SUR LES FONCTIONS DISCONTINUES

Lu îi l'Aïadi'raie Royale des sriences de Paris, le 21. Mai 1832.

Introduction.

Il y a quelques années que dans un mémoire où je discutais les valeurs des limites des fonctions discontinues, j'exposai une manière fort simple de représenter ces fonctions par des exponentielles sans intégrales définies ni suites infinies. J'assurai à cette occasion, que mes formules pouvaient s'appliquer avec succès aux transcendantes numériques, et spécialement à la recherche directe d'un nombre premier plus grand qu'une limite donnée.

Les géomètres qui tentèrent les premiers d'exprimer les fonctions discontinues en analyse, rencontrèrent de grands obstacles et de puissans antagonistes. Cette question agitée d'abord entre Daniel Bernoullï, Eu 1er et D'Alembert, a occupé successivement les plus célèbres géomètres, mais ce n'est que dans ces derniers tems qu'elle a reçu une solution adoptée généralement par les analystes. Les travaux de Fourier et les belles recherches de Mr. Poisson sur les limites des fonctions discontinues, ont dû dissiper les doutes qui restaient encore sur la nature de ces fonctions.

Dans ce mémoire j'ai tâché de réduire ù l'algèbre ordinaire et aux fontions exponentielles, les fonctions discontinues qui paraissaient placées aux limites les plus reculées de la science. ^Non seulement cette manière élémentaire de traiter des questions difficiles, sert à propager des connaissances qui étaient réservées à un petit nombre de personnes, mais elle conduit aussi à la résolution algébrique d'un grand nombre de problèmes qui paraissaient excéder les forces de l'analyse. Déjà dans ce mémoire j'applique mes principes à la détermination directe et générale des diviseurs des nombres, et à la recherche des nombres premiers. Mais ces formules sont d'un usage beaucoup plus étendu. Les géomètres qui auront bien saisi l'esprit de ma méthode verront qu'elle peut s'appliquer à une multitude de questions diverses. Elle sert surtout à la recherche du

terme général de certaines séries qui paraissaient n'obéir à aucune loi analytique.

Mes expressions s'éloignent tellement des formes analytiques ordinaires, elles paraîtront, peut être, si singulières au lecteur, que j'ai cru devoir insister spécialement sur leur démonstration. On trouvera au commencement de ce mémoire une discussion fort longue des valeurs de la fonction 0X. J'aurais pu, peut être, m'en rapporter à ce qui se trouvait déjà dans d'autres ouvrages, mais j'ai tâché de combattre d'avance les difficultés que ce genre d'expression auroit pu faire naître dans l'esprit du lecteur.

La fonction ( , . , dont je me sers dans ce mémoire, est beaucoup plus simple que celle dont je m'étais servi précédemment. Elle a de plus l'avantage de pouvoir s'appliquer à la théorie des nombres, de manière à éviter la valeur de 0". Alors elle devient évidente par elle même, indépendamment de toute considération étrangère.

Ces formules ne renferment aucune notation nouvelle. Elles sont le résultat nécessaire des propriétés connues des fonctions exponentielles. Les fonctions discontinues n'avaient été appliquées jusqu'ici qu'aux problèmes de ph)sique mathématique. A l'avenir elles contribueront surtout aux progrès de l'analyse algébrique et à l'application de l'algèbre à la séométrie.

Analyse.

Dans nos recherches précédentes sur les fonctions discontinues nous avons considéré la valeur de 0" comme étant toujours égale à l'unité, en coséquence de la valeur de arlogO, qui était toujours égale à zéro, lorsque x = 0. Mais il faut observer qu'on sait seulement que le produit xloga? est égal ù zéro lorsque x — 0; tandisque on ignore si dans #logO, le 0 du logO vient de log#, dans lequel on ait fait x = 0, ou de toute autre fonction de x sous le signe logarithmique. Il résulte de là quelque incertitude dans la valeur de x log 0, lorsque x = 0, et par suite dans celle de 0" = 1. Mais il est aisé de prouver directement par d autres moyens que l'expression 0" a toujours pour valeur l'unité.

Ma s cher on i *) avait déjà observé que 0"=1. Il trouvait cette valeur par l'équation

mais on peut y parveuir par d'autres voies.

On sait que lorsque x est un nombre entier, le développement du binôme

.. . - , X(X i)ll3 x(x ^)(x■ 2)7*' , ,

(1— «)r = 1— xu-\ -1- S — -~ p-etc,

s'arrête toujours et donne toujours une valeur exacte quelleque soit la valeur de u; ce qui ne tient pas à la convergence de la série du second membre (car cette convergence exige que l'on ait h«<1), mais au facteur x — x, qu'on retrouve dans tous les termes après le terme x-\-V"e. Il résulte de là que si l'on fait a:=0, tous les termes, excepté le premier, se détruiront, et on aura toujours (1 — «)" = ï« On voit que cette valeur est indépendante de la valeur de u , et qu'on pourra faire u = 1 , d'où il résultera (1 — 1)"=1 = 0". On voit aussi que Ion parviendrait au même résultat, en fesaut d'abord

(a — b)x = ax — x a*"1 b + x^~l\ ax~- fi? etc.

et puis (par la supposition de x=Q), (a — Z>)° = e° = 1 : car puisque ce dernier résultat est indépendant de a et de b , on pourra faire a = b , et

on aura encore

(ja — af = 0° = 1.

Il est clair que lorsque x est une quantité positive quelconque, la fonction 0V est toujours égale à zéro. Ceci n'a pas besoin d'être démontré; mais si on voulait voir, comment la quantité 0V, qui est égale à l'unité lorsque x = 0, devient égale à zéro pour une valeur quelconque de x très peu différente de zéro, on n'aurait qu'à faire x infiniment petit dans l'équation

(l-iy^l-ar-j-ffe^-^-^-^+etci

ce qui donnerait, en négligeant les puissances supérieures de x:

(î-i)* = i— ^(i+f + |+i+l Me.)

= 1 — x log(l — 1) = 1 — x logO.

Maintenant on sait que lorsque ^ = 0, le produit a:(l-f-f + § +^.... + etc.)

c) Euleri inslitutiones calculi diftrenUalis. Ticini 1787. 4°. pars IL p. 813. 81-1.

est égal à zéro, quoique le second facteur soit une quantité infinie; il résulte de là que si on fait x égal à une quantité très-petite (mais plus grande que zéro) la valeur de ce produirt sera égale à l'unité, et alors on aura (1 — 1)*=: i jr(i+j + £ + *-...+ etc.) = 1 — 1 = 0.

Il résulte de là qu'en général la fonction 0X aura pour valeur zéro, l'unité , ou l'infini , selon que x aura une valeur positive , zéro ou négative.

Puisque la fonction 0X ne sauroit avoir que l'une de ces trois valeurs