Pm = a, Pm l + a„ Pm 2 -f- m am

et par suite p^ = ^ p^ + ^ p^ + (™ 1) « ,

Pm z = c, Pm 3 + <72 Pm 4 + (m — 2) c„.2 ,

etc. ,

et si l'on substitue ces dernières valeurs dans l'équation (5.) il en résultera la formule

Pm = mam+ {m-l)am x (fl1)+(w-2)am.î («2 +0,(0,)) +(m-*)a„i, 3/ + etc. ,

dans laquelle le coefficient fit se forme en changeant m en f dans tous les termes précédens, et négligeant tous les coê'fficiens numériques externes. Si l'on avait commencé par substituer les valeurs de Piy Pt, P3 , etc. , dans l'équation (5.), on aurait obtenu l'expression Pm — mam+ om.1(ff1) + c^fl,* afrj) + &m*(3a3+0*(?O + «,(««+ »iW)) + etc- »

qui 11e diffère de la précédente, que par la disposition des termes dont elle se compose.

On doit observer (pie ces formules sont exactes seulement pour des valeurs de m entières, positives, et plus grandes que zéro; et qu'il faut s'arrêter lorsqu'on trouve des coi;fficiens à indices plus petits que l'unité. Lorsque m = 0, onaP0 = /i, et si m a une valeur négative, on

divisera l'équation proposée par anxn, et en faisant — =y, on cherchera

la somme des puissances — m""5 des racines de la nouvelle équation en y qui eu résultera.

Si l'on décompose la série qui exprime la valeur de Pm , en autant de séries partielles qu'il peut y avoir de facteurs algébriques, on aura

j + (m-l)am l(a1) + (m-'2)am 2(a1) + (m-3)am 3(ai) + etc. ( -f (m-2)cm, («,) («,) + (m -3) am 3 (a2 a, + a, a2) + etc. /'

-f-etcj

et on trouvera aisément, comme on l'a fait pour le polynôme,

2 log 2 Pm = m a m -f 2 e (m-m,) amx [amx^mx ] ,

en faisant toujours m0 = m.

Il est clair que l'on pourra écrire aussi

S 10g 2 2 l0ga".,-m.+l

Pm == mam-\- S e {m-m1)on,x e ,

et ces deux expressions seront équivalentes. En appliquant cette formule à l'équation

(x — iyn(xn— 1) (*"-— 1) (*"-*— 1) (a*— l)(x— 1) = 0,

et eu indiquant par /(«) la somme des diviseurs de n, on aura par la

notation deYandermonde l'expression

n {-([n+n-l][0]-[n+?i-2][0]-[n+n-3][0\...±[n+ti.l(3z2±z)-l\ [ 0 ] ...etc.)} '+(/M)K[*+#i-2irOH^

Ti-u u-n n-ii-1 u-v+i n-u-l(3z*±z) b{3z*±z)+u-n

]+(/i-u){-([n+n-u-l\ [0] -[/2+/2-«-2][OJ ....±[n+n-u-i(3z2±z)-L][ 0 ]..... etc.)}^„

dans laquelle la loi des ternies est manifeste, puisque le coefficient Au se forme en changeant en u la seconde n comprise entre les crochets des factorielles, dans tous les ternies qui le précèdent, et en faisant n = u dans tous les exposans de ces mêmes factorielles : pourvu que l'on égale à l'unité tous les coëfficiens numériques externes (tels que n, n — 1, n — 2, etc.) des termes précédens. Ainsi par exemple un terme de la

forme ±(n — s)[n-\-n — s — 1][0J , se changera en celui-ci +[«+ m — s — 1] [0J. Il est clair que toutes ces séries s'arrêteront lorsque dans un terme quel-

conque de la forme \n-\-A — 1] [0] , A sera un nomhre entier négatif.

Ainsi par exemple en faisant dans cette formule successivement /2 = 1} /2 = 2, /2 = 3, etc., on aura

fil) = 2-2 ([3] [0]-[2] [0]-[i°l [0J) + ([2J [0J-[ 1] [0]°) ([2] [0j-[l] [0]) = 2— 2^| — 2— 1) + (2— 1)(2— 1) = 2 — 0+1=3.

fo) = 3-3([5] [0]-[4] [0]=m [0J)+2([4j [Ô]-[3] [0j-[2°] [0°]) ([3] [Oj-P] [0]) + ([31[0]-[2] [0])([4] [0]-[3] [0]-[2][0j-([3] [6Î - [2] [0])*)

=3-3(Tâ-^-3)+2(r|-3-1)(3-1) + (3-1)(o-3-1-(3-1)2)

etc.

S'il s'agissait de déterminer les eoëfficiens de l'équation

xn + A, xn~l + A* x"-2 +An=0,

dont les racines sont connues, en indiquant par PZg la somme des puissances c0m" de ses racines, on aurait

S log 2 A-o = — -P>.— -S e P. \-P. zl( ff.

Etant proposé d'éliminer y entre les deux équations ym + e>ym~l + ^ jm ï + *» = 0;

l'équation résultante après l'élimination sera celle-ci

'+ 2 e — Pt A, , e

1 / 'x Jx *

XZ=l

Dans cette formule^ représente le coefficient de zu dans le développement de la fraction

bl + 2b,s + 3h3z! + nbnz"-*

1 + bl? + ù2z- + bnz* '

et Pq exprime la somme des puissances — çm,s des racines de l'équation

ym + evf^ + e2 j"-2 + en '= 0;

et comme les valeurs de Av et de Pq peuvent se déduire des formules <pie nous avons trouvées précédemment , on substituera ces valeurs dans l'équation (6.) et le problème sera résolu complètement.

Nous avons trouvé depuis long- temps les formules démontrées dans ce mémoire: elles ont été exposées dans deux mémoires que nous avons présentés en 1S23, et en 1825, à l'Académie Royale des Sciences de Paris.

MÉMOIRE