du,, /du^i /du„2 . ... fdut/dui/duJ/du

(en observant que chaque signe d'intégration renferme tous les ternies qui le suivent); et par suite, en intégrant par parties, on obtiendra

2L = Jd u„Jd «„, I dun 2... .Jd ujd a3 \u2 ul — f u , d uk)

= fd ujd u„ Jd «„2 . . . .Jd u4 («3 (m2 ux —J"2 d «,) -y«3 </ (,/ , Ul —Jui du,))

et enfin

— /d ((«,«, —/du, ut) ;/3 — /d (k, î/, —/ri i/, bJ B,) î<4) i/5 .. . . j (z;l/

Lorsqu'on connaît toutes les intégrales particulières d'une équation différentielle (qui n'a pas de terme indépendant de y) on pourra toujours former les coefficiens de cette équation par des opérations analogues à celles qui servent à former les coefficiens des équations algébriques, en fonctions symétriques des racines. En effet soit proposée l'équation linéaire de l'ordre n

et soient y\, y2) .... >'„, ses n intégrales particulières, dont la somme est égale à y; si l'on l'ait y = yx I zdx, on aura

v d"~lz . rfr, d"~-z

dx ' dx"~2 d"- - z

d"yx

if'

dx]

L dn~-z , d"-ly, H , f

+ *y* 55=»-- + a*53=St/*<'*> =0,

et comme la somme des termes multipliés par fzdx se réduit à zéro,

en divisant par y, 1 équation 1=0, on pourra la mettre sons la forme

dn~\z , , dn-

et ou aura« - f + aiyi = ^i7i^' et Par su'te ffi =

*dyl

j', dj?

+ ^i . Mainte-

nant I équation Z == 0 , a pour iutégrales particulières les n — 1 quantités

£(vf)> À(^)» •••• £(*r)« et si lon réPète sur équation Z = 0, la même opération que nous avons faite sur l'équation ï = 0, nous trou-

verons

dx \yxf

+ cl.

Ou trouverait des transformations semblables pour ct , c?j , etc. : mais comme les équations Y = 0, Z = 0, etc. diminuent toujours d'un terme, après n transformations on parviendra ù une équation dont le coefficient du second terme sera égal à zéro. Alors la série des termes al} bn clt dly etc. s'arrêtera ù ce terme là et on aura, en substituant,

ndy, y,dx

«> rfî (r A ^

dx\yj

etc.

Pour appliquer cette formule à un exemple, soit proposée l'équa-

tion —^ — 7?ry = 0, dans laquelle si l'on fait y = yi+y2> on aura yl =

t\emx', y2=C\e~mx. D'abord on a n=2: et par suite, en substituant dans la formule précédente (dans laquelle il faut considérer les deux premiers termes seulement parceque il n'y a que deux intégrales particulières) on aura:

dx-' V, ) 2 m C, emx , dx"-\ C, I

2 d y , fla y,/ ^ "' ^1 g 1

ff| ~"~ r, i/o?"1" d h\\ ' ~~ Çtem* ~d /C, e~-'"v\

r/aAv,/ rfxl C\ )

et partaut ^, = 0; ce qui résulte de l'inspection de l'équation proposée.

Dans la formule (6.) on peut permuter y, en y2 et vice versa, car a, est une fonction symétrique des intégrales particulières; en fesant toutes les permutations et ajoutant les résultats on obtiendra

( dvx \ (lr* 1 -ÉIilS

nat = „( + — ..,. + -;

(jL(jL(r*\) J-(-*.(ri))

dœ\dx\yt// , dx\dx\yJJ . gtc

— etc.

et par suite en intégrant

/Vv/, = -,oSCr,.y,...r„)-(^)lo8(^^).i(^)....J4(S))-^

On pourrait obtenir par une analyse semblable tous les coefficiens c2, o}, . . . . an, en fonction des intégrales particulières ylf ylt • . • . y„i et eu général étant données n fonctions de x de la forme

*»(*)» ^jW, .... FB.(a?)', on peut déterminer les coefficiens de l'équation différentielle linéaire de l'ordre n qui aura pour intégrales particulières ces n fonctions; et il n'existera qu'une seule équation différentielle linéaire de l'ordre n qui satisfasse à cette condition, comme il n'y a qu'une équation algébrique d'un degré déterminé, qui ait n racines données. Cependant on peut déterminer plus facilement les valeurs de aly a3, etc., de la manière suivante. — Si ou élimine successivement les quantités a2, az, .... an entre les n équations <*"-)-, , d"~lr. . n

dny, . d"—r- , n.

d" v ri"—'1 V 7" i ~ s" i ~ .. n

dx" ' ' dxn

considérant les différentielles -r~ , ' /' , etc. comme des coefficiens con-

dx" 7 dx"~'- ' nus, on aura la valeur de aL telle que nous l'avons déjà donnée. Pour déduire de là la valeur de a2 il est clair qu'il suffit (dans l'expression de

Ci) de changer , „ ' en , ,/,' et vice versa, de même que ■' en

* o dx 1 dx z a x

J£ 9 et vice versa; et ainsi pour les autres termes semblables en y-,,

yi, .... y ni sans changer aucun des termes qui contiennent d'autres différentielles. On obtiendrait par des permutations analogues les valeurs de «3, «4, etc.

Il faut observer que les intégrales particulières yt , y2 , . . . . yn geront comprises dans l'expression des coefficiens an «.,,... . a„, sous la forme de différentielles logarithmiques, comme dans la formule (6.), pour faire disparaître les constantes arbitraires qui se trourent comme facteurs dans les quantités yt , y2 , . . • • yr. , et qui ne doivent pas se trouver dans les coefficiens alt a2, .... an.

Les quantités y, , y-, , yr, . . . . yn, forment une espèce particulière de fonctions symétriques: car non seulement on peut permuter ces quantités entre elles d'une manière quelconque (comme les racines des équations algébriques) dans la formation des coefficiens aly a2, o3, etc.; mais en général on peut écrire au lieu de yr la somme ou la différence d'un nombre quelconque de ces intégrales particulières; et la valeur des coefficiens ot , a2, .... an ne sera pas altérée. Ainsi par exemple dans

d* y l'équation — ^ = m2 y, nous avons vu qu'en fesant yl = C\ emx, y2 = C2e mx,

on obtenait

„ 2dy, . dx*\yj ft y,dx l d fyA dx \y,j/ Mais si l'on fesait yL == Ct emx — emx , y2 = C2e~mx, on aurait encore, en effectuant le calcul,

2dyt , dx* \yj . . .

°* - Tidx + ~JjyA ~~

dx \yj

Ce nouveau genre de fonctions symétriques nous parait mériter l'attention des géomètres.

Etant proposée l'équation différentielle linéaire

v d" y , dn~ly i n

si deux de ses intégrales particulières (yt et y2 par exemple) sont liées entre elles de manière que l'on ait y2 = <P(ji), on substituera <P(j) ù la place de y dans l'équation Y = 0 , et l'équation YY = 0 qui résultera de cette substitution, étant combinée avec l'équation Y = Ot servira à l'élirai-

nation des différentielles successives de y de manière à n'avoir pour résultat qu'une équation différentielle linéaire du premier ordre. Ainsi par exemple si l'on savait d'une manière quelconque que dans léquation

!-A' = y, ses deux intégrales particulières yx et y2 sont liées entre elles dx~ J

par l'équation f, = — , on ferait y = — , dans léquation J = 0, et on

obtiendrait

dx* ydxî + U>

et en éliminant -=-^- entre Y == 0 et

dx2 ydxï^ry '

on obtiendrait 2

et par suite ^ = +y, ce qui donne enfin j=Ce±v, et les deux intégrales particulières seront yl=.Cexi y, = G'crx, comme on le savait d'ailleurs.

En général étant proposées deux équations différentielles linéaires des ordres n et m que nous exprimerons par Yn = 0, Ym = 0, si l'on suppose qu'elles ont p intégrales particulières communes, on éliminera les différentielles successives entre Yn = 0 et rm = 0, et on obtiendra une équation différentielle linéaire Yp = 0 de l'ordre p qui ne contiendra que les p intégrales particulières communes aux deux équations I '„ = 0, l'm = 0.

Les rapports qui existent entre les intégrales particulières pourraient aussi être exprimés par des équations différentielles linéaires et on pourrait encore réduire l'équation différentielle linéaire proposée a une équation différentielle linéaire d'ordre inférieur.

Soient proposées les deux équations différentielles linéaires simultanées

il est clair qu'en éliminant yv entre ces deux équations, ou aura une équation différentielle linéaire du 4"'e ordre, qui sera de la forme

7x = Pt + ^Pi + ^Pi + AT- +J* - 0;

1 dx ' dx* ' dx ' dx

mais si l'on élimine y entre ces deux mêmes équations, on aura précisément

la même équation en v,

^ — ir^^Aid^^A^iL^^ A^irx • A* — °»

d'où il résulte que les quatre intégrales particulières dont la somme forme la valeur complète de y sont les mêmes que celles qui forment la valeur de v. Maintenant si l'on fait f = v dans les deux équations V = a3y} Y= a3v, on aura les deux équations

F2 = j-r + a, — + (a2.az)v = 0,

qui serviront à connaître deux des quatre intégrales particulières que nous cherchons. Quand nous aurons trouvé les deux intégrales particulières de l'équation Y2 = 0, nous nous en servirons pour réduire l'équation Tx = 0 au second ordre; et Ion voit que les deux intégrales particulières zlf z2t de cette équation réduite du second ordre, auront entre elles un rapport exprimé par l'équation

dz ~, i d z1 |

d~^ "1" Cl d^ ~ï~ °2 Zl — °3 Sl >

et ce rapport servira pour trouver directement zL et z2 à l'aide d'une équation linéaire du premier ordre.

On pourrait généraliser beaucoup ces considérations et les appliquer à un plus grand nombre d'équations simultanées: mais nous avons le projet de traiter beaucoup plus amplement ce sujet dans un autre Mémoire: d'ailleurs nous montrerons bientôt l'application de ces principes à l'intégration des équations différentielles qui expriment l'action réciproque des corps échauffés.

MÉMOIRE