AB

il en résulte finalement

(i6) ç=A3N'(^yr.

Occupons-nous actuellement de U, ; nous aurons • au moyen des valeurs (12), {17) U, = 2 {ay'' -h bxy -h ex») -h dj -H ex.

L'équation (o) permet de substituer à cette expression les deux suivantes :

(19) Ui = I + ay^ -f- bxy -+- cx^.

Telles sont les expressions les plus simples de U,, en fonction des coordonnées x et y.

Nous allons transformer la valeur (18), de manière à rendre la relation (16) aisément comparable à celle que fournit la loi ordinaire de la pesanteur. A cet effet, substituons les coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires, de sorte qu'en désignant par v la longitude dans Torbite, on ait

(20) x =1 r cos Vy y =: r^mv.

L*équation (18) donnera

(21) U, i= 2 — r[di\ns> -^ eQù^v)\

et , si Ton pose ensuite

Texpi'ession (16) se changera en

Sous celte forme , on voit que la condition pour que la loi de la force soit celle de la raison inverse du carré de lu distance, est U' = const, , ou, en

vertu de (22), U, = /'r, h' désignant une constante; mais Téquation (21) donne aloi*s

r [k' -I- </ sin t' -h e cos p) = 2 ,

et peut se mettre sous la forme

i -^ I? cos ((' - f>)

en posant

7 sin p = r/,

y cos p = e.

Or, réquation (24) est celle d'une section conique dont Tun des foyers est au pôle même.

Sans nous arrêter davantage à ce résultat, nous nous proposerons d^exprimer le dénominateur U' de l'expression (28) en une fonction de v seulement. Pour cela, transformons d'abord l'équation (o); et soient, à cet effet,

( h = a sin^ p -t- ^ sin c cos i> -h c cos' p.

il viendra, en vertu de ces équations et des équations (20) ,

(26) hr^ -\-2h'r— i = o.

On démontre aisément que l'hypothèse /?' > o entraîne pour conséquence

h'^Oy quel que soitp; il s'ensuit que les deux racines de l'équation (26)

sont de signes contraires, et que la racine positive, la seule qui soit à

considérer, a pour valeur

Jh'' -+- h — h' (^7) '• À

Substituant celte valeur et la deuxième (26) dans l'équation (21), il viendra ou bien , en réduisant au même dénominateur.

puis, à cause de l'équation (27),

U, = 2 sjh'^ -+- h . r.

Il en résulte, en vertu de Téqualion (22) ,

(28} " U' = v^p+Tp^.

Au moyen des valeurs (aS) de A et de 2 A', cette expression devient

JJ^= \(i a -h d^)sm^ tf 4- 2(2^ -h de) sinocos(> -h (4^-+-^') cos*p; mais , à cause de