SUR LES
Par M. YVON VILLARCIAU.
(Présenta à l'Académie des Sciences, le 36 mars 18/19.)
Méthode pour calculer les orbites relatives des étoiles
doubles .
t. En présentant à rAcadémie le résultat du mes recherches sur le mouvement de i; d'Hercule, j'ai dit que j*y étais parvenu en faisant usage d'une méthode particulière. L'objet de la présente communication est d'établir les formules sur lesquelles repose cette méthode , me proposant d'entrer plus tard dans les détails convenables pour en bien faire comprendre l'application.
Soient m' et m'^ les masses de Pétoile principale et de son satellite y et à IMÉ 'époque t :
^Ê r" leur distance mutuelle; W Z la distance de l'étoile principale à la Terre ;
I X*' y y" y «" les coordonnées rectangulaires de m" parallèles à trois axes f passant par in\ La direction de l'axe des z est celle du prolongement de Z , et ' les axes des x et des y sont situés dans le plan perpendiculaire au rayon visuel , de manière que l'axe des x soit en réalité dirigé vers le Nord, et celui des y vers TEit.
!Nous ferons abstraction de la variation de la distance Z et de celle du plan des X y. Quant au déplacement de Taxe des x dans le même plan, nous supposerons qu'on en ait tenu compte en corrigeant les angles de position de l'effet de la précession, celui de la nutation étant ici tout à fait insensible.
Soient x , ^, z, r les nombres de \" correspondants aux coordonnées x" y y , z'' et à la distance réelle r"y de manière qu'en désignant par R la distance moyenne de la Terre au Soleil , et par cr' la parallaxe de m', on ait
a?"=j:Ztangi'% /".—jZtang 1", z"=zZtangi", /•''=rZtangi".
Soient d^ailleurs M 4- w la somme des masses du Soleil et de la Terre , W le moyen mouvement terrestre , f le coefficient de Tatlraction universelle ; on a
on a aussi
(Ci) R = nT'Ztangi";
ce qui donne d'abord
,, R II ^ Il ^ w R
ta X3 X3 JS
L'équation diiTérentielle du mouvement relatif de m" projeté sur Taxe des .r, est
elle devient, à cause des valeurs précédentes,
^^ /RV H"~^'
Posons , pour abréger,
en éliminant /entre (i) et (3), il vient
La quantité ^ sera déterminée plus loin ; et si Ton connaît la parallaxe xs' ^ réquai ion (4) f^ra connsûtre ensuite le rapport de la somme des masses desj deux étoiles à la somme des masses du Soleil et de la Terre.
8. Revenons à notre objet. La relation (3) permet de donner à Téqua- \ tion différentielle ci-dessus , et aux deux autres équations semblables qui se lapportent aux coordonnées y et s, la forme suivante, sous laquelle on i présente ordinairement ces équations : i
—rr -I- |x— : = o. l
Actueliement, soient : a Tangle de position compté de x vei^ ^ ; p la prolection du rayon vecteur /sur le plan des ^vy^ ou la dist<ince apparente des koiles ; > Fangle de r avec sa projection p ; nous aurons
ji' = p cos a , / = p sin a , (6) ^ z =ptang>.,
cos X
Nous allons former les dérivées de ces quantités par rapport au temps ; la j dernière ne nous servira pas immédiatement. Il viendra d'abord :
ii,v du . (ia.
— - = cos ot-z sin a . p -7- 9
fit dt ^ fit
dy . dp dv.
-- =: Sin a — h cos a . p -— 9
, dt fit ^ fit
' dz . flp p fil
-r := tang A — *- H -— ,
fit ^ fit cos^ X dt
flr i dp p ^ fl\
. -j- = r -j- -f r tang > -j-'
\ dt cos\ dt cosX ° dt
Différentiant de nouveau les trois premières de ces équations , et substituant
d^ jc d^ Y d ' z à la place de ---, -7--, -— ~ leurs valeurs en fonction iTip, a ct>, tirées * flt^ flt^ dt^ r' '
des équations (5) et (6), il viendra ;
cos^X d^p dpdoL dof? d^oL
ft — -- cosx=:cosa-7^— •2sma-r--; cosa.p -7— — sma.p--7--->
^ f dt"" dt dt ^ flt^ ' dt^
, COS^X . , d'^p dpdoL , da? d^OL
(«) [-V-^ 5ina = s.na^-f-2cos«^^-sm«.p^+cos«.p — ,
cos'X , ,rf*P 9. dpfl\ aungX dV p rf'X
^__tangX=UngX-+ -3^-f -+ -^^;^p^ + ^-3^-p^-
Il convient de substituer à ces équations, de nouvelles équations plus simples. On y parvient d'abord en multipliant les deux premières par sin a ou cos a , de II' manière à éliminer pi et à tirer sa valeur ; on a ainsi :
d ù doc fP a
COS' A fl(X^ fl-p
^'"'V'^^'fJr'^dF'
Multiplions luaintenant la dernière de ces équations par tang> , et aioiUonj membre à membre avec la troisième équation (8) , nous aurons
rfa'
a d^ (il 2 tang l d\\ ù d'\
orrtancA.P- H rr -r- 1 — :t— PttH — ' — —
** ^ (ir vo%ndt dt cosn '^^i/' cosUrfr
, . ,. sin^cosA ou, en multipliant par ?
( 1 o) o = sm' ^ -7-; -h - tanc a -~ -r- ^ ' dt^ ù ^ dt dt
2 tang' \
dr
tangX
Le facteur commun sinX, introduit ici, prépare cette équation pour une! élimination ultérieure. Les équations (9) et (10) sont les analogues de ceWe&l que l'on trouve dans la Mécanique céleste.
La première équation (9) montre, comme on le sait, que Taire projetée' décrite par le rayon vecteur croît proportionnellement au temps. En effet, |
cette équation , multipliée par - p, est la différentielle exacte de -p' — -, on!
a donc, en Tintégrant,
1 da
2 ^'dî
const.
Quant à la seconde équation (9) , son premier membre étant essentkV lement positif, il s'ensuit que le second doit Tétre également. Les données ,Àe l'observation doivent donc satisfaire à la condition
(10 bis)
lOL'
dt
p dt'
3. Les quantités a, p et leurs dérivées étant considérées comme fournie
par les observations , les inconnues du problème sont les quantités /^ 9 ^ ' ~7>
-—9 au nombre de quatre, et contenues seulement dans la secon<
équation ( 9) et Féquation ( 1 o). Pour les déterminer, nous avons besoin nouvelles relations entre ces quantités. Or, la seconde équation (9) co tenante, mais non point ses dérivées, il suffira de la différentier deux f< de suite.
Il viendra , par une première différentiation ,
