé de résoudre l'équation
du degré m, en supposant que w + 1 soit un nombre premier. Si l'on représente par r l'une des racines de cette équation et par a l'une des racines primitives du nombre premier m + 1 , il est clair que toutes les racines de l'équation Xl = 0 seront exprimées par les quantités
et si l'on compare l'équation Xi = 0, à l'équation X = 0, que nous avons considérée précédemment, on devra, dans la valeur do
t = xt + a. x, . . . . + am-1ûcm ,
substituer r au Heu de xly ra au lieu de x29 ra au lieu de xi9 et ainsi de suite, et l'on aura
t = r + ur" -\-a-ra -f am~l r" ,
a étant l'une des racines de l'équation ym — 1 = ().
A présent si l'on fait ô = £m, et que dans le développement de tm on rabaisse les puissances de a et de r au dessous de cim et de rm+l par les équations a.™ = 1 , rm+1 = 1 , en ordonnant 0 par les puissances ascendantes de «, ou aura l'équation
dans laquelle les quantités £„, |,, £,, etc. seront des fonctions rationnelles et entières de r telles qu'elles ne changeront pas par la substitution
de r" à la place de r, de r" à la place de r", de ra à la place de r" , et aiusi de suite; ou bien (ce qui est la même chose) d'abord par la substîtution de ra à la place de r, et puis par celle de ra à la place de r et ainsi de suite.
Maintenant, toute fonction rationnelle et entière de r dans laquelle ,.»h-i j } peut toujours se réduire à la forme
A + Br+Cr2 + Nrm,
(les quantités A, B, C, .... TV, étant des nombres donnés indépendans de r); mais comme les puissances r, r2, .... rm, peuvent être représentées, dans le cas actuel, par les puissances r, r", r" , etc. (quoique dans un autre ordre), il en résulte que toute fonction £, rationnelle et entière de r, pourra se réduire à la forme
| = A + Br -f Cra + Nr°m~\
en prenant pour A, B, C, .... IV, des coefficiens quelconques indépendans de r.
A présent si l'on suppose que la fonction | représente l'une quelconque des fonctions |0, £ly £2, etc. comprise dans la valeur de 6, on sait qu'elle doit rester la même en y substituant r° à la place de r; et il faudra que l'on ait (eu opérant cette substitution):
% = A + Bra + Cra* + Nr,
d'où l'on déduira
et par suite
l = A+B(r + r" + ra* + r°m~l)
et enfin
g = A + B(r + r2 + rm) = A+Bs,
( en appelant s la somme des racines de lequation xm + xm~l .... .... -+- x + 1=0), ce qui donnera s= — 1; et les quantités |„, £M £2, etc. qui entrent dans la valeur de 8 seront toutes de la forme A-\-Bs=. A — B. Les coefficiens A et B se déterminent par le développement actuel de la fonction 6 = tm3 et puisque les quantités £,, £M |>, etc. comprises dans la fonction 9, sont toutes de la forme A — B, elles seront toutes connues immédiatement sans dépendre d'aucune équation (exceptée l'équation ym — 1=0, qui est semblable à l'équation proposée, mais de degré inférieur). De sorte qu'en indiquant par 1, «, (3, y, etc. les racines de l'équation ym — 1 = 0, et par 9„, 915 9>, etc. les valeurs de 9 qui répondent à la substitution de ces racines à la place de a, on obtiendra
m Ayant trouvé la valeur de la racine r9 on aura toutes les autres par les
puissances r",aa,....ra , et l'équation a?m+1 — 1=0, sera résolue complètement à laide de l'équation ym — 1=0.
En représentant par rlyr2, r3, .... rm, les m racines de l'équation
xm + xm~l ....-far-{-.r+l=0
on a vu qu'elles pouvaient toutes se représenter par la série
ra ,
dans laquelle a est une racine primitive du nombre premier m 4- 1 , on
aura par conséquent
et on a montré comment l'on pouvait trouver toutes ces racines. A présent si en généralisant cette question, on suppose qu'étant proposée l'équation
7 '(x) = X2 = xm + aLxm-L + o,„ = 0,
(qui n'a point de facteur rationnel) et qu'en indiquant ses racines par /j , r2, .... rm, elles soient liées entre elles par les équations
r2 = (Ptrj, r3 = <p(r2), rm = $(/•„,,), rt = Q(rm),
dans lesquelles <P(0 exprime en général une fonction rationnelle et entière de ri5 nous allons voir que par une méthode analogue ù celle dont Lagrange s'est servi pour résoudre l'équation xm-\-xm~l . ... +•**+ 1 =0,
et que nous venons d'exposer, on pourra trouver toutes les racines de l'équation F(jxf) 0#
En effet si l'on répète le raisonnement dont nous nous sommes servis pour la résolution de l'équation x™-{-xm~l. . . . -f-x-j- 1 = o, on trouvera que la fonction
t = xl + ax2 + a"-1 xm
deviendra (pour le cas de l'équation A'2 = 0) de la forme suivante : t = /•, + «<?(#•,) + «^(r,)) . . . . + «m ' <?(<?(•• . . <?>(,•,)) ....), et si l'on fait pour abréger
et ainsi de suite, on trouvera
t =rl + ccQi (rO + a* <p2 (r,) -f- «—' <pm t fo),
a étant l'une des racines de l'équation ym — 1 = 0, qui est toujours résoluble d'après ce qui précède.
Maintenant si l'on fait ô = £m, et que dans le développement de tm on rabaisse les puissances de « au dessous de «m, et les puissances de rt au dessous de r^j ù l'aide des deux équations «m = 1, Ffa) = 0; on aura, en ordonnant ô par les puissances ascendantes de a, l'équation
dans laquelle les quantités £0> |u £>> .... £m-i> seront des fonctions rationnelles et entières de rt telles qu'elles ne changeront pas par la substitution de <Pi(ri) à la place de rlt de (p2(rt) ù la place de <Pi(rC), de <Pi(r{) à la place Ç2(ri), et ainsi de suite; ou bien en général on pourra dire que ces fonctions ne changeront pas par la substitution complète de ^(rj à la place de <Prt, et qu'elles ne changeront pas non plus en mettant <P2(r,), ou (f>î(ri), à la place de rt et ainsi de suite.
A présent, à cause de l'équation F(rL) = 0, il est évident que d'une fonction rationnelle et entière de i\ quelconque, on peut toujours éliminer toutes les puissances de rL supérieures à r™, et qu'elle pourra se réduire à la forme ^ 4 + Br1 + Cr\.... + Nf;i
on aura pas conséquent les équations
r2 = <p, (r,) = A, + By r, + C, r* . . . . + 2Vt r», r3 = <p2 (rx) = ^2 + #, ,^-J-C, r*. ... + 7V2 /?,
rt = <pm (rx) = Am + flm ri + Cm r2 . . . . + Nm rf.
Mais comme toutes les racines r,, r2, r3, etc., sont inégales, puisque par hypothèse l'équation X7 = 0, n'a point de facteur rationnel, on ne pourra pas avoir deux de ces équations dont les coefficiens soient égaux. Alors en considérant chacune des puissances rlt r], r\, .... r™, comme des inconnues différentes, dans les équations précédentes, il est clair que par lélimination on obtiendra
ry = Ax+ B,<Px W + C^Ci) • • • • + N^M, r\ = A2 + B2 & (rj + C2 <ps (r,) . . . . + N,<pm (r,),
et par conséquent toute fonction | rationnelle et entière de rt pourra s'exprimer de cette manière:
| = t + h <?! W + tfofa ) + C<Pm W.
Si au lieu de la fonction £ on prend une quelconque des fonctions £0, £, . . « . g"1*"1 » qui doivent rester les mêmes en changeant r^ en ^(/"i), on trouvera les deux équations
£,= *.+ ^i^(''i) + *afl?s(rO + 'm<Pi W,
d'où il résulte tt=:tm, t, = tî, etc. et par suite
car (<p (r,) -f" $2 (r0 • • • • + <?»» (ri)) exprime la somme des racines de l'équation X2 = 0, et par conséquent est égale à — tflf On trouvera de même pour £1, £2, etc. des valeurs semblables; et l'on aura les valeurs de t — t1al par le développement actuel de la fonction Q = tm. Maintenant si l'on appelle 1, «, (3, y, etc. les racines de l'équation ym — 1 =0, et par Ô(J, 91} 62, etc., les valeurs de 9 qui répondent à la substitution de ces valeurs à la place de a, on aurra
et l'équation A", = 0, sera complètement résolue, car toutes les autres racines se déduiront de celle-ci à l'aide des équations r2 = (Pj (r,) , r3 =
$îW, etc-
Nous avons supposé que toutes les racines de l'équation X2 = 0 étaient liées entre elles par un même équation r2 = <p (r,), r3 = <p (ri) etc. Mais si cette condition n'était pas remplie, et que cette relation n'existât qu'entre quelques unes de ces racines seulement, l'équation proposée aurait
un facteur rationnel, qu'on pourrait trouver aisément en cherchant une transformée \i = 0 telle que ses racines fussent «les fonctions <P des racines de 1 équation A2 = 0. Car il est clair qu'en cherchant le plus grand commun diviseur A = 0, entre A, = 0, et A3 = 0, l'équation L. = 0 ne contiendrait que les racines liées entre elles par le rapport /s = <p V,), r3 = <P(r2), etc., et pourrait se résoudre complètement par la méthode précédente. En général si toutes les racines d'une équation algébrique peuvent être exprimées rationnellement par l'une d'elle, de manière qu'on ait, par exemple:
rs = / fa), rs+1 = / (rs)
rt s=4/(rj, ri+l = -i>(r)
on pourra toujours décomposer l'équation proposée en autant de facteurs rationnels qu'il y a de fonctions <p, /, \p, etc., à l'aide d'une équation dont le degré sera égal au moindre nombre de racines qui entre dans une des périodes r2, r3 , etc.
rs, /Vu, etc.
rt > rt+i ) etc., que nous venons de trouver.
Soit X„ = 0, une équation du degré n==mpi et soient ri » r2 » rî t * » * • rm 9
rm+l i rm+2 i rm+3 j • • • • f~2m ,
etc.,
ses racines, de manière que l'on ait
r2 = «*i(rO, r3 = <p1(r,) = <p,(r,), .... rm = Q^r^) — <Pm(r?), rt = <P{rm),
rm+2 = <Pi(rm+l); rm+3 = <P!(>m+3), .... etc. (en exprimant toujours par (pt une fonction rationelle et entière) mais de sorte qu'aucune équation semblable ne puisse exister entre les racines des difïérens groupes. Alors on cherchera une transformée Xr = 0, telle que les racines soient égales à la somme des racines de X„ = 0, prises m à la fois. Et en même tems on cherchera une autre transformée Xt = 0, telle que si l'on fait
<Pi(y) + <P,(y) + <P3(y) . . . . + <pm(y) = F(y\
les racines de Xt = 0 soient une fonction F des racines de l'équation An = 0. Les deux équations X, =0, A, = 0, auront un facteur <om-
inun D du degré p, et en fesant D = 0, les racines de D = 0 fourniront la résolution complète de Xn = 0. Car à l'aide des racines de D = 0, on pourra décomposer l'équation -Xns=0, en p équations du degré m, qui auront pour racines
n, Pi (fi), $a(/i), .... $»i (/-,),
>Wl> <Pl('m+l)j <M>*m+l), •••• <Pm-!(>m+i),
et ces équations pourront être résolues de la même manière que l'équation X2 = 0 que nous avons considéré précédemment.
Si dans l'équation que nous venons de résoudre, les périodes des racines n'étaient pas toutes composées d'un même nombre de m termes, l'équation proposée aurait des facteurs rationnels qu'on pourrait trouver séparément.
L'analyse précédente montre comment l'on peut résoudre les équations qui résultent de l'élimination des inconnues entre les deux équations (J5(a-1y) = 0, (p (yl x) = 0, et on déduit de la même analyse la résolution complète des équations (2.) (que nous avons considérées au commencement de ce mémoire) desquelles dépend la division en parties égales de l'arc de la Lemniscate.
Nous avons supposé dans tout ce qui précède, que la fonction (P ou (Pi qui exprime le rapport entre deux racines, est uue fonction entière; mais si elle était fractionnaire, on pourrait (pourvu qu'elle restât rationnelle) la réduire toujours à une fonction entière, en multipliant le numérateur et le dénominateur par un polynôme convenable*).
Nous avons vu que si x — rk et x — (Pf/O divisent l'équation
Xn = xn + alx1'-1 + a„ = 0,
sa résolution se réduira à celle d'équations de degré moins élevé. Maintenant supposons que l'équation A„ = 0, ayant une racine x = rl} ait aussi un diviseur de la forme
*m + Ft (rt) xm-% + Fa (#■,) xm~2 \-Fm (r,) = 0,
(les fonctions F1} F2i Fm étant des fonctions rationnelles et entières de r,),
et supposons encore que l'on ait n = m a , et que Ion puisse diviser l'équation .X„ = 0 (du degré n), en a facteurs semblables de la forme
*) Lagrange, résolution des équations numériques, 2de édition p. 216.
xm + ^ifa)*"-1 + F„(rO = 0,
xm + w*(rà*** + F* (rj = o,
*m + *•.(/"„)*— ' . . . . + Fm (#•„) = 0, dans lesquels les quantités rl9 r2, .... ra , sont des racines de l'équation X„ = 0: si l'on cherche une transformée X1 = (), telle que ses racines soient des fonctions Fm des racines de l'équation A'„ = 0; et si en lésant
WtSÙ = rm + l\{ri)rm-\.. . + FM-1 Fm(*J, on cherche une autre transformée X« = 0, telle que ses racines soient des fonctions ^ de deux racines quelconques de léquation proposée, et en cherchant le plus grand commun diviseur entre X1 = Q et X,= 0, on auroit le facteur commun A = 0, dont les racines seraient successivement
Wd, Fm(r2), ....Fm(ra), et qui serviraient à découvrir les valeurs de rl5 r2, .... ra par le moyen d'équations de degré moindre que l'équation X„ = 0. Car l'équation A = 0, est de degré inférieur à l'équation proposée, et la fonction Fm(rl) peut se réduire toujours à ne contenir que des puissances de i\ moindres que r", ù l'aide de l'équation r" -f- a^r^1 . .. . -\- an = 0.
Si l'équation A"n = 0, n'était pas décomposahle entièrement en facteurs de la forme
xm + l\(rl)xm-*.... + Fm(rl),
on procéderait encore de la même manière, et l'équation A=0, serait toujours d'un degré égal au nombre des facteurs semblables par lesquels elle pourrait être divisée. Si Fm(^r1) était une constante indépendante de rt , ou fera x =■ afj -f- a dans le facteur
xm + *", ('.) xm~l . . . . + Fm{r,) = 0, et on déterminera a de manière que le dernier terme contienne r1#
En résolvant l'équation
*m + F1(r1)*"-1 ....+ Fm(rJ = 0 (dont nous appellerons les racines x = s1, s2, .... sm)t on trouve en général Sx —/(rO ; et comme en général / est une fonction irrationnelle, on voit qu'on peut résoudre aussi des équations dont deux racines ont une relation irrationelle entre elles.
Etant donnée une équation X„ = 0, du degré n, qui n'ait pas de facteurs rationnels, on pourra toujours supposer que les coefficiens de cette équation soient des nombres entiers ; car s'ils étaient fractionnaires ou
irrationnels, on pourrait toujours les réduire entiers. Dans les problèmes algébriques ce n'est que très rarement que l'on connaît les relations qui doivent exister entre les racines; et môme Ton ne sait pas si ces relations existent: mais l'on connaît seulement les coefficiens et le degré de l'équation. Pour s'assurer si les méthodes précédentes peuvent s'appliquer A l'équation Xn =f(x) = 0 , que nons considérons , on supposera que rt et r2 étant deux racines de cette équation, l'on ait
<P(ri9 r2) = ûn x r"~l + «„o rn~~ -f- «, rt + a„ = 0,
les coefficiens a09 al} .... c„i, étant donnés par des équations de la forme
,ii— j
a„-i = <^o + fii r2 • • • • -h cn-i r'!rl ,
Dans les équations précédentes les plus grandes puissances de rx et r2 seront r"-1 et r"~~; car s'il y en avait de plus élevées, ou les abaisserait à l'aide des équations f(rt) == 0, f(r2) =■ 0, qui résultent de l'équation f{x) = 0. Les coefficiens
"()» "l > • • • • "n—lj fit) » fil > • • • • fin— 1 J
peuvent toujours être supposés des nombres rationnels: car s'ils étaient irrationnels, on les rendrait rationnels par des élévations A puissance et par d'autres moyens connus; et après avoir effectué les opérations nécessaires on pourrait encore, dans l'équation (fi (/-, , r2) = 0, réduire les plus grandes puissances de rt et de r2J A être moindres que r" et /•", A l'aide des équations / (j\) = 0, /(r2) = 0. D'où il résulte enfin que l'équation (P (r, , r2) = 0, ne peut contenir tout au plus que un nombre n2 de termes.
Maintenant si on élimine r, entre f(rl) = Q, et $(rlt r2)==0, on trouvera une équation de la forme
^(r2, a0, al an t) = 0,
qui, A l'aide de l'équation f(r2) = 0, pourra se réduire A la forme
/,(r2) = Bn x rr1 + S„J2rr2 . . . . + Btr2 + B0 == 0, et on cherchera pour Bu, Blt B2, . . . . #„,, les valeurs rationnelles qui permettent aux deux équations fL(r3) = 0> /(r2)==0, d'exister ensemble, et d'avoir un facteur commun.
Les valeurs rationnelles de B„, B1} .... #„-i, serviront A déterminer les valeurs également rationnelles d' aui al} an^1} et par suite A
trouver les valeurs également rationnelles de b„, bly . . . . An, ; r„, c,,.... .... c„! ; etc. Ou voit que cette détermination dépendra d'un problème d'analyse indéterminée.
Outre les équations dont nous venons de nous occuper, il y en a beaucoup d'autres qui peuvent être résolues, et que nous allons considérer maintenant.
Soit Xn = ï" + fl1ï""1 + ff,ï*":. . . . -f fl„ = 0, une équation du degré n ù coefficiens rationnels ; nommons rly r, , .... rn ses n racines et soit
Sm = r? + /?.... + /? = ~s\m
On sait d'abord que toutes les quantités Slf S2y . . . . Sm, sont rationnelles; mais cela peut arriver de plusieurs manières. Si parmi les racines r,, r2, .. .. /'„, il y en a de rationelles, on les trouvera séparément par des métbodes connues; ainsi nous ne considérons pas ce cas. Mais en supposant toutes les racines de l'équation Xn = 0, irrationnelles, la quantité iS, peut être rationnelle de deux manières. D'abord ou peut supposer que parmi ces racines, il y en a un nombre p<^n, tel que tandis qu'elles sont toutes irrationnelles, leur somme soit une quantité rationnelle; et puis on peut supposer que cela est imposible lorsque p<^n.
Dans le premier cas de p<Cn, on fera rt -\- r2 . . . . rp = R, (R étant une quantité rationnelle quelconque) et on cherchera une transformée X, = 0, de l'équation Xn = 0, telle que les racines de X, = 0 soient la somme des racines de A"n = 0, prises p à la fois ; et il est clair que l'équation Xt = 0 alira au moins une racine rationnelle R, que l'on pourra trouver directement. A présent on cherchera une seconde transformée X2 = 0, telle que ses racines soient égalera R moins la somme de p — 1 des racines de l'équation A"„ = 0, et il est -clair qu'en cherchant le plus grand commun diviseur A entre A„ — (), et X2 = 0, 1 équation A = 0 sera du degré p et aura pour racines les quantités rl} r,, .... rp. D'où il résulte que dans ce premier cas, l'équation proposée aura un facteur rationnel du degré p que l'on savait v^gà déterminer par les méthodes connues.
Si la somme rt -{- r, . . . . + rp est toujours une quantité irrationnelle lorsque p<Cn> les méthodes connues ne sont plus d'aucune utilité; mais il est clair que Ton pourra trouver encore la valeur de rL -\- 2 , . . . -{- rp , lorsque Ax = 0, au lieu d'avoir une racine rationnelle, a un facteur rationnel du second degré. Alors l'équation Xn = 0 pourra être décomposée en deux équations de degré rnojndre, à l'aide d'une équation de second deifré. En général si le facteur rationnel de l'équation Ax = 0, était du degré t, on aurait décomposé l'équation ATn = 0, en t facteurs, ù l'aide d'une équation du degré t.
Cette théorie renferme la résolution des équations ù deux termes de M. Gaufs: elle repose sur ce principe que les racines irrationnelles d'une équation à coefficiens rationnels peuvent, avec leur somme, donner une quantité rationnelle de plusieurs manières.
1°, En formant une quantité rationnelle par la somme de quelques unes
d'entre elles seulement.
11°. Eu formant, par la somme de quelques unes d'entre elles, une quantité rationnelle d'un ordre donné; ou bien en formant une quantité rationnelle qui soit racine d'une équation ù coefficiens rationnels, d'un degré moins élevé que l'équation proposée. 111°. En formant toujours par leur somme des quantités irrationnelles du même ordre que l'équation proposée.
Dans les deux premiers cas, l'équation A'„ = 0, pourra se réduire à d'autres équations de degrés moins élevés.
Si léquatiou A", = 0, n'a point de facteurs rationnels, on pourra lui appliquer la même méthode dont nous nous sommes servis pour ramener 1 équation X„==0, à d autres équations de degré moindre. Et de même au lieu de considérer la fonction Slt on aurait pu prendre £,, S>, etc., et en général, une fonction quelconque des raciues.de l'équation XB = 0, pour tâcher de déterminer la même fonction dune partie seulement des racines.
On peut déterminer « priori quelles sont les équations à coefficiens rationnels dont la résolution peuj^se ramener à celle d'une équation du second degré, et de deux éqftions de degré moitié de celui de 1 équation proposée. La détermin^mon des coefficiens de cette équation dépendent de la résolution d'équations indéterj^feées.
Les principes précédens servent à résoudre un grand nombre d'équations «pion ne pouvait pas trailor par les méthodes connues; on peut facilement les généraliser, et nous ne croyons pas nécessaire d'y insister d'avantage.
Second article.
Equations différentielles linéaires.
Etant donnée l'équation différentielle linéaire de l'ordre n
à coefficiens constans ou variables, si l'on désigne par yL, y%i . . . . y„, les n intégrales particulières de l'équation (P(y) = 0, on aura en général y = C\yl -}- C\y2 . . . . -f- Cny2. Ces quantités yL, y%, . ....y, sont inconnues ; mais si l'on suppose que l'une d'elles (y, par exemple) soit connue, on fera y =■ ytfzdx, (z étant une nouvelle variable) et en substituant cette valeur de y dans l'équation (£>(y) = 0, on aura
. d"-H , dn-lvi r , I
+ «iy.35»- ••• + «« û^Jzdx\ = t».
+ a^y.Jzdx
Mais dans cette dernière équation la somme de tous les derniers termes équivaut à ty{y\) I zdx, et commey = y1, satisfait ù l'équation (Ç) (y,) = 0,
il en résulte que tous les termes multipliés par I zdx s'évanouiront, et on aura une équation en z} de l'ordre n — 1 , de la forme
i *- CL -^ t a. f ** n
*..... etc.)
en divisant par yt , et en exprimant par b\ \: h , . . . . etc. les coefficiens de
dn-'z dn~3Z
j^-i, ^j=3, etc., ou aura
l(p(yi/^,)==£^ + ^g±.... + ^lS = 0;
d'où il résulte que si l'on conuait une intégrale particulière de l'équation différentielle linéaire de l'ordre /?, (P(y) = 0, on pourra toujours la réduire
ù une autre équation linéaire — (p(}i / zdx) = 0, de l'ordre n — 1. Et
en répétant le même raisonnement on prouvera que si dans l'équation linéaire (P'y) = 0, de l'ordre n, on connaît m intégrales particulières, on pourra toujours réduire l'équation <?)(y) = 0, à une autre équation linéaire de Tordre n — m.
Soit proposé l'équation différentielle linéaire
d"y . dn~1y i n
si l'on fait y = zu} (z et u étant deux nouvelles variables) on aura
d"z , du d"~lz . , ]
» ~r~ n + n - — t-7—\ + etc.
dx" ' dxdxn~L ' 1
-f- etc.]
+ «,"f^L+etc./
et comme l'équation n — - -\- a u = 0, peut toujours s'intégrer, il en résulte
qu'une équation différentielle qui est linéaire même dans les deux premiers termes seulement, peut se réduire à une autre équation du même ordre dont le coefficient du second terme sera zéro. En général étant donnée une équation différentielle dont les premiers 772-f-l termes sont linéaires, on pourra toujours faire disparaître le terme m -J- lme à l'aide d'un équation linéaire de Tordre mj et si les m +1 premiers coefficiens de l'équation proposée sont constans, on pourra toujours faire disparaître le terme m-\-lm". Etant donnée l'équation linéaire
0 d"y , d"~lr , v
dans laquelle X est une fonction de x, si l'équation d"z , ri"-1; . n
a les n intégrales particulières zlt z2 . . . . z„, en fes^it y = z, fyt dx, dans l'équation (3.), on aura une équation de la forme
4' 7x^ + bldx^---'-^bn-iyi - -,' maintenant l'équation
a les « — 1 intégrales particulières
JL(h\ JL(h\ jL(zi\
dxVz,/' dxKzJ' dat\zj3
et en lésant dans l'équation (4. ) yi = U^ . ^ j /y2 tf^ 0n aura une éi tion de la forme
pia-
dn—yi dx
112 + 0 t!^lZ?
doc"
+ Cn-2 y 2 =
dx
En répétant successivement des opérations semblables, on parviendrait enfin ù une équation de la forme
yn =
d'où l'on déduirait l'expression
y = ^f<f)fd
1 dx\z,J
(dans laquelle les signes d'intégration / comprennent tous les facteurs qui
les suivent) et cette dernière formule donne l'intégrale générale de l'équation différentielle linéaire
en fonction des n intégrales particulières de l'équation
d"z , rf""1- , .,
dxn ' ldxn~l ~ "
Pour appliquer cette formule à un exemple, soit proposé l'équation différentielle
dzz
dx- ' '
l'équation ^-^ — ~ = 0, a les deux intégrales particulières -t = e* } z2 = e~x;
et partant en substituant ces valeurs dans l'expression
ou aura
= exfe'*xdxfxexdx = exfe~^xdx{exx — ex -\- CL)
— ex{fc,e-^xdx^-fe-xdx{x — V)) = ~C^* + Ce*— x,
et eu fin (en fesant C = A, —^ = J1) on obtiendra y=Aex-{-A1e~x — x,
qui est l'intégrale complète de Iequation proposée.
Il faut observer ici que si y = (p (x) est une intégrale particulière de l'équation
et si Zi , z2, .... s„ 5 sont « intégrales particulières de l'équation
jn -
