T — COS2P . . , 1-I-C0S2P

sm' V = 5 2 smt^ cosv = sm 2 u. cos' v = 7

et, si Ton pose, d'ailleurs,

^^^^ \ Q' — 2(ff — c) + - {d' — e^,

Q''=: 2b-j-de, il vient

U'= v^P — Q' cos 2c + Q" sin 2p.

Nous pouvons poser encore

^ ^ ( Q"=Qcos2-^;

d'où

tang2^ = -;,,

^ '^ ^ Sin2>p COS2ip'

en admettant ici que Ton prenne 2>^ de manière que son sinus ait le signe de Q' : il en résulte

U' = \/P + Qsin2(p— 4;),

On peut aussi écrire

(32) U'= v/P l/i + ^sin2(p — ^p).

Cette valeur étant mise dans Téquation (28), celle-ci devient Additions i852. ^

Sous cette forme , on voit que celui des facteurs qui dépend seulement de (a direction du rayon vecteur conserve la même valeur dans les directions opposées. Il est également facile de voir que , si Ton cherche à exprimer c en r, au moyen des équations (a5) et (26) ou de Féquation polaire de Vorbite, on aura généralement quatre valeurs de v pour chaque valeur de r; de sorte que l'intensité ^ de la force centrale prendra généralement quatre valeurs distinctes pour une même distance, ainsi qu'il a été dit dans la première partie de cette Note.

Examinons maintenant ce que devient l'expression (33) lorsque l'origine des coordonnées est un foyer de la courbe Nous pourrions, en vue de simplifier^ supposer ^ = o , attendu que la direction des axçs peut toujours être prise telle que cette condition soit remplie ; mais nous laisserons à b une valeur quelconque, et nous allons établir les relations entre les coefficients, qui expriment que l'origine des coordonnées est un foyer.

On démontre aisément que l'équation d'une section conique dont le périhélie coïncide avec l'axe des jr, l'origine étant au foyer, est de la forme

(34) Lx' -h L' X 4- Mj* =r I .

Les coefficients se trouvent, en outre, assujettis à la relation

et ils ont, avec les éléments, les relations suivantes : (36) L = -^, L'=2-, M=--.

An n n^

Pour déduire de l'équation (34) une autre équation qui satisfasse aux mêmes conditions, quelle que soit la direction du grand axe, il suffît d'avoir recours à la transformation des coordonnées, en posant

.V =:a;cosp — /sinp, y z= x&inp H- j cos p ;

P désigne ici Tangle du nouvel axe des .r compté de la direction du périhélie, de sorte que — p soit l'angle du périhélie compté du nouvel axe des x. L'équation (34) , ainsi transformée , sera

M cos' p -h Lsin^p

^'H-2Msinpcosp — 2Lsinpcosp

arr-f-Msin'p 4:'— L'sinp.r-f-L'cosp..rm Lcos'P

Pour identifier cette équation avec la propoiée (o) , il luffit de pour

!Mcos'p + L»in'P = o, Msin'P + Lcos'P^c, 2(H — L)«dPco*P=:&, L'cosp=:e.

En appliquant les formales

gin'p= — ", aH'p=~^ î,

les deux premières des équations (3^) se changent en

- (M + L) -H i (M — L) cos 2 P = a , i(M-HL}-l(M-L)cos2p = c. Celles-ci , jointes à la troisième équation (3^), donnent

(M-L)cos2p = «-<., (M — L) sin 2 p = A.

Les deux dernières équations (37) donnent , en outre ,

(39) L"cos2p=-(</'-e'),

( L'"sin2p = — 2«rf.

Ces trois équations n'équivalent qu'à deux distinctes, de sorte que les équations (38) et (39) n'équivalent qu'à dnq. En éliminant a p entre ces équations, on a immédiatement les quatre suivantes :

Les deux premières de ces équations donnent les valeurs li en fuaclions des coefficients a, c, d, et les deux autres

équation de condition entre les données, par l'élimiustioa d

équation étant jointe à la condition (3S) , on en conclut que

pour qu'uDe équation du deuxième degré représente une section conique donl un foyer coïncide avec l'origine des coordonnées, sont eiiprimées par les équations suivantes au nombre de deux :

^^ ' d' — é-~%ed- 4"

Introduisons ces relations (40 ou (35) dans les expressions de P, p, Q* et Q", I) vient, par les équaliona (29) et (4o),

ou , en vertu de l'équation {35) ,

puis, à cause

des équations (36),

d'où

D'un autre côté, les équations (38) donnent

Retranchant membre à membre , il vient

4ML = 4„-s.=^-,

el ensuite, en

vertu des équations (36),

Enfin, les relations (40 donnent

a — ^ -h 7 (<^"'' — tf') = G , b -\ — de = o y

d'où , en vertu des équations {29) et (3i) ,

Ces valeurs, jointes à Téquation (46), réduisent Texpression (33) à

c'est-à-dire à l'expression connue de la gravitation.

Il nous reste à examiner les cas particuliers où la fonction U, devient constante. Les expressions (18) et (19) donnent les deux solutions suivantes :

é(^ -+- e JT = const . , ciy^ ■+- hxy H- cx^ z=. const.

Ces relations entre les coordonnées sont les équations des trajectoires. La première est celle d'une ligne droite qui ne passe pas nécessairement par Torigine; or, on a dans ce cas,

il en résulte

/9 = o et C = o ,

en vertu des équations ( 1 ) et ( 1 3) ; et la valeur de ç , donnée par l'équation (11), reste constamment nulle, à moins que U| ne s^annule en même temps. Cela doit être, puisqu'un mobile ne peut décrire une ligne droite, (ju'autant que la force qui le sollicite agit dans la direction du mouvement ou reste nulle. Dans ce cas, d'ailleurs, les aires décrites par les rayons vecteurs sont toujours proportionnelles aux temps. La deuxième équation est celle d'une section conique dont le centre de figure coïncide avec l'origine des coordonnées ou le centre des forces. De la relation U, = const. et de l'équation (i i), on tire

«p = r. const.

Les forces se trouvent alors proportionnelles aux distances. On sait qu'effectivement cette loi, qui s'observe dans certains phénomènes moléculaires, donne lieu au mouvement dans une section conique dont le centre de figure coïncide avec le centre des forces.