QUATRIÈME NOTE

SUR LF.S

Par M. YYON VILLARCBAU.

(Prcsentce à l'Académie des Sciences, le .»() (iclobro iS.j*).

Du mouDemcnt des éioiles doubles ^ considéré comme propre à fournir la preuve de i universalité des lois de la gravitation jdnn claire.

Les applications de la thôorie du mou ve me ni aux systèmes binaires ont toujours rté basées, depuis Savary, sur Thypothèse que les lois connues de la pesanteur s'étendent à ces systèmes éloi{|;nés du notre. En examinant les résultats obtenus par ks astronomes qui se sont occupés des étoiles doubles, on reconnaît que, jusqu^ici, le mouvement observé s*est montré d^accord avec les lois de la gravitation planétaire. On en a conclu , et j^ai cru moimême , avant d*avoir suffisamment examiné la question , qu'il en résultait la preuve de Fexactitude de Thypothèse, ou de l'universalité des lois de la pesanteur. Je nie propose d'examiner, dans cette ?(ote , la validité de cette conclusion, quoique Tombre d'uadoute à cet égard puisse ressembler aujourd'hui à une hérésie scientifique. Je dois me hâter de dire que mon intention nVst point d'élever le moindre doute sur l'universalité des lois de la pesanteur ; je n'en ai aucun : mais je pense que , lorsqu'il s'agit d'un fait capital , et qui intéresse à un haut degré la philosophie des sciences , il convient de distinguer une probabilité d'une preuve acquise. Afin d'éviter toute équivoque, j'indiquerai immédiatement le résultat de la discussion à laquelle je me suis livré ; il peut être résumé dans la proposition suivante :

Bien qu'il résulte des récherches des astronomes y que le mouvement obscn>ë dans les systèmes binaires ne se soit Jusqu'ici montré nulle part en opposition avec les lois de la pesanteur, nous n 'avons cependant pas encore le droit de conclure que cette loi régit effectivement les mouvements des étoiles doubles, comme elle régit les mouvements planétaires. — Les observations d'étoiles doubles ne peuvent pas fournir une preuve expérimentale de l'universalité des lois de la pesanteur, mais seulement de puissantes probabilités qui semblent commencer à se produire.

Voici sur quoi je nie fonde : Les étoiles dont je me suis occupé sont celles qui se prêtent le mieux à la détermination de tous les éléments de leurs orbites, fondée sur l'hypothèse de la loi de Newton. Malgré la précision et le nombre des observations dont on dispose actuellement, grâce aux travaux de MM. Struve, Hei^chel et autres astronomes, ces obsei-vations sont loin d'équivaloir à autant de données suffisamment distinctes. J'ai nK)ntré , dans chacun des cas , combien le problème reste indéterminé, lorsque Ton n'utilise que les observations modernes (angles et distances) , et comment les anciennes observations sont nécessaires pour lever Tindétermination .

T/ensemble des observations pour chaque système binaire n'équivaut pas, d'après mes recherches, à plus de sept à huit données réellement distinctes [*), Or, on sait que sept données , comprenant une distance au moins , sont nécessaires pour déterminer tous les éléments, y compris le demi-grand axe , si l'on part de l'hypothèse que le mouvement est dû à l'action d'une force variable en raison inverse du carré de la distance. Considérons le nombre des données distinctes comme étant seulement égal à sept : quelle que soit la loi inconnue du mouvement, il sera généralement possible de calculer des éléments elliptiques qui satisfassent à ces données; et, dès lors , il n'y aura pas moyen de distinguer si le mouvement a plutôt lieu suivant la loi de Newton que suivant toute autre loi.

Pour conclure en faveur de la loi de Newton , il faudra au moins que les éléments elliptiques déterminés par sept données représentent, en les corrigeant s'il y a lieu, une huitième donnée distincte. On conçoit,* d'ailleurs , qu*nne neuvième donnée satisfaite ne serait pas superflue. Or, je le répète, les observations d'une même étoile double, que l'on possède aujourd'hui, équivalent au plus à huit données réellement distinctes.

Nous allons voir maintenant, en nous plaçant n un autre point de vue, qu'en toute rigueur, c'est-à-dii'e en se basant uniquement sur les observations, la condition qui vient d'être établie serait insuffisante, et même qu'un nombre illimité de données distinctes représentées par les lois de la pesanteur, ne sufBraient pas pour conclure en leur faveur.

Kn effet, rappelons les conséquences de la gravitation planétaire: i° les

{*) La seule étoile double t^ue l^oii pourrait considérer comme présentant un nombre de données distinctes supérieur à huit , «si Ç d^Hcrcule En retluisant ce nombre à huit, je regardo rensomblo dos distances mohuréos comme n'^équivalant qu''à une seule donnée, el no pouvant servir, par conséquent , à dctermifier que le grand axe. Je ne crois pas que la >arialion de ces dislances doive être prise, ici, en considération, à cause des difRcullés extrêmes qu'acnés ont présentées à MM. Struve (yoiv le Mensurœ micron mitricte). Dans tous les autres cas, le nombre «les données réellement distinctes n''eseède pas le nombre huit ou rattoîni à peine.

aires décrites par les rayons vecteurs sont planes et proportionnelles aiiK tensps; on sait que cette propriété est commune à tout mouvement dans lequel la direction de la force passe constamment par un centre fixe; 2° Forbite décrite est une section conique; 3° le centre ûxe occupe Tun des foyers de cette courbe. On ajoute, réciproquement, que, si le mouvement d'un corps présente ces trois caractères , la force qui le sollicite est en raison inverse du carré de sa distance au centre fixe.

Nous sommes conduits à examiner si les observations peuvent permettre de vérifier que ces trois conditions sont remplies. Quant à la première, il résulte de ce que Ton considère seulement deux corps , que l'orbite doit être plane; et Ton peut affirmer dès à présent, en se basant sur les observations de MM. Struve, que la loi des aires proportionnelles aux temps est satisfaite dans la limite des erreurs des observations. En second lieu, les orbites relatives des étoiles doubles sont -elles des sections coniques? Il suffit de considérer leurs projections ou les orbites apparentes. J'ai fait remarquer que les observations des étoiles les mieux connues équivalent tout au plus à huit données distinctes, auxquelles nous substituerons ici quatre positions complètes. On sait, d'ailleurs, que cinq points sont nécessaires pour déterminer une section conique. Pour affirmer qu'une courbe donnée appartient à cette espèce, il ne suffit pas que cinq de ses points coïncident avec une section conique, il faut qu'il y en ait au moins six. Or, je viens de rappeler que c'est à peine si l'on possède l'équivalent de quatre points; mais on conçoit très-bien que, le nombre des points distincts devant augmenter avec le temps, il sera possible de conclure des observations elles-mêmes, si effectivement Torbite apparente est une section conique. Je vais supposer maintenant que les observations aient prononcé affirmativement à cet égard.

Il reste à vérifier si l'étoile centrale occupe l'un des foyers de l'orbite réelle. Nous ne connaissons pas directement cette orbite par les observations : si l'on en donne néanmoins les éléments, cela tient à ce que l'on admet à priori la loi inverse du carré des distances. Pour déduire des observations, sans aucune hypothèse , les éléments de l'orbite réelle , il faudrait que celles-ci nous en fournissent une autre projection ; ce qui se réaliserait si le point d'où nous observons se trouvait transporté en un autre lieu de l'espace suffisamment éloigné de la direction primitive des rayons visuels. On arriverait au même résultat, mais avec moins de précision , si V inégalité de lumière indiquée par Savary comme propre à fournir une limite maximum de la distance des étoiles doubles , devenait très-sensible. Il va sans dire que nous laissons de côté l'idée d'avoir recours aujourd'hui à de semblables moyens.

Concevons une surface cylindrique élevée sur le contour de l'orbite apparente, parallèlement à la direction des rayons visuels, et coupons cette surface

par un plan passant par ]*étoiie centrale, et ayant d'ailleurs une direction qiidccfli^ue dans Fcspace. JMotis pouvons supposer que le saidlite se iseiit dans ta courbe qui résultera de F intersection, de telle sorte que le niouircment projeté coïncide avec le mouvement observé. Il est ciair que les aires projetées étant reconnues proporticmnellesaox temps, d'après les observations, il en sera de même dans l'orbite hypothétique, et que, par suite, le satellite sera soumis à l'action d'une force centrale. La loi inconnue de cette force dépendra de la situatîotii du plan sécant , et ne se confondra avec la loi de la raison inverse du carré «de la distance , qne si le plan sécant est dans la skiiation particmlière qm donne lieu à une orbite dont un loyer coïncide avec réteiie centrale. Or, tant que la position de l'orbite rv^elle ne sera pas connifc directement, on ne pourra pas affirmer, en toute rigueur, que le mouvement ait lieu plutôt en vertu de la loi ordinaire de la pesanteur, correspondanie à la coïncidence d'un foyer et de l'étoile centrale , qu'en vertu de la loi difTérente qui répond à la position arbitraire donnin; au plan sécant. La discussion de cette dernière loi et sa comparaison avec la loi kèplérienne, jwurront seulas établir une puissante prohabilité en faveur de celle-ci.

En recherchant la loi du mouvement sous l'action d'une force centrale , dans «ine secftion conique dont ie foyer ne coïncide pas avec le centre des forces, je trouve une expression générale de la force, dans laquelle Pintensité varie avec la distance et la direction; le facteur qui dépend de la direction seulement, y conserve la même valeur pour des directions opf Misées. Puisqne la direction est une fonction de la distance , en vertu de Téqiiiaition de l'orbite, la force pourrait être considérée comme une fonction de «la seule distance; mais ici, à une grandeur donnée dn rayon vecteur, répondent généralement quatre directions, de sorte que l'élimination de la direction donnerait quatre valeurs distinctes de l'intensité de la force en fonction de la distance.

Une telle loi, dans laquelle Tintensité varierait, à distances égales et pour des directions différentes, est tout à fait improbable. La position arbitraire du plan sécant introduirait d'ailleurs , dans son expression , deu& constantes entièrement indéterminées; tandis qu'au contraire, l'hypothèse de la loi de la pesanteur détermine la situation du plan de Porbite, k l'ambiguïté près que «l'on connaît, àl det»iendrait donc csctpémement probable que la loi connue de la pesanteur régit aussi le mou»entent des étoiles doubles.

indiquons deux ce» particuliers que présente l'expression générale de la fèroe dont il vient d'être question. Le premier est celui d'nne <f6rce nulle et d'une trajectoire rectiligne ne passant pas nécessairement par l'étoile centrale : on sait que, dans ce cas, les aires sont en effet proportionnel^les aux temps, et le mouvement unifoi^me. L'auti^e est celui d'une fwce proportion-

ndh à la distance , la trajectoire étant une section conique dont l'ctoile •centrale occupe le centre de figure. (Cette circonstafice se présente éams |>htsie«n phénomènes molécidaîres.) L'étoile centrale occnperait donc à la Ms le centre de Torfaite réelle et celai de i'orbite apparente, et la position da plan resterait indéterminée; tandis qaesi Ton admet la loi inverse dn carré de la distance, il faudra que Tétoile centrale occupe en même temps le centre d« figure et Tun des foyers de Torbite réelle, mi que la trajectoire soit circulaire : celte conséquence suffit pour déterminer la position du plan, sous les mêmes restrictions que pins haut. L'indétermination que nous venons de mentionner, et le petit nombre de cas oii Tétoile centrale occupera le centre de l'orbite apparente, s'il s'en présente jamais, conduisent à admettre de préférence la loi de la pesanteur.

Du rapprochement de ces diverses considérations , il résulte qu'une condition indispensable pour établir Tuniversalité des lois de la pesanteur, est la possibilité de satisfaire, au moyen de cette loi, à un nombre de données distinctes égal à huit an moins. On voit donc ; comme je l'ai dit 4iout d'abord, que la preuve n'est point encore faite, et qu'elle semble , dès l'époque actuelle, commencer à se produire.

Q«aint au cairactère de oette preuve , il impoite de remanfiier que , si l'on est «conduit , dans le problème des étoiles doubles , ii choisir entre les diverses lois de la Icirce attractive qui pourraient produiire le mouvement observé, la loi de Newton de pnéférenoe à tonte autre, c'est uniquement par la tendanoe de notre esprit à mettre de l'harmonie dans nos conceptions des causes auxquelles nous attribuons les phénomènes de la nature , et non par la nécessité de fatire concorder ces lots avec les faits observés.

Ainsi , la preuve de la loi de Newton dans notre système solaire et la preuve de l'univei^alité de cette loi , sont de natures essentiellement différentes. La première résulte de l'observation , sans qu'il soit nécessaire d'invoquer autre chose que les principes de la mécanique ; la seconde ne peut nous être fournie directement par l'observation , et nous en sommes réduits à recourir aux probabilités pour l'établir. Les probabflirés en faveur de l'universalité de la loi de Ne^wton, fournies par le mouvement des étoiles doubles, pourront être immenses à la vérité ; mais elles ne constitueront point une preuve offrant le caractère de certitude expérimentale que revêt la loi de Newton elle-même dafos tîtftte système planétaire.

Jfe ne temifinerai pas cette Note , safns nendre un nouvel hommage à la pei^ sévérance et à l'habileté de MM. Struve : leurs immenses travaux , «cen^nnés pendant quelques années encore, offiiront une base solide à la démonstration aussi complète que possible, de l'ttniversaSité des lois de la gravitation. Kspcrons , d'ailleurs, que 'les ai5tro'nt)mcs qui sont intfms de pnissarrts rnslru-

ments^ s^occuperont aussi d'obtenir des positions très-précises des étoiles centrales , afin que Ton en puisse déduire les rapports des masses des étoiles composantes. Il ne restera plus à connaître que les parallaxes, pour av^oir les masses elles-mêmes. La détermination du rapport des masses et celle des éléments des orbites relatives, deviennent aujourd'hui indispensables pour fixer avec exactitude , dans les Éphémérides , les positions des étoiles fondamentales qui appartiennent à des systèmes binaires.

Détermination de l'intensité des forces centrales, dans une section conique dont les foyers ne coïncident pas avec le centre des forces.

Ayant montré , dans ce qui précède , que la discussion de la loi de telles forces centrales, comparée à la loi de la raison inverse du carré de la distance, peut seule établir une puissante probabilité en faveur de cette dernière , il devient indispensable de présenter la détermination analytique de Tintensité de ces forces.

Considérons donc le mouvement d'un satellite dans une orbite que nous supposerons elliptique , pour plus de simplicité dans la discussion. En prenant pour origine des coordonnées rectangulaires , le lieu même de l'étoile centrale, et excluant le cas impossible où Torbite passerait par cette étoile, on pourra donner à l'équation de l'orbite elliptique, la forme

(0) ay^ H- bxy + cx"^ -^ dy -^ ex — 1 = 0.

Dans cette circonstance y aeic sont nécessairement positifs, et si Ton pose

on a la condition

Soit

(2) F = ay- -h bxy -h cx^ -\- dy -{- ex — i ; l'équation de l'orbite s'écrira

Les forces dont il s'agit étant des forces centrales , soit 2/f \e double de Taire décrite par le rayon vecteur pendant l'unité de temps ; 2 Ar sera une constante , et Ton aura

dx dy

Soit 7 l'intensité inconnue de la force centrale rapportée a l'unité de masse ;

les équations difféi en délies du mouvement seront

d\r X (Ojr y

r désignant le rayon vectenr. Nous devons encore avoir égard aux équations différenlielies du premier et du deuxième ordre de la trajectoire :

,^, dFdx dF dy

(^^ d^H'^^Tt^'''

dFd^x dFd^y d^F dx^ d-F dx dy d^F dy' ^

Les équations (4) 9 (5), (6) et (7) sont au nombre de cinq; elles permettent,

dx (Iy d^ X d^ Y par conséquent, d'éliminer les dérivées -r^ -r-'i — r— ? — tt* La réduite sera ^ ^ dt dt dt' dt^

donc une relation entre la force f , les coordonnées et le rayon vecteur r. Si

Ton suppose que Ton joigne à cette réduite Téquation (3) et la suivante

on concevra la possibilité d'éliminer j: et ^ entre ces trois équations, et

d'obtenir ^ en fonction de r. Nous n'avons pas besoin d'aller jusque-là.

Les valeurs (5) étant transportées dans l'équation (7), en élimineront

d^ X d' Y immédiatement —, — et -rr- •

dt' dt'

Quant aux dérivées du premier ordre, multiplions les équations (4) et (6),

dF l'une par -T— ? l'autre par j?, et ajoutons membre à membre; d'autre part,

multiplions les mêmes équations respectivement par — et 7, puis retran-

chons; posons

ensuite

dF dF

il viendra

dx

dt "

2 k dF dy 2 k dF U, dy^ dt "" U, dx

En substituant les valeurs (5) et (10) dans Téquation (7), on obtient

y/ dF dF\ ^IdF^d^^ dFdF d'F dF' d'F\

~'r\'d^'^'^ dy) '^' ÛT \d^ ~d^' "^ '^ Ix dy dxdy "^ dy' dx' J'^^'

Désignons par 2C la valeur de la pumiUièse du deuxième tenue de cette équation ; nous en déduirons 1 en ayant égard à la relation (9},

Nous allons former les dérivées partielles de F, et ensuite la valeur de G. Il viendra d'abord

-,- ^ or -f 2 ex + f,

dF , , àxày

- = b^ + ^ajr + d, ^,p

La substitution des valeurs des dérivées du deuxième ordre, dans la fonction que nous avons désignée par 2 G , donne

C — a—^b — — — dx^ dx dy dy^

Effectuant les carrés et produits de dérivées qui sont indiqués ici, puis multipliant par a, — i, c, et ajoutant, il viendra, en vertu de l'équation (i), toutes réductions faites,

G = /?' {ay^ -h hxy -|- cx"^ -h dy -+- ex) 4- ae^ — bed -^ cd^.

Mais, à cause de Féquation (o)^ la parenthèse du premier terme du deuxième membre se réduit à Tunité ; il vient donc

{i3) C = ae' — bed-^cd^ -f- p\

Ainsi, la quantité G est une constante.

On peut donner une autre forme à la valeur de cette constante; en effet, 6 désignant l'aire totale de Tellipse , et ir le rapport de la circonférence au diamètre, on a

(.4) A = l(fle=6erf-t-crf' + ;/');

il sVnsuit

Soient encore : T la durée de la révolution ; N le moyen mouvement; A le demi-grand axe; Ble demi>petit axe; Il le demi-paramètre; E l'excentricité;

on aura

et Texpression (i i ) deviendra d'abord

D*autre part , on a aussi